求根公式

一元五次方程是没有求根公式的，因为它对应的伽罗瓦群不可解。求一元五次方程的根式解曾困扰数学家三百余年，阿贝尔和伽罗瓦的工作证明了一般一元五次方程没有根式解。1930 年华罗庚《苏家驹之代数的五次方程式解法不能 成立之理由》一文，是对试图推翻阿贝尔和伽罗瓦证明的一种反驳，也是华罗庚的成名之作。 最近国内学者声称“破解”了一元五次方程。这种“破解”，仅限于一元五次方程根的数值求解。6 世纪，在意大利数学家塔塔利亚（Tartaglia）、卡尔达诺(Cardano)、费拉利(Ferrari)等人的努力下，用根式求解三次方程与四次方程的方法终获解决。这样，利用代数符号，无论是二次方程、三次方程还是四次方程，都能通过根式求出它的一般解。于是，数学家们开始寻找一元五次方程的公式解法。虽屡遭挫折，但人们相信，五次方程的解就隐藏在某个角落。在随后三百多年，破解五次方程成了数学中最迷人的挑战之一，很多数学家和数学爱好者，都把它作为检验自己才能的试金石。可是毫无例外，他们都失败了。五次及以上方程的根式解虽然没有找到，人们却积累了很多的经验和知识，特别值得一提的是法国数学家拉格朗日（Lagrange）。1770 年，拉格朗日发表了《关于代数方程解的思考》，他讨论了人们所熟知的解二、三、四次方程的一切方法，并且指出这些成功解法所根据的情况对于五次以及更高次的方程是不可能发生的。拉格朗日试图得出这种不可能性的证明，然而，经过顽强的努力之后，拉格朗日不得不坦言这个问题“好像是在向人类的智慧挑战”。

迄今，伽罗瓦理论已近二百年，华罗庚的论文也发表了整整 80 年，其间国内未见有学者再对一元五次方程求解有异议。最近国内的一本书在平静的池塘中，投下了一块石头， 书名赫然写着《一元五次方程破解》！古老的问题迎来了新的挑战。《一元五次方程破解》的两位作者讨论了一般的一元五次方程的根的求解x +a5x +b5x +c5x +d 5x +e5 = 0 (e5 ≠ 0)将上述的一般形式的一元五次方程，按其某些项系数是否为 0 分为 16 种类型（任意实系数、实系数≤1、复系数），以及包括性质 1～性质 17 的各种方程。（具体分类参见该书）。按照作者的解题思路、解题步骤的要求，采用作者书中的解法 1～解法 8，则求解一般的一元五次方程（任一的）的实根和复根也就迎刃而解了。作者的主要思路可以归纳为：先找出一元五次方程的一个根 x1 ，然后将一元五次方程降为一元四次方程，这样问题就简单了。毕竟，一元四次方程的求解是一个已经解决的问题。关键问题是如何求解 x1 ！作者采用了分解系数、考察 x1 的取值范围等方法来求出 x1 。作者在前言中说：“我们这里解开所有一元五次方程成立与否及其每个例题都是经过检验确定其正确与否，这就等同对此审核其对、错成为定局，不存在什么偏、差、错、漏问题，也不存在什么权威问题。” 全书虽然只有 180 页，但这180 页几乎全是计算，对 16 类一元五次方程逐一求解，辅以验证，这种工作在国内是属于开创性的。作者的刻苦钻研精神和探索精神，实在是值得学习！但问 题是：这样做就是“破解”一元五次方程了吗？前已详述，无论是阿贝尔还是伽罗瓦，他们所要证明的都是一般的五次及以 上方程没有根式解，也就是说，五次及以上代数方程不能像二次、三次、四次方 程那样，有一个由其各项系数通过有限次加减乘除或开方运算来得到方程的所有的解。也就是阿贝尔定理所指出的：n 次一般多项式当n ≥5 时，不能用根号解出。这里虽然指的是一般多项式，但是对于 4 次以上的多项式即使系数是整数的 也不一定都能够用根号解出。阿贝尔和伽罗瓦都曾尝试用根式去解的方程x u2212 4x +2 就是一个典型例子。当然，对于一些特殊的一元五次方程的根，通过其它方法还是可以求解的。当然，如果人类永远限制自己用一种特定的方式并且用特定的工具，那么数学就无从发展。如果我们不限制只用复数域中的运算及根的开方，那么存在一个求解一元五次方程根的方法是相当有可能的。事实上，我们可以用牛顿法来求任意一个多项式 f (x )∈ R [x]的实根：若r 为 f ( x )的一个实根且h0 是r 的一个“好”的近似值，则r = lim hn ，其中规定hn +1 = hn u2212 f ( hn ) f ′( hn )。此外还有利用椭圆n→∞模函数求五次方程根的埃尔米特法。科隆内克（Kronecker）在给埃尔米特（Hermite）的一封信及后来的一篇文章中提到，可以用椭圆模函数解出一般五次方程。通常说一般一元五次方程没有根式解。但是，没有根式解不代表完全不能解。如果能找到一元五次方程一个解或者近似解，那么很明显就可以把一元五次方程降幂为一元四次方程，这样方程就是可解的了。该书作者正是沿着这种思路，去求解一元五次方程的。将一个复杂的问题转化为相对简单的问题，将一个高次方程转化为低次方程，这是数学研究中常见的思路。很明显，这本著作并不能说明伽罗瓦理论过时了。伽罗瓦理论所证明的是一元五次方程不存在根式解，即没有求根公式。该书对一元五次方程的求解过程中，并没有出现一个统一的公式。而是对一元五次方程本身的系数分类，再去用不同的方法求解。并且在求解过程中，有时会用到近似解。在书的前言中，作者说到：“伽罗瓦曾经特地提出的并且加以证明了：一元五次方程，如 x u2212 x + 1 =0 不能用根式解在内，但作者却把它解开了，因为此题只需采用近似值计算法便可。”对此，我们不敢苟同。伽罗瓦所说的是指不能用求根公式来解 x u2212 x + 1 =0 ，而该书作者也承认他们的“解”，是“采用近似值计算法”的结果。在认真阅读该书长达 10 页的对 的解的过程，不难发现作者是在用大量的计算去找近似解 x1 ，然后求解一个一元四次方程。这自然不能和伽罗瓦理论混为一谈。作者的所谓“破解”说，容易让人产生错觉，以为 x u2212 x + 1 =0 这个伽罗瓦都不能解决的方程，作者却把它解开了。如果仅从解出方程的根，作者的“破解”是成 立的；但从寻找一般一元五次方程的求根公式这一古老问题来说，伽罗瓦的理论 才是最好的答案。

