怎么因式分解 怎么用十字相乘法

十字相乘法是因式分解几种方法中的一种特殊方法，在一定条件下，用十字相乘法来解题的速度比较快，节约时间而且避免了大量运算，不容易出错。一、十字相乘法概念十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式（x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。二、十字相乘法因式分解的一般步骤（1)把二次项系数和常数项分别分解因数；（2)尝试十字交叉图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数；（3)确定合适的十字交叉图并写出因式分解的结果；（4)检验。二次项系数为1的多项式十字相乘法因式分解二次项系数为1的多项式十字相乘法因式分解二次项系数不为1的多项式十字相乘法因式分解二次项系数不为1的多项式十字相乘法因式分解​三、十字相乘法的口诀首尾分解，交叉相乘，求和凑中，平行书写。竖分常数交叉验，横写因式不能乱。（1)竖分常数交叉验：竖分二次项和常数项，即把二次项和常数项的系数竖向写出来；交叉相乘，和相加，即斜向相乘然后相加，得出一次项系数；检验确定，检验一次项系数是否正确。（2)横写因式不能乱即把因式横向写，而不是交叉写，这里不能搞乱。

十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。　 　　十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax^2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2），在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x^2+（p+q）χ+pq=（χ+p）（χ+q）所谓十字相乘法，就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解. 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。对于形如ax2+bx+c的多项式，在判定它能否使用十字分解法分解因式时，可以使用Δ=b2-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。1、十字分解法能用于二次三项式的分解因式（不一定是整数范围内）2、对于像ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。对于形如ax2+bx+c的多项式，在判定它能否使用十字分解法分解因式时，可以使用Δ=b2-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。1、十字分解法能用于二次三项式的分解因式（不一定是整数范围内）2、对于像ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。

二次三项式，十字相乘，因式分解，窍门就是，结合分组分解法一同使用，正如x"+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)中间的一次项mx=(a+b)x，首先一分为二，拆开变成ax+bx，接下来把四个项，分两组提公因式，做起来就轻松多了；Q关键是一次项怎样一分为二，就由常数项的正负来决定，一次项不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式；Q如果常数项是正数，一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两个项；就连完全平方的式子，这样做起来也会觉得更加可靠。例如x"+10x+25=x"+5x+5x+25=x(x+5)+5(x+5)=(x+5)"常数项都是+25，一次项就都是分开10=5+5，x"-10x+25=x"-5x-5x+25=x(x-5)-5(x-5)=(x-5)"类似的常数项为正数x"+10x+24=x"+4x+6x+24=x(x+4)+6(x+4)=(x+4)(x+6)常数项都是+24，一次项就都是分开10=4+6，x"-10x+24=x"-4x-6x+24=x(x-4)-6(x-4)=(x-4)(x-6)Q如果常数项是负数，一次项系数就是分开两个项的相差数；x"+10x-24=x"+12x-2x-24=x(x+12)-2(x+12)=(x-2)(x+12)常数项都是-24，一次项就都是分开10=12-2，x"-10x-24=x"-12x+2x-24=x(x-12)+2(x-12)=(x+2)(x-12)看到了吧，一次项和常数项，绝对值都是10x和24，分解因式却有4种结果，会不会看得晕头转向呢？怎么办？只要这样一步一步地写出来，就肯定不会出错了。x"±5x±6x"±10x±24x"±15x±54x"±20x±96x"±25x±150都是这样有4种结果，使用这个分解因式的方法，你自己也试一试吧。只要熟悉这个方法，就连二次项系数不是1也同样方便，例如4x"-31x-45对着31，我们恐怕不知道怎样分开两项可是看到-45，我们都会想到4X9=36，5X9=45，那么=4x"-36x+5x-45=4x(x-9)+5(x-9)=(x-9)(4x+5)或者=4x"+5x-36x-45=x(4x+5)-9(4x+5)=(x-9)(4x+5)

十字相乘法——借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法）然后按斜线交叉相乘、再相加，若有，则有，否则，需交换的位置再试，若仍不行，再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止。　x-3x+2=如下：　　x-1　　╳　　x-2　　左边x乘x=x　　右边-1乘-2=2　　中间-1乘x+（-2）乘x（对角）=-3x　　上边的【x+（-1）】乘下边的【x+（-2）】　　就等于（x-1）*（x-2）　　一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：　　a1c1　　╳　　a2c2　　a1c2+a2c1　　按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即　　ax+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).

7.(x+5)(x-2)8.-2 -39.2x+110.xy x+2y11.(x-4)(x+2)

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。对于形如ax2+bx+c的多项式，在判定它能否使用十字分解法分解因式时，可以使用Δ=b2-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。1、十字分解法能用于二次三项式的分解因式（不一定是整数范围内）2、对于像ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。

十字相乘法——借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式 的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法），然后按斜线交叉相乘、再相加，若有 ，则有 ，否则，需交换 的位置再试，若仍不行，再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止。

有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法．1×1=1（二次项系数）ab=ab（常数项）1×a+1×b=a+b（一次项系数）要把二次项系数不为1的二次三项式把分解因式时：如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同．如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同．对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p．例:十字相乘法(1)x2-6x-7(2)x2+6x-7(3)x2-8x+7(4)x2+8x+7(5)x2-5x+6(6)x2-5x-6(7)x2+5x-6(8)x2+5x+6解：(1)x2-6x-7=(x-7)(x+1)(2)x2+6x-7=(x+7)(x-1)(3)x2-8x+7=(x-7)(x-1)(4)x2+8x+7=(x+7)(x+1)(5)x2-5x+6=(x-2)(x-3)(6)x2-5x-6=(x-6)(x+1)(7)x2+5x-6=(x+6)(x-1)(8)x2+5x+6=(x+2)(x+3)

十字相乘法　　这种方法有两种情况。　　①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 　　如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．　　图示如下：　　·a b 　　·　×　　·c d 　　例如：因为　　·1 -3 　　·　×　　·7 2 　　且2-21=-19， 　　所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．　　十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

十字相乘法——借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法）然后按斜线交叉相乘、再相加，若有，则有，否则，需交换的位置再试，若仍不行，再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止。3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；（2）如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解；（3）对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解；（4）对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行。在进行因式分解时，要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法。以上这四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式，要学会具体问题具体分析。在我们做题时，可以参照下面的口诀：首先提取公因式，然后考虑用公式；十字相乘试一试，分组分得要合适；四种方法反复试，最后须是连乘式。

十字相乘法一般用于分解二次三项式三次三项式一般用拆项，减项先提公共的因式,再像 二次那样因式分解.因式分解的步骤：1.提取公因式这个是最基本的.就是有公因式就提出来。（相同取出来剩下的相加或相减）2.完全平方看到式字内有两个数平方就要注意下了,找找有没有两数积的两倍,有的话就按照公式进行.3.平方差公式这个要熟记,因为在配完全平方时有可能会拆添项,如果前面是完全平方,后面又减一个数的话,就可以用平方差公式再进行分解.4.十字相乘首先观察,有二次项,一次项和常数项,可以采用十字相乘法.（十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。）或者用试根法得出该因式的一个根，通常用0，+1，—1,+2，—2等试根；然后用三项因式去除试根得出的因式即可。

印象中有2个地方用到 a/b=c/d 十字相乘法 变成A*D=B*C然后是二次方程求解因式分解那里用到,x x1 x x2

(x^2+x-12)(x^2+x-2)+24=(x^2+x)^2-14(x^2+x)+48=(x^2+x-6)(x^2+x-8)当且仅当二次三项式方程有“有理数根”时，才能使用十字相乘法因式分解。 如果二次三项式方程虽然有实数根，但是没有有理数根（即虽然a,b,c为整数，且b^2-4ac≥0，但b^2-4ac不是完全平方数），那么肯定不能使用十字相乘法因式分解。 例如x^2-2x-1对应的二次三项式方程x^2-2x-1=0没有有理数根，其因式分解式 x^2-2x-1＝(x-1+√2)(x-1-√2)　 是不能使用十字相乘法得到的。必须用配方方法得到，即 x^2-2x-1＝(x-1)^2-(√2)^2=(x-1+√2)(x-1-√2)。

⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的,一般要提出“－”号,使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：.a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式. 十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac,n＝bd,且有ad＋bc＝m 时,那么 kx^2＋mx＋n＝（ax-b）（cx-d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式； ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0,则f（x）必含有因式（x-a）.如f（x）=x^2+5x+6,f（-2）=0,则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式.

