收敛性

在满足以下条件时，牛顿迭代法是二阶收敛的：①f(a)*f(b)<0;②f"(x)≠0,x∈[a,b];③f""(x)在[a,b]上不变号；④f-f(a)/f(b)≤b,b-f(b)/f"(b)≥a.而考虑牛顿迭代法的局部收敛性，牛顿可以具有二阶以上的阶数定理一：设函数f(x)在邻域U(x*)内存在至少二阶连续导数,x*是方程f(x)的单根，则当初始值x0充分接近方程f(x)的根x*时，牛顿迭代法至少局部二阶收敛；定理二：设x*是方程f(x)=0的r重根，这里r≥2，且函数f(x)在邻域U（x*）内存在至少二阶连续导数，则牛顿迭代法局部线性收敛。求方程的复根时，牛顿迭代发具有局部线性收敛速度，因此可以改进牛顿迭代发，使其在求复根时具有更高阶的收敛速度。

总的来说局部收敛性指的是初值取在根的局部时算法(一般)具有二阶收敛速度,全局收敛性是指初值在定义域内任取时算法是否收敛,若收敛其速度如何,收敛到哪个根. 具体来说 局部收敛性有如下定理 设已知 f(x) = 0 有根 a,f(x) 充分光滑(各阶导数存在且连续). 若 f"(a) != 0(单重零点),则初值取在 a 的某个邻域内时,迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f"(x[n]) 得到的序列 x[n] 总收敛到 a,且收敛速度至少是二阶的. 若 f"(a) == 0(多重零点),则初值取在 a 的某个邻域内时,收敛速度是一阶的. 记 g(x)=x-f(x)/f"(x),其中"某个邻域"可由 |g"(x)|