从方程的根式解法发展过程来看,早在古巴比伦数学和印度数学的记载中,他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0,给出的解相当于+,这是对系数函数求平方根.接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程,但没有得到三次方程的一般解法.这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决.他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0,由卡丹公式解出根 x= + ,其中p = ba2,q = a3,显然它是由系数的函数开三次方所得.同一时期,意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得.用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得圆满解决,但是在以后的几个世纪里,探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果.1770年前后,法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法,提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在,并利用拉格朗日预解式方法,即利用1的任意n次单位根 （ n =1）引进了预解式x1+ x2+ 2x3+…+ n-1xn,详细分析了二、三、四次方程的根式解法.他的工作有力地促进了代数方程论的进步.但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解,于是他怀疑五次方程无根式解.并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败,从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解.他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示.1799年,鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的,从而转证五次以上方程是不可用根式求解的,但他的证明不完善.同年,德国数学家高斯开辟了一个新方法,在证明代数基本理论时,他不去计算一个根,而是证明它的存在.随后,他又着手探讨高次方程的具体解法.在1801年,他解决了分圆方程xp-1=0（p为质数）可用根式求解,这表明并非所有高次方程不能用根式求解.因此,可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明.随后,挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题.1824年到1826年,阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质,于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷,严格证明：如果一个方程可以根式求解,则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数.并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解.接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题.在高斯分圆方程可解性理论的基础上,他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题,发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x）的有理函数,并且任意两个根q1(x)与q2(x)满足q1q2(x)=q2q1(x),q1,q2为有理函数.现在称这种方程为阿贝尔方程.其实在对阿贝尔方程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果,只是阿贝尔没能意识到,也没有明确地构造方程根的置换集合（因为若方程所有的根都用根x1来表示成有理函数qj(x1),j=1,2,3,…,n,当用另一个根xi代替x1时,其中1〈i≤n ,那么qj(xi)是以不同顺序排列的原方程的根,j=1,2,…,n.实际上应说根xi=q1(xi),q2(xi),…,qn(xi)是根x1,x2,…,xn的一个置换）,而仅仅考虑可交换性q1q2(x)=q2q1(x)来证明方程只要满足这种性质,便可简化为低次的辅助方程,辅助方程可依次用根式求解.阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题,却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题.法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下,开始接手阿贝尔未竞的事业.伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时,与拉格朗日相同,也从方程根的置换入手.当他系统地研究了方程根的排列置换性质后,提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到,然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之为“群”的元素集合的抽象代数理论.在1831年的论文中,伽罗瓦首次提出了“群”这一术语,把具有封闭性的置换的集合称为群,首次定义了置换群的概念.他认为了解置换群是解决方程理论的关键,方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统.他从此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决,直接研究群论.他引入了不少有关群论的新概念,从而也产生了他自己的伽罗瓦群论,因此后人都称他为群论的创始人.对有理系数的n次方程 x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1） 假设它的n个根x1,x2,…,xn的每一个变换叫做一个置换,n个根共有n!