（2）2x^2-7x+32x 1 x 3（2x-1）（x-3）-2x^2-3x+2 -2x 1 x 2-a^2+10a-9-a 1a -95x^2+7xy-6y^2 5x -3yx 2y (5)-2(a+b)^2+(a+b)+3-2(a+b) 3(a+b) 1(6)(x+y)^4+4(x+y)^2-5(x+y)^2 5(x+y)^2 -1x^3-7x^2+10x=x(x^2-7x+10)x -5x -2

十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1u2022a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1u2022c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。把2x^2;-7x+3分解因式.　　分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分　　别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.　　分解二次项系数(只取正因数)：　　2＝1×2＝2×1；　　分解常数项：　　3=1×3=1×3=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：　　11　　╳　　23　　1×3+2×1　　=5　　13　　╳　　21　　1×1+2×3　　=7　　1-1　　╳　　2-3　　1×(-3)+2×(-1)　　=-5　　1-3　　╳　　2-1　　1×(-1)+2×(-3)　　=-7　　经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.　　解2x^2;-7x+3=(x-3)(2x-1).　　一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：　　a1c1　　╳　　a2c2　　a1a2+a2c1　　按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即　　ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).　　像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常　　叫做十字相乘法.　　

十字相乘法因式分解讲解如下：十字分解法能用于二次三项式、一元二次式的分解因式，不一定是整数范围内。对于像ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1a2的积，把常数项c分解成两个因数c1c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。示例（1)例1因式分解：x2-x-56；分析：因为7x+(-8x)=-x；解：原式=(x+7)(x-8)。（2）例2因式分解：x2-10x+16；分析：因为-2x+(-8x)=-10x；解：原式=(x-2)(x-8)。十字相乘法十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。十字相乘法是因式分解中十四种方法之一，另外十三种分别都是：提公因式法、公式法 、双十字相乘法、轮换对称法、拆添项法、配方法、因式定理法、换元法、综合除法、主元法、特殊值法、待定系数法、二次多项式。

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。对于形如ax2+bx+c的多项式，在判定它能否使用十字分解法分解因式时，可以使用Δ=b2-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。1、十字分解法能用于二次三项式的分解因式（不一定是整数范围内）2、对于像ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。

十字相乘法是因式分解中十四种方法之一。十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘的积为二次项，右边相乘的积为常数项，交叉相乘再相加等于一次项。原理就是运用二项式乘法的逆运算来进行因式分解。十字相乘法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是在整数范围内）。对于像ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。对于形如ax2+bx+c的多项式，在判定它能否使用十字分解法分解因式时，可以使用Δ=b2-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。1、十字分解法能用于二次三项式的分解因式（不一定是整数范围内）2、对于像ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。

十字相乘法的方法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b.那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x^2+（p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.如解：6x^2-7x-5=0，6x-7x-5=(2x+1)(3x-5)，(2x+1)(3x-5)=0，解得x1=-1/2,x2=5/3

例如：x^2+4x-12=0 分析： 在十字相乘法中，二次项系数a=十字左边的相乘； 一次项系数b=交叉相乘然后相加； 常数项c=十字右边的相乘。 这里a=1,b=4,c=-12 ，12=2*6 或 3*4 由此可知b=-2+6，即3*4舍去； 所以（如下）： 左 x -2 右 x 6 最后分解因式为(x+6)(x-2)=0 则：x=-6,2

计算方程的解或者是范围时例如X的平方-3X-4=0可以分解为(X-4)(X+1)=0得解为4或者-11-411

十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。　　　十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax^2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2），在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x^2+（p+q）χ+pq=（χ+p）（χ+q）所谓十字相乘法，就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说：把x^2+7x+12进行因式分解. .　　上式的常数12可以分解为3×4，而3+4又恰好等于一次项的系数7，所以上式可以分解为：x^2+7x+12=(x+3）(x+4） .　　又如：分解因式：a^2+2a-15，上式的常数-15可以分解为5×（-3）.而5+(-3）又恰好等于一次项系数2，所以a^2+2a-15=(a+5）(a-3）. 十字相乘法讲解：　　x^2-3x+2=如下：　　x -1　　╳　　x -2　　左边x乘x= x^2　　右边-1乘-2=2　　中间-1乘x+（-2）乘x（对角）=-3x　　上边的【x+（-1）】乘下边的【x+（-2）】　　就等于（x-1）*（x-2）　　x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）编辑本段通俗方法方法　　先将二次项分解成（1 X 二次项系数），将常数项分解成（1 X 常数项）然后以下面的格式写　　1 第三次a=2 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b　　第四次a=2 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b　　第五次a=2 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b　　第六次a=3 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b　　第七次a=3 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b　　......　　依此类推　　直到（ad+cb=一次项系数）为止。最终的结果格式为（ax+b)(cx+d)例　　：（^2代表平方）　　a^2x^2+ax-42　　首先，我们看看第一个数，是a↑2，代表是两个a相乘得到的，则推断出（a ×+？）×（a ×+？）　　然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出使两项式×两项式。　　再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2　　首先，21和2无论正负，合并后都不可能是1 只可能是-19或者19，所以排除后者。　　然后，在确定是-7×6还是7×-6.　　（a×+(-7））×（a×+6）=a^2-a-42（计算过程省略）　　得到结果与原来结果不相符，原式+a 变成了-a　　再算：　　（a×+7）×（a×+(-6））=a^2+a-42　　正确，所以a^2x^2+ax-42就被分解成为（ax+7）×（ax-6），这就是通俗的十字相乘法分解因式.编辑本段例题解析例1　　把2x^2-7x+3分解因式.　　分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分　　别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.　　分解二次项系数（只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同！　　2=1×2=2×1；　　分解常数项：　　3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).　　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：　　1 1　　╳　　2 3　　1×3+2×1=5 ≠-7　　1 3　　╳　　2 1　　1×1+2×3=7 ≠-7　　1 -1　　╳　　2 -3　　1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7　　1 -3　　╳　　2 -1　　1×(-1)+2×(-3)=-7　　经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7.　　解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1)　　一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：　　a1 c1　　╳　　a2 c2　　a1c2+a2c1　　按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax^2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即　　ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).　　像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.例2　　把6x^2-7x-5分解因式.　　分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种　　2 1　　╳　　3 -5　　2×(-5)+3×1=-7　　是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.　　解 6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5)　　指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.　　对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是　　1 -3　　╳　　1 5　　1×5+1×(-3)=2　　所以x+2x-15=(x-3)(x+5).例3　　把5x^2+6xy-8y^2分解因式.　　分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即　　1 2　　╳　　5 -4　　1×(-4)+5×2=6　　解 5x+6xy-8y=(x+2y)(5x-4y).　　指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.例4　　把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式.　　分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.　　问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?　　答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.　　解 (x-y)(2x-2y-3)-2　　=(x-y)[2(x-y)-3]-2　　=2(x-y) ^2-3(x-y)-2　　1 -2　　╳　　2 1　　1×1+2×（-2）=－3　　=[(x-y)-2][2(x-y)+1]　　=(x-y-2)(2x-2y+1).　　指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5　　x^2+2x-15　　分析：常数项（-15）<0，可分解成异号两数的积，可分解为（-1）（15），或（1）(-15）或（3）　　(-5）或（-3）（5），其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2。　　=(x-3）(x+5）　　总结：①x+（p+q）x+pq型的式子的因式分解　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解　　如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么　　kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)　　a b　　╳　　c d　　教学重点和难点　　重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式；　　难点：灵活运用十字相乘法分解因式.编辑本段解决两者之间的比例问题原理　　一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S， A所占的数量为M，B为S-M。　　则：[A*M+B*（S－M）]/S=C　　A/S*M/S+B/S*(S-M)/S=C　　M/S=(C-B)/(A-B)　　1-M/S=(A-C)/(A-B)　　因此：M/S∶（1-M/S）=（C-B）∶（A-C)　　上面的计算过程可以抽象为：　　A ………C-B　　……C　　B……… A-C　　这就是所谓的十字相乘法。X增加，平均数C向A偏，A-C（每个A给B的值）变小，C-B（每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。即比例，以十字相乘法形式展现更加清晰使用时的注意事项　　第一点：用来解决两者之间的比例问题。　　第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。　　第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。例题　　某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年（2006）毕业的本科生有多少人？　　十字相乘法　　解：去年毕业生一共7500人，7650÷（1+2%）=7500人。　　本科生：-2%………8%　　…………………2%　　研究生：10%……… -4%　　本科生∶研究生=8%∶（-4%)=-2∶1。　　去年的本科生：7500×2/3=5000　　今年的本科生：5000×0.98=4900　　答：这所高校今年毕业的本科生有4900人。　　鸡兔同笼问题　　今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？　　十字相乘法　　解：假设全为鸡脚则有70只脚，假设全为兔脚则有140只脚　　鸡：70……… …46　　……………………94　　兔：140……… …24　　鸡：兔=46：24=23：12　　答：鸡有23只，兔有12只。编辑本段十字相乘法解一元二次方程例1　　把2x^2-7x+3分解因式.　　分析：先 分解二次项系数，　　分别写在十字交叉线的左上角和左下角，　　再分解常数项，　　分别写在十字交叉线的右上角和右下角，　　然后交叉相乘，　　求代数和，使其等于一次项系数.　　分解二次项系数（只取正因数）：　　2=1×2=2×1；　　分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3）×（-1）=(-1）×（-3）.　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：　　1 1　　╳　　2 3　　1×3+2×1=5　　1 3　　╳　　2 1　　1×1+2×3=7　　1 -1　　╳　　2 -3　　1×（-3）+2×（-1） =-5　　1 -3　　╳　　2 -1　　1×（-1）+2×（-3） =-7　　经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.　　解 2x^2-7x+3=(x-3）（2x-1）.　　一般地，对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0），　　如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，　　即a=a1a2，　　常数项c可以分解成两个因数之积，　　即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，　　排列如下：　　a1 c1　　╳　　a2 c2　　a1c2+a2c1　　按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，　　若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，　　即a1c2+a2c1=b，　　那么二次三项式就⒂可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，　　即 ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）.例2　　把6x^2-7x-5分解因式.　　分析：按照例1的方法，　　分解二次项系数6及常数项-5，　　把它们分别排列，　　可有8种不同的排列方法，　　其中的一种 21╳3-5 2×（-5）+3×1=-7　　是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.　　解 6x^2-7x-5=（2x+1）（3x-5）　　指出：通过例1和例2可以看到，　　运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，　　往往要经过多次观察，　　才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.　　对于二次项系数是1的二次三项式，　　也可以用十字相乘法分解因式，　　这时只需考虑如何把常数项分解因数.　　例如把x^2+2x-15分解因式，　　十字相乘法是1-3╳ 15 1×5+1×（-3）=2　　所以x^2+2x-15=(x-3）(x+5）.例3　　把5x^2+6xy-8y^2分解因式.　　分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，　　把-8y^2看作常数项，　　在分解二次项及常数项系数时，　　只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，　　经过观察，选取合适的一组，　　即 12╳ 5-4 1×（-4）+5×2=6　　解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)（5x-4y).　　指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.例4　　把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式.　　分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，　　只有先进行多项式的乘法运算，　　把变形后的多项式再因式分解.　　问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?　　答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.　　解 (x-y)（2x-2y-3）-2　　=(x-y)[2(x-y)-3]-2　　=2(x-y) ^2-3(x-y)-2　　1-2╳ 21　　1×1+2×（-2）=－3　　=[(x-y)-2][2(x-y)+1]　　=(x-y-2）（2x-2y+1）.　　指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，　　这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5x^2+2x-15　　分析：常数项（-15）<0，可分解成异号两数的积，　　可分解为（-1）（15），或（1）(-15）或（3） (-5）或（-3）（5），　　其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2。 =(x-3）(x+5）　　总结：①x^2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；　　常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.　　因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：　　x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解　　如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，　　那么 kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d) a b╳c d　　（1） (x+3）(x-6）=-8 （2） 2x^2+3x=0　　（3） 6x^2+5x-50=0 （4）x^2-2( + )x+4=0　　（1）解：（x+3）(x-6）=-8 化简整理得　　x^2-3x-10=0 （方程左边为二次三项式，右边为零）　　(x-5）(x+2）=0 （方程左边分解因式）　　∴x-5=0或x+2=0 （转化成两个一元一次方程)　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解。　　（2）解：2x^2+3x=0　　x（2x+3）=0 （用提公因式法将方程左边分解因式）　　∴x=0或2x+3=0 （转化成两个一元一次方程）　　∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。　　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。　　（3）解：6x^2+5x-50=0　　（2x-5）（3x+10）=0 （十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）　　∴2x-5=0或3x+10=0　　∴x1=5/2,x2=-10/3 是原方程的解。　　（4）解：x^2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）　　(x-2）(x-2 )=0　　∴x1=2,x2=2是原方程的解。　　例题x^2-x-2=0　　解：（x+1）(x-2）=0　　∴x+1=0或x-2=0　　∴x1=-1,x2=2　　（附：^是数学符号）