个可能的置换,它们的集合关于置换的乘法构成一个群,是根的置换群.方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映,于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题.现在把与方程联系起的置换群（它表现了方程的对称性质）称为伽罗瓦群,它是在某方程系数域中的群.一个方程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群,也可以说成对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数,伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变.伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论,但他并不局限于此,而是把群论进行了推广,作用于其他研究领域.可惜的是,伽罗瓦群论的理论毕竟太深奥,对十九世纪初的人们来说是很难理解的,连当时的数学大师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质,以至他的论文得不到发表.更不幸的是伽罗瓦在二十一岁时便因一场愚蠢的决斗而早逝,我们不得不为这位天才感到惋惜.到十九世纪六十年代,他的理论才终于为人们所理解和接受.伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一.他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答,解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题.伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法,圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的.最重要的是,群论开辟了全新的研究领域,以结构研究代替计算,把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式,并把数学运算归类,使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支,对近世代数的形成和发展产生了巨大影响.同时这种理论对于物理学、化学的发展,甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影

从方程的根式解法发展过程来看,早在古巴比伦数学和印度数学的记载中,他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0,给出的解相当于+,这是对系数函数求平方根.接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程,但没有得到三次方程的一般解法.这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决.他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0,由卡丹公式解出根 x= + ,其中p = ba2,q = a3,显然它是由系数的函数开三次方所得.同一时期,意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得. 用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得圆满解决,但是在以后的几个世纪里,探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果.1770年前后,法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法,提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在,并利用拉格朗日预解式方法,即利用1的任意n次单位根 （ n =1）引进了预解式x1+ x2+ 2x3+…+ n-1xn,详细分析了二、三、四次方程的根式解法.他的工作有力地促进了代数方程论的进步.但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解,于是他怀疑五次方程无根式解.并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败,从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解.他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示. 1799年,鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的,从而转证五次以上方程是不可用根式求解的,但他的证明不完善.同年,德国数学家高斯开辟了一个新方法,在证明代数基本理论时,他不去计算一个根,而是证明它的存在.随后,他又着手探讨高次方程的具体解法.在1801年,他解决了分圆方程xp-1=0（p为质数）可用根式求解,这表明并非所有高次方程不能用根式求解.因此,可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明. 随后,挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题.1824年到1826年,阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质,于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷,严格证明：如果一个方程可以根式求解,则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数.并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解.接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题.在高斯分圆方程可解性理论的基础上,他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题,发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x）的有理函数,并且任意两个根q1(x)与q2(x)满足q1q2(x)=q2q1(x),q1,q2为有理函数.现在称这种方程为阿贝尔方程.其实在对阿贝尔方程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果,只是阿贝尔没能意识到,也没有明确地构造方程根的置换集合（因为若方程所有的根都用根x1来表示成有理函数qj(x1),j=1,2,3,…,n,当用另一个根xi代替x1时,其中1〈i≤n ,那么qj(xi)是以不同顺序排列的原方程的根,j=1,2,…,n.实际上应说根xi=q1(xi),q2(xi),…,qn(xi)是根x1,x2,…,xn的一个置换）,而仅仅考虑可交换性q1q2(x)=q2q1(x)来证明方程只要满足这种性质,便可简化为低次的辅助方程,辅助方程可依次用根式求解. 阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题,却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题.法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下,开始接手阿贝尔未竞的事业. 伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时,与拉格朗日相同,也从方程根的置换入手.当他系统地研究了方程根的排列置换性质后,提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到,然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之为“群”的元素集合的抽象代数理论.在1831年的论文中,伽罗瓦首次提出了“群”这一术语,把具有封闭性的置换的集合称为群,首次定义了置换群的概念.他认为了解置换群是解决方程理论的关键,方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统.他从此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决,直接研究群论.他引入了不少有关群论的新概念,从而也产生了他自己的伽罗瓦群论,因此后人都称他为群论的创始人. 对有理系数的n次方程 x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1） 假设它的n个根x1,x2,…,xn的每一个变换叫做一个置换,n个根共有n!个可能的置换,它们的集合关于置换的乘法构成一个群,是根的置换群.方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映,于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题.现在把与方程联系起的置换群（它表现了方程的对称性质）称为伽罗瓦群,它是在某方程系数域中的群.一个方程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群,也可以说成对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数,伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变.伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论,但他并不局限于此,而是把群论进行了推广,作用于其他研究领域.可惜的是,伽罗瓦群论的理论毕竟太深奥,对十九世纪初的人们来说是很难理解的,连当时的数学大师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质,以至他的论文得不到发表.更不幸的是伽罗瓦在二十一岁时便因一场愚蠢的决斗而早逝,我们不得不为这位天才感到惋惜.到十九世纪六十年代,他的理论才终于为人们所理解和接受. 伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一.他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答,解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题.伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法,圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的.最重要的是,群论开辟了全新的研究领域,以结构研究代替计算,把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式,并把数学运算归类,使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支,对近世代数的形成和发展产生了巨大影响.同时这种理论对于物理学、化学的发展,甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响.http://www.nhyz.org/psz/%CA%FD%D1%A7%CA%B7/buer.html