答：1.原式=(2x+3)(x+2)2.原式=(3x-1)(x+6)3.原式=(6x+1)(x-3)4.原式=(x^2-9)(x^2-1)=(x+3)(x-3)(x+1)(x-1)5.原式=(x^2-4)(x^2-2)=(x+2)(x-2)(x^2-2)=(x+2)(x-2)(x+√2)(x-√2)如果没学根号就要上一步不要这步。6.原式=(5x-2y)(9x+y)7.原式=(2a-3b)(6a-5b)8.原式=(3(p-q)-1)^2=(3p-3q-1)^29.提公因,再十字相乘法。原式=(x+y)[7(x+y)^2-5(x+y)-2]=(x+y)[7(x+y)+2][(x+y)-1]=(x+y)(7x+7y+2)(x+y-1)

最常考的是1用十字相乘法来分解因式。2用十字相乘法来解一元二次方程。都不难，别太担心

x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。十字相乘法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是在整数范围内）。对于像ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。

例1 把2x^2;-7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分 别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3 =7 1 -1 ╳ 2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-5 1 -3 ╳ 2 -1 1×(-1)+2×(-3) =-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 2x^2;-7x+3=(x-3)(2x-1). 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1 c1 ╳ a2 c2 a1a2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法. 例2 把6x^2-7x-5分解因式. 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 ╳ 3 -5 2×(-5)+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5) 指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 ╳ 1 5 1×5+1×(-3)=2 所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5). 例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式. 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 ╳ 5 -4 1×(-4)+5×2=6 解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y). 指出：原式分解为两个关于x，y的一次式. 例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解. 问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了. 解 (x-y)(2x-2y-3)-2 =(x-y)[2(x-y)-3]-2 =2(x-y) ^2-3(x-y)-2 =[(x-y)-2][2(x-y)+1] =(x-y-2)(2x-2y+1). 1 -2 ╳ 2 1 1×1+2×(-2)=－3 指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法. 例5 x^2+2x-15 分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3) (-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。 =(x-3)(x+5) 总结：①x^2＋（p+q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋(p+q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q) ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝(ax+b)(cx+d) a b ╳ c d

十字相乘法--借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积(一般会有几种不同的分法)然后按斜线交叉相乘、再相加，若有，则有，否则，需交换的位置再试，若仍不行，再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止。3.因式分解的一般步骤(1)如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式;(2)如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解;(3)对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解;(4)对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行。在进行因式分解时，要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法。以上这四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式，要学会具体问题具体分析。在我们做题时，可以参照下面的口诀:首先提取公因式，然后考虑用公式;十字相乘试一试，分组分得要合适;四种方法反复试，最后须是连乘式。

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。对于形如ax2+bx+c的多项式，在判定它能否使用十字分解法分解因式时，可以使用Δ=b2-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。1、十字分解法能用于二次三项式的分解因式（不一定是整数范围内）2、对于像ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。

十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式 的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法） 然后按斜线交叉相乘、再相加，若有 ，则有 ，否则，需交换 的位置再试，若仍不行，再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止。 3.因式分解的一般步骤 （1） 如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式； （2） 如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解； （3） 对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解； （4） 对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行。 在进行因式分解时，要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法。以上这四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式，要学会具体问题具体分析。 在我们做题时，可以参照下面的口诀： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 十字相乘试一试，分组分得要合适； 四种方法反复试，最后须是连乘式。

十字交叉法是进行二组分混和物平均量与组分量计算的一种简便方法。凡是一般的二元一次方程组（a1X + a2Y = a3( X +Y )关系式）的习题 ，均可用十字交叉法，但受我们所学知识的条件限制，这里只介绍其中的几种。<br>一、用组分的式量与混合气的平均式量做十字交叉，求组分体积比或含量。<br>例1：已知H2 和CO 的混合气，其平均式量是20，求混合气中H2 和CO 的体积比。（4∶9）<br>解： H2 2 28－20 4<br> ╲ ╱<br> —— 20 ——<br> ╱ ╲<br> CO 28 20－2 9<br>例2：已知CO、CO2 混合气的平均式量是32，耱混合气中CO 的体积百分数。（75%）<br>解： CO 28 12 3<br> ╲ ╱<br> —— 32 ——<br> ╱ ╲<br> CO2 44 4 1<br>二、用同位素的原子量或质量数与元素原子量作交叉，求原子个数比或同位素百分数。<br>例3：已知铜有63Cu 和65Cu 两种同位素，铜元素的原子量是63.5，求63Cu 和65Cu的原子个数比。（3∶1）<br>解： 63Cu 63 1.5 3<br> ╲ ╱<br> —— 63.5 ——<br> ╱ ╲<br> 65Cu 65 0.5 1<br>三、用组分的气体密度与混合气的密度作十字交叉，求组分的体积比或体积分数。<br>例4：标况下，氮气的密度为1.25 g•L-1，乙烷的密度为1.34 g•L-1，两种气体混合后，其密度为1.30 g•L-1，求混合气中氮气和乙烷的体积比（4∶5）<br>解： 氮气 1.25 0.04 4<br> ╲ ╱<br> —— 1.30 ——<br> ╱ ╲<br> 乙烷 1.34 0.05 5<br>四、用两种不同浓度溶液的质量分数与混合溶液的质量分数作十字交叉，求两种溶液的质量比<br>例5：用60%和20%的两种NaOH 溶液混合配成30%的NaOH 溶液，则所用两种NaOH 溶液的质量比为多少（1∶3）<br>解： 60% 60% 10% 1<br> ╲ ╱<br> —— 30% ——<br> ╱ ╲<br> 20% 20% 30% 3<br>五、用两种物质中同一元素的质量分数求两物质的质量比<br>例6：FeO 中和FeBr2 的混合物中Fe 的质量百分率为50%，求两物质的质量比（13∶15）<br>解： FeO 7/9 13/54 13<br> ╲ ╱<br> —— 1/2 ——<br> ╱ ╲<br> FeBr2 7/27 5/18 15

十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1u2022a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1u2022c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。一个例题~例1把2x^2;-7x+3分解因式.　　分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分　　别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.　　分解二次项系数(只取正因数)：　　2＝1×2＝2×1；　　分解常数项：　　3=1×3=1×3==(-3)×(-1)=(-1)×(-3).　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：　　11　　╳　　23　　1×3+2×1　　=5　　13　　╳　　21　　1×1+2×3　　=7　　1-1　　╳　　2-3　　1×(-3)+2×(-1)　　=-5　　1-3　　╳　　2-1　　1×(-1)+2×(-3)　　=-7　　经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.

x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) abx^2+(ad+bc)x+cd=(ax+c)(bx+d) 字相乘法能把某些二次三项式分解因式。要务必注意各项系数的符号。

1- 14 x2 4x –2 x2 – 2 ( x- y )3 –(y- x) x2 –y2 – x + y x2 –y2 －1 ( x + y) (x – y ) x2 + 1 x2 －2－（ x －1x )2 a3－a2－2a 4m2－9n2－4m+1 3a2+bc－3ac-ab 9－x2+2xy－y2 2x2－3x－1 －2x2+5xy+2y2 10a(x－y)2－5b(y－x) an+1－4an＋4an-1 x3(2x－y)－2x＋y x(6x－1)－1 2ax－10ay＋5by＋6x 1－a2－ab－14 b2 a4＋4 (x2＋x)(x2＋x－3)＋2 x5y－9xy5 －4x2＋3xy＋2y2 4a－a5 2x2－4x＋1 4y2＋4y－5 3X2－7X+2 8xy(x－y)－2(y－x)3 x6－y6 x3＋2xy－x－xy2 (x＋y)(x＋y－1)－12 4ab－（1－a2）（1－b2） －3m2－2m＋4 a2－a－6 2(y－z)＋81(z－y) 9m2－6m＋2n－n2 ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2) a4－3a2－4 x4＋4y4 a2＋2ab＋b2－2a－2b＋1 x2－2x－4 4x2＋8x－1 2x2＋4xy＋y2 - m2 – n2 + 2mn + 1 (a + b)3d – 4(a + b)2cd+4(a + b)c2d (x + a)2 – (x – a)2 –x5y – xy +2x3y x6 – x4 – x2 + 1 (x +3) (x +2) +x2 – 9 (x –y)3 +9(x – y) –6(x – y)2 (a2 + b2 –1 )2 – 4a2b2 (ax + by)2 + (bx – ay)2 x2 + 2ax – 3a2 3a3b2c－6a2b2c2＋9ab2c3 xy＋6－2x－3y x2(x－y)＋y2(y－x) 2x2－(a－2b)x－ab a4－9a2b2 ab(x2－y2)＋xy(a2－b2) (x＋y)(a－b－c)＋(x－y)(b＋c－a) a2－a－b2－b (3a－b)2－4(3a－b)(a＋3b)＋4(a＋3b)2 (a＋3)2－6(a＋3) (x＋1)2(x＋2)－(x＋1)(x＋2)2 35.因式分解x2－25＝ 。 36.因式分解x2－20x＋100＝ 。 37.因式分解x2＋4x＋3＝ 。 38.因式分解4x2－12x＋5＝ 。 39.因式分解下列各式： (1)3ax2－6ax＝ 。 (2)x(x＋2)－x＝ 。 (3)x2－4x－ax＋4a＝ 。 (4)25x2－49＝ 。 (5)36x2－60x＋25＝ 。 (6)4x2＋12x＋9＝ 。 (7)x2－9x＋18＝ 。 (8)2x2－5x－3＝ 。 (9)12x2－50x＋8＝ 。 40.因式分解(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4)＝ 。 41.因式分解2ax2－3x＋2ax－3＝ 。 42.因式分解9x2－66x＋121＝ 。 43.因式分解8－2x2＝ 。 44.因式分解x2－x＋14 ＝ 。 45.因式分解9x2－30x＋25＝ 。 46.因式分解－20x2＋9x＋20＝ 。 47.因式分解12x2－29x＋15＝ 。 48.因式分解36x2＋39x＋9＝ 。 49.因式分解21x2－31x－22＝ 。 50.因式分解9x4－35x2－4＝ 。 51.因式分解(2x＋1)(x＋1)＋(2x＋1)(x－3)＝ 。 52.因式分解2ax2－3x＋2ax－3＝ 。 53.因式分解x(y＋2)－x－y－1＝ 。 54.因式分解(x2－3x)＋(x－3)2＝ 。 55.因式分解9x2－66x＋121＝ 。 56.因式分解8－2x2＝ 。 57.因式分解x4－1＝ 。 58.因式分解x2＋4x－xy－2y＋4＝ 。 59.因式分解4x2－12x＋5＝ 。 60.因式分解21x2－31x－22＝ 。 61.因式分解4x2＋4xy＋y2－4x－2y－3＝ 。 62.因式分解9x5－35x3－4x＝ 。 63.因式分解下列各式： (1)3x2－6x＝ 。 (2)49x2－25＝ 。 (3)6x2－13x＋5＝ 。 (4)x2＋2－3x＝ 。 (5)12x2－23x－24＝ 。 (6)(x＋6)(x－6)－(x－6)＝ 。 (7)3(x＋2)(x－5)－(x＋2)(x－3)＝ 。 (8)9x2＋42x＋49＝ 。 (1)(x＋2)－2(x＋2)2＝ 。 (2)36x2＋39x＋9＝ 。 (3)2x2＋ax－6x－3a＝ 。 (4)22x2－31x－21＝ 。 70.因式分解3ax2－6ax＝ 。 71.因式分解(x＋1)x－5x＝ 。 72.因式分解(2x＋1)(x－3)－(2x＋1)(x－5)＝ 73.因式分解xy＋2x－5y－10＝ 74.因式分解x2y2－x2－y2－6xy＋4＝ x3＋2x2＋2x＋1 a2b2－a2－b2＋1 (1)3ax2－2x＋3ax－2 (x2－3x)＋(x－3)2＋2x－6 1)(2x＋3)(x－2)＋(x＋1)(2x＋3) 9x2－66x＋121 17.因式分解 (1)8x2－18 (2)x2－(a－b)x－ab 18.因式分解下列各式 (1)9x4＋35x2－4 (2)x2－y2－2yz－z2 (3)a(b2－c2)－c(a2－b2) 19.因式分解(2x＋1)(x＋1)＋(2x＋1)(x－3) 20.因式分解39x2－38x＋8 21.利用因式分解求(6512 )2－(3412 )2之值 22.因式分解a(b2－c2)－c(a2－b2) 24.因式分解7(x－1)2＋4(x－1)(y＋2)－20(y+2)2 25.因式分解xy2－2xy－3x－y2－2y－1 26.因式分解4x2－6ax＋18a2 27.因式分解20a3bc－9a2b2c－20ab3c 28.因式分解2ax2－5x＋2ax－5 29.因式分解4x3＋4x2－25x－25 30.因式分解(1－xy)2－(y－x)2 31.因式分解 (1)mx2－m2－x＋1 (2)a2－2ab＋b2－1 32.因式分解下列各式 (1)5x2－45 (2)81x3－9x (3)x2－y2－5x－5y (4)x2－y2＋2yz－z2 33.因式分解：xy2－2xy－3x－y2－2y－1 34.因式分解y2(x－y)＋z2(y－x) 1)因式分解x2＋x＋y2－y－2xy＝ 我搜到的就是没答案。。哎。。

x^2-x-2=(x-2)(x+1)2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2)