16 世纪，在意大利数学家塔塔利亚（Tartaglia）、卡尔达诺(Cardano)、费拉利(Ferrari)等人的努力下，用根式求解三次方程与四次方程的方法终获解决。这样，利用代数符号，无论是二次方程、三次方程还是四次方程，都能通过根式求出它的一般解。于是，数学家们开始寻找一元五次方程的公式解法。虽屡遭挫折，但人们相信，五次方程的解就隐藏在某个角落。在随后三百多年，破解五次方程成了数学中最迷人的挑战之一，很多数学家和数学爱好者，都把它作为检验自己才能的试金石。可是毫无例外，他们都失败了。五次及以上方程的根式解虽然没有找到，人们却积累了很多的经验和知识，特别值得一提的是法国数学家拉格朗日（Lagrange）。1770 年，拉格朗日发表了《关于代数方程解的思考》，他讨论了人们所熟知的解二、三、四次方程的一切方法，并且指出这些成功解法所根据的情况对于五次以及更高次的方程是不可能发生的。拉格朗日试图得出这种不可能性的证明，然而，经过顽强的努力之后，拉格朗日不得不坦言这个问题“好像是在向人类的智慧挑战”。一元五次方程不能用根式求解的第一个证明出现在意大利人鲁菲尼严格的证明：如果方程的次数 n≥5,并且系数a1,a2,…… ,an 看成字母，那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是方程的根。这样，五次和高于五次的一般方程的求解问题就被阿贝尔“否定”的解决了。阿贝尔证明了一般一元五次方程不能用根式解，也举例说有的方程能用根式解。问题是，能用根式解或者不能用根式解的方程，到底怎么来判断呢？阿贝尔没有给出证明。换句话说，阿贝尔没有完全解决一元五次方程的求根问题，遗憾的是，对于什么样的特殊方程能用根式解，他还未及得到的答案就因病去世了。一元五次方程的可解性理论，19 世纪法国天才数学家伽罗瓦(Galois)完成1830 年初，伽罗瓦向法国科学院提交一篇关于五次方程的论文，去竞争一项数学大奖。虽然论文中没有提供五次方程的解法，但却展示了伽罗瓦的数学天分，就连柯西（Cauchy）都认为很可能得奖。这篇文章交给科学院秘书傅立叶(Fourier)评审，不料傅立叶未及写出评审报告就去世了，此文下落不明。伽罗瓦也因参加学生闹事，被学校开除。不过，伽罗瓦仍然对数学倾注了极大的热情，他写出了将成为他最著名的论文“关于方程可用根式求解的条件”，于 1831 年 1月送交科学院。这是伽罗瓦希望被数学界承认的最后机会，但是三、四个月过了，仍然杳无音讯。这位受挫的数学天才参加了国民卫队，去保卫共和。结果两次被捕，第一次无罪释放，而第二次被判了六个月的监禁。获得假释不久，他陷入了与一位女人有关的恋情，于 1832 年 5 月 30 日清晨决斗身亡—他才 21 岁。法国数学家刘维尔（Liouville）阅读了伽罗瓦的论文后，惊喜地发现伽罗瓦在论文中给出了代数方程可解性的最终判定，而且独创了一个崭新的数学概念：群。伽罗瓦工作的核心部分是可解性判别准则：当且仅当多项式方程的群是可解群（伽罗瓦群），这个方程可用代数的方法求解。这一准则可用以下过程来简单描述。第一步，确定方程的伽罗瓦群。多项式方程的 n 个根构成一个置换群，也叫做伽罗瓦群 G。第二步，选取伽罗瓦群 G 的极大正规子群 G1，然后再选取 G1 的极大正规子群 G2，如此下去，最后一个必然是{I}。(注：子群 K 与母群 G 中任意元素可交 换，K 叫做正规子群)第三步，构造合成指数列。设 G, G1, G2,…., Gr ,I 的各个群的阶数（即群的 元素个数）分别为：g, g1, g2 , …., gr ,1；那末每个正规子群在它前面子群中的指定理，有限群 G 的子群的阶是 G 的阶的因子，故合成指数列一定是整数。）第四步, 伽罗瓦可解性理论：一个可解群是一个群，它的合成指数列中各个数全为素数。据此可以列出 2 次到 7 次方程的合成指数列： 方程的次数 合成指数列 　　　　2 2 3 2, 3 4 2, 3, 2, 2 5 2, 60 6 2, 36 7 2, 2520 　　　　由上表格可以看出，当方程的次数大于 4 时，它的合成指数列中的项不全为素数。那么根据伽罗瓦可解性定理，该方程所对应的伽罗瓦群不是可解群，因而由伽罗瓦可解性判定准则可知五次及以上方程没有根式解。“五次方程”引出了华罗庚1926 年 7 卷 10 期的上海《学艺》杂志上发表了一篇苏家驹的论文《代数的五次方程式之解法》，前文已述，这个问题已经由阿贝尔、伽罗瓦证明是不可解的，所以“苏文”与阿贝尔、伽罗瓦的理论相矛盾，必定是有错。华罗庚在阅读了苏家驹的文章之后，写信给《学艺》杂志指出“苏文”的错误。而《学艺》在1929 年 5 月出版的 9 卷 7 期上只刊载了一则简短的“更正声明”，承认“苏文”有误。华罗庚对《学艺》这种半遮半掩的做法并不满意，他把质疑苏家驹论点的文章寄呈《科学》编辑部。不久，1930 年 12 月出版的《科学》15 卷 2 期上以“来件”的方式发表了《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》。华罗庚在论文的开头写道：五次方程经 Abel,Galois 之证明后，一般算学者均认为不可以代数解矣，而《学艺》7卷 10 号载有苏君之《代数的五次方程式之解法》一文，罗欣读之而研究之，于去年冬也仿得‘代数的六次方程式之解法"矣，罗对此欣喜异常，意为果能成立则于算学史中亦可占一席之地，惟自思若不将 Abel 言论驳倒，终不能完全此种理论，故罗沉思于 Abel 之论中，阅一月，见其条理精严，无懈可击，后经本社编辑员之暗示，遂从事于苏君解法确否之工作，与6 月中遂得其不能成立之理由。罗安敢自秘，特公之于世，尙祈示正焉。这段简短文字透露出两个重要信息，一是华罗庚曾经撰写了一篇“代数的六次方程式之解法”，但在精心研读阿贝尔的论文后，确信其“条理精严，无懈可击”；二是，在杂志社编辑的启发下，转向查考苏文，进而发现苏文中的“破绽”。有意思的是，华罗庚所说“本社编辑员”是《学艺》社的？还是“《科学》社的？由于华文刊登在《科学》，这段话又在文章的“篇首”，所以这个“本社”应当是《科学》杂志编辑部。其实，华罗庚与《科学》杂志已有姻缘。华罗庚的第一篇论文《Sturm 氏定理的研究》，就发表 1929 年 12 月出版的《科学》14 卷 14 期上。《科学》编辑部重视文章的质量，并不在乎作者的身份。华罗庚此文章只是对求代数方程实根数的 Sturm 定理做了简化，虽算不上重要发现，但有新意，还是被编辑部接受了。因此，正是《科学》不拘一格，以质选文，才使一位自学青年展露头角。熊庆来教授正是读了《科学》杂志这篇文章，发现了华罗庚。