十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.　　　十字相乘法能把某些二次三项式分解因式.这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:ax^2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）,在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号.基本式子：x^2+（p+q）χ+pq=（χ+p）（χ+q）所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说：把x^2+7x+12进行因式分解. .　　上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以上式可以分解为：x^2+7x+12=(x+3）(x+4） .　　又如：分解因式：a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5×（-3）.而5+(-3）又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5）(a-3）. 十字相乘法讲　　x^2-3x+2=如下：　　x -1　　╳　　x -2　　左边x乘x= x^2　　右边-1乘-2=2　　中间-1乘x+（-2）乘x（对角）=-3x　　上边的【x+（-1）】乘下边的【x+（-2）】　　就等于（x-1）*（x-2）　　x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）编辑本段通俗方法方法　　先将二次项分解成（1 X 二次项系数）,将常数项分解成（1 X 常数项）然后以下面的格式写　　1 第三次a=2 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b　　第四次a=2 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b　　第五次a=2 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b　　第六次a=3 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b　　第七次a=3 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b　　.　　依此类推　　直到（ad+cb=一次项系数）为止.最终的结果格式为（ax+b)(cx+d)例　　：（^2代表平方）　　a^2x^2+ax-42　　首先,我们看看第一个数,是a↑2,代表是两个a相乘得到的,则推断出（a ×+?）×（a ×+?）　　然后我们再看第二项,+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果,所以推断出使两项式×两项式.　　再看最后一项是-42 ,-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2　　首先,21和2无论正负,合并后都不可能是1 只可能是-19或者19,所以排除后者.　　然后,在确定是-7×6还是7×-6.　　（a×+(-7））×（a×+6）=a^2-a-42（计算过程省略）　　得到结果与原来结果不相符,原式+a 变成了-a　　再算：　　（a×+7）×（a×+(-6））=a^2+a-42　　正确,所以a^2x^2+ax-42就被分解成为（ax+7）×（ax-6）,这就是通俗的十字相乘法分解因式.编辑本段例题解析例1　　把2x^2-7x+3分解因式.　　分析：先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分　　别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.　　分解二次项系数（只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同!　　2=1×2=2×1；　　分解常数项：　　3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).　　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：　　1 1　　╳　　2 3　　1×3+2×1=5 ≠-7　　1 3　　╳　　2 1　　1×1+2×3=7 ≠-7　　1 -1　　╳　　2 -3　　1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7　　1 -3　　╳　　2 -1　　1×(-1)+2×(-3)=-7　　经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7.　　解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1)　　一般地,对于二次三项式ax+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下：　　a1 c1　　╳　　a2 c2　　a1c2+a2c1　　按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax^2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即　　ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).　　像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法.例2　　把6x^2-7x-5分解因式.　　分析：按照例1的方法,分解二次项系数6及常数项-5,把它们分别排列,可有8种不同的排列方法,其中的一种　　2 1　　╳　　3 -5　　2×(-5)+3×1=-7　　是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.　　解 6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5)　　指出：通过例1和例2可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,往往要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.　　对于二次项系数是1的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式,十字相乘法是　　1 -3　　╳　　1 5　　1×5+1×(-3)=2　　所以x+2x-15=(x-3)(x+5).例3　　把5x^2+6xy-8y^2分解因式.　　分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把-8y^2看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即　　1 2　　╳　　5 -4　　1×(-4)+5×2=6　　解 5x+6xy-8y=(x+2y)(5x-4y).　　指出：原式分解为两个关于x,y的一次式.例4　　把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式.　　分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,只有先进行多项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解.　　问：以上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?　　答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了.　　解 (x-y)(2x-2y-3)-2　　=(x-y)[2(x-y)-3]-2　　=2(x-y) ^2-3(x-y)-2　　1 -2　　╳　　2 1　　1×1+2×（-2）=－3　　=[(x-y)-2][2(x-y)+1]　　=(x-y-2)(2x-2y+1).　　指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解,这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5　　x^2+2x-15　　分析：常数项（-15）<0,可分解成异号两数的积,可分解为（-1）（15）,或（1）(-15）或（3）　　(-5）或（-3）（5）,其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2.　　=(x-3）(x+5）　　总结：①x+（p+q）x+pq型的式子的因式分解　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解　　如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 时,那么　　kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)　　a b　　╳　　c d　　教学重点和难点　　重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式；　　难点：灵活运用十字相乘法分解因式.编辑本段解决两者之间的比例问题原理　　一个集合中的个体,只有2个不同的取值,部分个体取值为A,剩余部分取值为B.平均值为C.求取值为A的个体与取值为B的个体的比例.假设总量为S, A所占的数量为M,B为S-M.　　则：[A*M+B*（S－M）]/S=C　　A/S*M/S+B/S*(S-M)/S=C　　M/S=(C-B)/(A-B)　　1-M/S=(A-C)/(A-B)　　因此：M/S∶（1-M/S）=（C-B）∶（A-C)　　上面的计算过程可以抽象为：　　A ………C-B　　……C　　B……… A-C　　这就是所谓的十字相乘法.X增加,平均数C向A偏,A-C（每个A给B的值）变小,C-B（每个B获得的值）变大,两者如上相除=每个B得到几个A给的值.即比例,以十字相乘法形式展现更加清晰使用时的注意事项　　第一点：用来解决两者之间的比例问题.　　第二点：得出的比例关系是基数的比例关系.　　第三点：总均值放中央,对角线上,大数减小数,结果放在对角线上.例题　　某高校2006年度毕业学生7650名,比上年度增长2%,其中本科毕业生比上年度减少2%,而研究生毕业数量比上年度增加10%,那么,这所高校今年（2006）毕业的本科生有多少人?　　十字相乘法　　去年毕业生一共7500人,7650÷（1+2%）=7500人.　　本科生：-2%………8%　　…………………2%　　研究生：10%……… -4%　　本科生∶研究生=8%∶（-4%)=-2∶1.　　去年的本科生：7500×2/3=5000　　今年的本科生：5000×0.98=4900　　答：这所高校今年毕业的本科生有4900人.　　鸡兔同笼问题　　今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?　　十字相乘法　　假设全为鸡脚则有70只脚,假设全为兔脚则有140只脚　　鸡：70……… …46　　……………………94　　兔：140……… …24　　鸡：兔=46：24=23：12　　答：鸡有23只,兔有12只.编辑本段十字相乘法解一元二次方程例1　　把2x^2-7x+3分解因式.　　分析：先 分解二次项系数,　　分别写在十字交叉线的左上角和左下角,　　再分解常数项,　　分别写在十字交叉线的右上角和右下角,　　然后交叉相乘,　　求代数和,使其等于一次项系数.　　分解二次项系数（只取正因数）：　　2=1×2=2×1；　　分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3）×（-1）=(-1）×（-3）.　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：　　1 1　　╳　　2 3　　1×3+2×1=5　　1 3　　╳　　2 1　　1×1+2×3=7　　1 -1　　╳　　2 -3　　1×（-3）+2×（-1） =-5　　1 -3　　╳　　2 -1　　1×（-1）+2×（-3） =-7　　经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数－7.　　解 2x^2-7x+3=(x-3）（2x-1）.　　一般地,对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0）,　　如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,　　即a=a1a2,　　常数项c可以分解成两个因数之积,　　即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,　　排列如下：　　a1 c1　　╳　　a2 c2　　a1c2+a2c1　　按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,　　若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,　　即a1c2+a2c1=b,　　那么二次三项式就⒂可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,　　即 ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）.例2　　把6x^2-7x-5分解因式.　　分析：按照例1的方法,　　分解二次项系数6及常数项-5,　　把它们分别排列,　　可有8种不同的排列方法,　　其中的一种 21╳3-5 2×（-5）+3×1=-7　　是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.　　解 6x^2-7x-5=（2x+1）（3x-5）　　指出：通过例1和例2可以看到,　　运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,　　往往要经过多次观察,　　才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.　　对于二次项系数是1的二次三项式,　　也可以用十字相乘法分解因式,　　这时只需考虑如何把常数项分解因数.　　例如把x^2+2x-15分解因式,　　十字相乘法是1-3╳ 15 1×5+1×（-3）=2　　所以x^2+2x-15=(x-3）(x+5）.例3　　把5x^2+6xy-8y^2分解因式.　　分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,　　把-8y^2看作常数项,　　在分解二次项及常数项系数时,　　只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,　　经过观察,选取合适的一组,　　即 12╳ 5-4 1×（-4）+5×2=6　　解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)（5x-4y).　　指出：原式分解为两个关于x,y的一次式.例4　　把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式.　　分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,　　只有先进行多项式的乘法运算,　　把变形后的多项式再因式分解.　　问：两上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?　　答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y）,它是第一个因式的二倍,然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了.　　解 (x-y)（2x-2y-3）-2　　=(x-y)[2(x-y)-3]-2　　=2(x-y) ^2-3(x-y)-2　　1-2╳ 21　　1×1+2×（-2）=－3　　=[(x-y)-2][2(x-y)+1]　　=(x-y-2）（2x-2y+1）.　　指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解,　　这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5x^2+2x-15　　分析：常数项（-15）<0,可分解成异号两数的积,　　可分解为（-1）（15）,或（1）(-15）或（3） (-5）或（-3）（5）,　　其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2. =(x-3）(x+5）　　总结：①x^2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；　　常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.　　因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分　　x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解　　如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 时,　　那么 kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d) a b╳c d　　（1） (x+3）(x-6）=-8 （2） 2x^2+3x=0　　（3） 6x^2+5x-50=0 （4）x^2-2( + )x+4=0　　（1）（x+3）(x-6）=-8 化简整理得　　x^2-3x-10=0 （方程左边为二次三项式,右边为零）　　(x-5）(x+2）=0 （方程左边分解因式）　　∴x-5=0或x+2=0 （转化成两个一元一次方程)　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解.　　（2）2x^2+3x=0　　x（2x+3）=0 （用提公因式法将方程左边分解因式）　　∴x=0或2x+3=0 （转化成两个一元一次方程）　　∴x1=0,x2=-3/2是原方程的解.　　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解.　　（3）6x^2+5x-50=0　　（2x-5）（3x+10）=0 （十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）　　∴2x-5=0或3x+10=0　　∴x1=5/2,x2=-10/3 是原方程的解.　　（4）x^2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法）　　(x-2）(x-2 )=0　　∴x1=2,x2=2是原方程的解.　　例题x^2-x-2=0　　（x+1）(x-2）=0　　∴x+1=0或x-2=0　　∴x1=-1,x2=2　　（附：^是数学符号）

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。5、十字相乘法解题实例：1)、 用十字相乘法解一些简单常见的题目例1把m +4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -21 ╳ 6所以m +4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x +6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解： 因为 1 25 ╳ -4所以5x +6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x -8x+15=0分析：把x -8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。解： 因为 1 -31 ╳ -5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3 x2=5例4、解方程 6x -5x-25=0分析：把6x -5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。解： 因为 2 -53 ╳ 5所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0所以 x1=5/2 x2=-5/32)、用十字相乘法解一些比较难的题目例5把14x -67xy+18y 分解因式分析：把14x -67xy+18y 看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y 可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y解: 因为 2 -9y7 ╳ -2y所以 14x -67xy+18y = (2x-9y)(7x-2y)

十字相乘法能把某些二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式。这种方法的关健是把二次项的系数a分解成两个因数a1,a2的积a1u2022a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1u2022c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。例:x2+2x-15分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。=（x-3）（x+5)

初 二 代 数第八章 因式分析[重点、难点点拨]一、知识要点 1.因式分解——把一个多项式化为几个整式的积的 形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2.因式分解的方法 (1)提取公因式——如果多项式的各项有公因式，可 把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形 式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。 提取公因式法是因式分解的最基本、最常用的方法，它的理论依据就是乘法的分配律，能找出多项式各项的公 因式是这种方法的关键，并要注意养成首先作提公因式分解的习惯。 (2)运用公式法——如果把乘法公式反过来，就可以用把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。(3)分组分解法——利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 被分解的多项式中，如果项数超过三项，进行因式分解时所采用的方法常是分组分解，一般来说，分组分解法有两种类型：第一种是分组后各组有公因式，可以进一步提取公因式进行分解；第二种是分组后可以应用公司进行分解。（4）十字相乘法——借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式 的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法）然后按斜线交叉相乘、再相加，若有 ，则有 ，否则，需交换 的位置再试，若仍不行，再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止。3.因式分解的一般步骤（1） 如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；（2） 如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解；（3） 对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解；（4） 对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行。 在进行因式分解时，要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法。以上这四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式，要学会具体问题具体分析。在我们做题时，可以参照下面的口诀：首先提取公因式，然后考虑用公式；十字相乘试一试，分组分得要合适；四种方法反复试，最后须是连乘式。二、学习要求1、 正确理解因式分解的意义，会判断一个变形是不是因式分解，会判断分解所得的因式是否能再继续分解，从而得到因式分解的正确结果。要了解因式分解与整式乘法的区别和联系。2、会正确判定多项式各项的公因式，会用提公因式的方法分解因式，并养成首先运用提公因式法分解因式的习惯。3、熟记五个乘法公式，理解乘法公式逆向应用就是因式分解的公式。会运用换元的思想把某个代数式看做一个字母，会判断一个多项式是否符合各个公式的结构特点，并会把公式结构特点的多项式依照公式进行因式分解。4、会运用十字相乘的方法，把某些二次三项式（或可以看做二次三项式的多项式）进行因式分解。5、会运用先分组，再提公因式法或运用公因式法和十字相乘法进行因式分解。※ 6、会综合运用各种方法，做较复杂的因式分解。※ 7、会运用因式分解解决一些简单的数学问题。[重点、难点例题分析]例1 下列各式中，哪些是因式分解，哪些不是因式分解？(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)分析：由于因式分解的对象是多项式，而 是单项式，所以（1）不是；由于因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，而 恰恰相反,它是把m与x+y-z的积化为一个多项式，所以(2)不是；由于（3）的结果也不是整式的积的形式，而是将原多项式进行了部分的分解，所以(3)不是；（4）中等号右边的 还可以提公因式x，它还没有分解完，所以（4）不是；（5）采用的是提公因式法，但它提取的是 ，这不是整式，而我们要求提取的公因式应为整式，即单项式或多项式，所以（5）也不是；(6)、(7)、(8)均符合因式分解的定义，并且将等式右边的乘积算出来，其结果等于原式，所以（6）、（7）、（8）是因式分解。注：（1）因式分解是在整式范围内进行的。另外，要注意在什么数的范围内进行因式分解，若题目没有说明，一般指在有理数范围内进行。（2）因式分解不能只分解多项式的某些项，变形的结果必须是化成几个整式的积的形式。（3）一定要把多项式的每个因式分解到不能再分为止。（4）因式分解与整式乘法是一对互逆的运算，多项式的因式分解是把和差化为积的形式；而整式乘法是把积化为和差的形式，虽然都是恒等变形，但它们是互逆的两种过程。例2 用提公因式分解下列因式。（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）分析：当多项式的某一项和公因式相同时，注意不要漏掉1，即 。（2）分析：这个多项式的第一项为负，而括号内多项式的首项应为正，所以公因式为-xy，注意括号内中的每一项都要变号。（3） ]注：把（x-y）当作一个因式，另一个因式要整理，去掉中括号，因式分解要求最后结果应是最简形式，能合并的一定要合并。（4）分析：∵ ∴公因式为 。∴（5）分析：∵，∴公因式为（x-y）.∴由（4）、（5）可知：当公因式是多项式时，要注意符号问题，若需要改变括号内的字母顺序，应尽量改变偶次项括号内的字母顺序，若均为奇次项，则应保持首项系数为正。当n为偶数时，当n为奇数时，注：①在确定各项的公因式时要注意，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同的字母，各字母的指数取次数最低的。②提出公因式后，剩下的项组成的另一个因式的项数应和原多项式的项数相同。例3 用公因式法分解下列因式。注：(1)运用公式法进行因式分解的依据是乘法公式的逆变形。（2）运用公式法进行因式分解的关键是要弄清各个公式的形式结构和特点，熟练地掌握公式。在做题时，可以先将多项式化为公式的基本形式，如：可化为（ ）2 -（ ）2 ，运用平方差公式；可化为 ，运用完全平方公式；可化为 ，运用立方和或立方差公式。 （3）在运用公式法做因式分解时，公式中的字母a、b可为任意数、单项式或多项式等。解：（1）分析：这题显然不能直接使用公式，由于两项均为4次方。因此需要添一项凑出一个完全平方式，这里注意应凑成 ，以利于进一步的分解。（2）分析：这题可以通过拆项的方法进行因式分解，由三项的系数特征可知应将 拆为 后再分组。例11 已知多项式 有一个因式是 ,求k的值并把原式分解因式。 分析：由于 是一个三次多项式，而已知有一个一次多项式因子，可知另一个因子必是二次多项式，不妨设为 ，用待定系数法可确定a、b的值。[重点、难点练习题]一、 用提取公因式法分解下列各式二、用公式法分解下列各式三、用十字相乘法分解下列各式四、用分组分解法分解下列因式五、分解下列因式六、分解下列因式[全方位单元综合练习题]一、 判断题（对的在括号里打"√",错的打"×"）6、因式分解过程正好与整式乘法过程相反。 （ ）7、任意一个二次多项式都可以分解为两个一次因式的乘积。（ ）8、两个偶数的平方差一定是4的倍数。 （ ）二、 选择题（每题只有一个正确答案，把正确答案的序号填在括号里）四、将下列各式分解因式五、将下列各式分解因式

十字相乘法，要按某个字母降幂排列，分解第一项和第三项合成第二项。看图：

一九六九年的伍德斯多克（woodstock），被视为摇滚的颠峰聚会。spirit 同时有精神之意，歌词暗示在伍德斯多克之后，无论看起来多美丽，摇滚的精神 已经不再存在了。 认为这首歌象征美国社会的人则这样来理解一九六九：一九六九是六十年代 最后一年，说自一九六九就再没有那样的精神了，是指美国六十年代的自由、和 平、平等的精神。 有的人认为歌曲中的加州旅馆是确实存在的，而这之中还有旅馆、戒毒所、精神病院三种说法。 认为确实存在这个旅馆的人，在南加州的托多斯桑托斯（Todos Santos ） 这个小镇算是找到他们需要的一切。小镇在南加州高速公路的沙漠旁边，在小镇 内有一座类似唱片封面的旅馆，在旅馆的不远处是会半夜传来钟声的教堂，而这 旅馆在以前正是有暗地的色情交易。 旅馆的主人号称这正是歌曲中的“加州旅馆”，不过小镇历史上，旅馆的改 名是在歌曲已经流行后的八十年代才发生的。在九十年代后期，数篇报章开始登 载这个正宗“加州旅馆”的故事，最后终于引来了歌曲创作者Don Henley在二 ○○○年的正式否认：老鹰乐队的成员从未到过此地。 歌曲本身的数次对毒品的暗示，是加州旅馆原是戒毒所说法的来源。按此说 法：加州旅馆是在南加州公路旁的一个自愿戒毒院，老鹰队员曾经吸毒与入院的 经历是歌词的创作来源。 歌词在一开始colitas的暗示，头感到发重是吸大麻烟的特征。“lit up a candle”是一个吸毒的常用语，在后院跳舞更是吸毒后失控发作的一个现象。 这种自愿戒毒院是主要为中产阶层开的，介于疗养院与戒毒所之间，而淫乱 现象更是七十年代中产阶层放荡后的一种常态。毒品的瘾性使得你可以在某段时 间痊愈而离开戒毒院，不过却永远无法摆脱那重蹈旧轨的阴影，这正是“你可以一时结账，却永远无法离开”的写照。 歌词的诡异可能是精神病院说法的来源。歌词中与之相关联的暗示有：不断 有远处声音的幻听想象；天堂和地狱指精神病人中某些如恶魔的邪恶人性和如天 使纯洁无知觉；在后院里病人如着魔般的跳舞；头脑思想扭曲正是精神病的直语； 自己思想的囚犯也是暗语；想杀死恶魔却总杀不死的精神病幻觉。当然精神病也 和毒品一样，你可以觉得你暂时是正常了，却无法保证将来是正常的，永远无法 离开那阴影。 七十年代曾经是电影界恐怖片流行的时候，而这歌词正勾出这样的故事框架。 边远沙漠大路上的孤独一人，大门前掌烛的丽人，酒吧的神秘领班，后院的召魔 舞蹈，意图杀死却总杀不死的恶魔，即使结束却总有人来在背后提醒还有续集的结尾。这些种种，使得歌词有一种鬼影森森的感觉，而在恐怖片中，精神病院更 常是主要的背景场所了。 相对于实地去寻找，加州旅馆是虚指的象征显然更加有说服力。但是这象征 是何所指呢？这也至少有音乐界、洛杉矶生活、美国社会三种说法。 六十年代是美国音乐界的自由创作时期，摇滚乐的流行成为六十年代自由与反叛思想的象征，然而其盛况也带来了商人无限贪婪的眼光。吸毒和淫乱几乎成 了每个摇滚手在七十年代走的同一条堕落之路，金钱与享乐成为了摇滚音乐在七 十年代的新形像。 同为音乐人的老鹰乐团看到这样的事实，却无能为力。乐手们已经将这种沉 迷的生活看成了是音乐界的常态，摇滚乐手们身边总充满了漂亮的面孔与漂亮的 地点。对于外界的质疑，他们总是自我原谅：放轻松点吧，我们是天生易于被诱 惑。音乐界已经无法杀死金钱的这个心魔，即使某些个人可以暂时结束，却永远 无法摆脱。 一九六九年的伍德斯多克（woodstock），被视为摇滚的颠峰聚会。spirit 同时有精神之意，歌词暗示在伍德斯多克之后，无论看起来多美丽，摇滚的精神 已经不再存在了。 认为这首歌象征美国社会的人则这样来理解一九六九：一九六九是六十年代 最后一年，说自一九六九就再没有那样的精神了，是指美国六十年代的自由、和 平、平等的精神。 美国一进入七十年代，就遭遇到了中东石油危机、越战的战败、尼克松的水 门事件等。就在一夜间，美国的精神面貌就从奋斗的青年们变成了庸俗与颓废的 中年了。 在两三年前有一部斯坦利·库别克（Stanley Kubrick）拍摄的电影“大开 眼界”（Eye wide open），看过这部电影的观众就可以在这部电影内容中发现 与这首歌词许多神似的情节内容。也是同样的吸毒堕落，也是同样的荒淫性乱， 也是同样的拜魔情结，也有同样的无法摆脱的阴影。这部电影就如同是这首歌的 一个解说，讲述那种已经不堪的美国社会状态。 洛杉矶之说是老鹰乐队自己在人们无数次追问后的一个回答，虽然说歌曲就 如同小说一样，离开了作者后要由听者来解释，堂·亨莱（Don Henley）是这 样解说的：“我们是一群来自中西部州中产阶层背景的年轻人，加州旅馆是我们 对洛杉矶的上流社会的理解。它可看做是对总是追求奢淫生活的美国的一个象征， 而不仅仅是关于加州和毕利华山区。”（毕利华山区是洛杉矶的一个最富人区， 好莱坞的影星歌星的居处） （“We were all middle-class kids from the Midwest,” Henley said of the Eagles. “""Hotel California"" was our interpretation of the high life in Los Angeles. It was meant to be a metaphor for the United States, for the excesses this country has always been known for. It wasn""t meant to be just about California or Beverly Hills.”） 《加州旅馆》自面世开始，立即就引来很多的质疑与批评。尽管谁也不敢夸 口说自己的理解是正解版本，但歌词中明显的吸毒、性乱、邪教等暗示还是引起 道德卫士的不满，并且在美国数州受到宗教团体的杯葛。不过，《加州旅馆》歌 曲中那成经典的吉他旋律、诡异莫名的歌词内容、感人心弦的悲世情怀，使得这 首《加州旅馆》神秘永远，成为最爱。

在中华传统文化中 民间故事占据了很大的地位。在许许多多的故事中 我们不仅感受到了听故事的快乐 更感受到了传统文化。这里我给大家整理了一篇关于三国演义中著名战争故事的民间故事，下面请跟随我的脚步一起去看一下三国演义中著名战争故事吧。 公元200年，袁绍挑选10万精锐步兵、1万骑兵，以黎阳为大本营;命令颜良为先锋，渡河进攻白马。曹操用荀攸之计，扬言渡河抄袭谁知旦分西东。袁绍后路，袁绍命令颜良分兵一半到延津阻击曹操渡河;曹操命令于禁固守延津，以张辽、关羽为先锋，自己亲自领主力直扑白马，与东郡太守刘延夹击颜良，颜良遂阵亡。袁绍大怒，命令全军渡河;又命另一心腹大将文丑与刘备为先锋，直扑白马。 曹操放弃白马，向延津撤退，并亲自帅精锐殿后，并故意放辎重;文丑、刘备带6000多骑兵追击，四散抢辎重;曹操乘机命令攻击，袁军大乱，文丑本人也被杀;曹操为诱敌深入，退回官渡。袁绍又不听田丰的计谋，并将他押送到邺城。袁绍摆开联营，步步进逼;曹操作出反应，命令于禁、乐进攻击两翼，大胜。袁绍为赢得胜利，在南方向李通、刘辟策反;李通不背叛反而领兵消灭暗通袁绍的地方豪强;曹操又命令曹仁、徐晃带领骑兵星夜前往镇压刘辟、刘备。袁绍一计不成，又生一计，写书让江东孙策北上偷袭许昌;曹操谋士郭嘉认为孙策过于轻佻，必死于刺客之手，果然不久，孙策受到仇人阻击，伤重而亡(一说乃郭嘉暗中派遣曹操手下猛士杀孙策)。曹操与袁绍相持日久，军粮不足，意欲退回许昌，荀文若力劝曹操坚守，并最大限度支援前线。 公元200年10月，曹操命令曹仁、徐晃等偷袭袁绍大将韩猛，烧毁韩猛押运的几千车粮草。袁绍谋士许攸建议袁绍派偏师偷袭许昌，抢走汉帝，遭到拒绝后又因为家属被审配收监，许攸无奈投靠曹操，并建议曹操偷袭袁军粮草堆放地乌巢;曹操留下曹洪等守大营，自己领夏侯渊、张辽、曹仁等直扑乌巢，同时命令徐晃偷袭袁军另外一粮草堆放地;曹很久很久以前，金书压没有庙子，只是个表面很平顺的大岩阡。军假装袁军，骗过袁军的盘查，偷袭乌巢。消息传到袁绍耳中，袁绍不听从大将张A应重兵救乌巢的建议;却听从谋士郭图意见命张A、高览率重兵强攻曹军大营，只派出少量骑兵救乌巢。救兵到达乌巢，曹操先集中全力攻下乌巢袁军营，擒守将淳于琼，烧毁所有物资;再回头击败来救的袁军骑兵;同时徐晃也攻下故市，烧毁所有的物资。 消息传到袁军大营，郭图为免获罪，造谣说张A为乌巢之败而幸灾乐祸，同时派人通知张A说袁绍要杀张A，张＂妈妈，爸爸，我要回去了，我下午还要画画，我在天上的美术学校学习。＂丽丽想到自己下午还要画画，于是对自己的父母说道。A无奈投降曹军。曹操遂大举反攻，袁军毫无斗志，大部分投降曹军;袁绍等人仅仅与800亲兵逃走;后7万多投降的士兵被曹操下令活埋，袁绍另一重要谋士田丰被听信谗言的袁绍所杀。 【战争影响】官渡大战，可以说是三国时期最精彩的战役，也是战争史上著名的范例;它标志着曹操正式称雄于北方，为北方的统一打下了基础。 二、【赤壁之战】 公元208年，刘表病重，孙权于是加紧时机向荆州进攻;投靠刘表、驻扎新野的刘备也借口抵御曹操和孙权，把所属军队扩充到几万人，并命令关羽于樊口大力训练水军，准备抢夺荆州;刘表长子刘琦为后母蔡氏家族所逼，进驻夏口。8月，刘表病死，次子刘琮在实力派舅舅蔡瑁兄弟、张允、蒯越等的支持下，任荆州牧。 曹操于是率领大军迅速从叶、宛的小路南下，击败刘备守军，占领新野;刘琮在王粲、蒯越、蔡瑁等人的建议下投降曹操。刘备企图占领南郡(江陵)，依靠那里大量的物资抵抗曹操;曹操得知刘备意图后，自己亲自率领5000精锐骑兵星夜追击刘备，由于大量百姓跟随刘备南下，曹军于当阳长坂为追上刘军，而关羽、诸葛亮已经事先撤退到夏口，刘军大败，刘备、赵云等"仅以身免";刘备无奈只好改变主意，退回夏口。曹操取江陵后，又攻取、招降了荆州8郡，受降刘琮水、陆军达10万人;刘备于是派诸葛亮与孙权结盟，孙权在听取了周瑜、鲁肃、诸葛亮的分析后，决定抗曹，并命令周瑜、鲁肃、程普带3万多水军与刘备回合。 11月，曹操率领10余万大军，进攻夏口的刘备;曹操水军在赤壁与孙刘联军遭遇交战失利，曹操领主力到达后，大军在乌林驻扎;由于水土不服，曹军大量染上血吸虫病。庞统假献"连环计"，曹操为了克服曹军不适应水战的缺点，也就相信了庞统的计谋，命令把大部分船只用铁索连起来，形成为日后惨败致命的"连环船"。周瑜、黄盖等人利用连环船有不易躲避吃着梅子，尝着桑葚，刘掌柜的心头不禁充满了甜蜜的感觉。可他没高兴多久，便又犯起愁来：两个儿子在同天里回到了家中，并且都带回了样他们所要寻找的果子，孝心实在难以分出高下，那块"满堂春"的牌子，到底该传给谁呢？火烧的致命弱点，采用火攻;通常冬天吹北风，而江南由于气候问题，每年在12月有几天是反常吹东南风;为方便纵火，周瑜、黄盖使出"苦肉计"，曹操被蒙骗上当。在一个北风转东南风的夜晚，黄盖诈降，成功纵火，曹军大乱，联军乘机进攻;曹军大量烧死、淹死、投降，曹操在亲卫队的保护下，仓皇从华容道逃回江陵;为避免战船落 *** 军手中，曹操命令放火烧毁其他营寨的所有战船。 同时孙权在南方进攻合肥，曹操无奈命令张辽、乐进、李典星夜驰援合肥;留下曹仁、徐晃守江陵，自己退回许昌。一年后，曹操命令曹仁、徐晃退出江陵，防守襄阳、樊城，荆州大部分于是落入刘备、孙权手中。209年，孙权从东线进攻合肥，于合肥为刘馥所挡。曹操10余万大军，败给了只有5--6万的孙刘联军，主要的原因是血吸虫病的流行和水土不服令北方军队丧失了战斗力，而曹操过于骄傲轻敌是主要的主观原因;而联军充分的利用了各个有利的条件，所以赢得胜利是理所当然的事情。 【战争影响】赤壁之战，曹操的所有水军全部丧失钱王想了想，说道：，而刘备、孙权在赤壁之战后实力大大增强，曹操失去了在短时间内统一中国的机会，对后世的影响相当大。 三、【汉巴之战】 公元215年，曹操以张合、朱灵为先锋，带5000兵马在前面开路，自己带领带领10万大军从陈仓出发。张鲁提议投降曹操，其弟弟张卫与大将杨昂等实力派坚决反对，张卫、杨昂率数万人坚守阳平关;曹军多次强攻不下，于是决定假装退兵迷惑张卫，张卫遂减少守军。曹操马上命令乘夜强攻，由于守军兵力薄弱并戒备松懈，阳平关于是失守，杨昂战死;曹军继续攻击其他的营寨，惊动了山上的几千只夜糜，夜糜冲进张卫大营，引起人喊马嘶，曹操以为张卫反击，于是命令夏侯敦、许褚等将领主力大举进攻，张卫不敌，遂投降，夺取阳平关集中体现了曹操的军事指挥艺术才华。 张鲁再次提议投降，遭到阎圃的反对，张鲁于是封藏而前往巴郡。曹操知道张鲁有心投降，于是用高官收买了巴族七姓首领，张鲁无奈投降。曹操又命夏侯渊、徐晃、张A攻下三巴，同时关中的程银、侯次，元朝皇帝跑了匹御马，这御马可是匹汗血宝马，日行千里，夜行百，是元朝皇帝心中的至宝。大硷都知道，元朝皇帝都是蒙古人，善于骑马，狩猎。选等叛将也投降曹操，曹操于是占据了汉中、巴郡。 刘备得知曹操平定了汉巴(其中巴东的首府为现在的重庆)，对自己威胁极大，只好向孙权妥协，孙权也想借此在合肥发动攻势拿下淮南，于是双方中分荆州。于是刘备命黄权攻取三巴，杀投靠曹操的巴族首领杜获等人，曹操命张A反攻，攻下巴东、巴西，并迁移百姓往汉中，又与张飞大战50多天，被张飞所败。曹操采取了一系列稳定汉巴的措施后留下夏侯渊等人留守而自己班师回洛阳(继续进攻刘备是否"怎么啦，闺女？"合适后面有分析)，并迁移8万多人民回关中。刘备集中力量后，先以张飞、马超、吴兰进攻武都，在下辩一带随时阻挡关中曹军增援汉中;自己领法正、黄忠、赵云等人率主力进攻夏侯渊据守的阳平关。 曹操马上命令曹洪、曹休(本来是曹植当主帅，由于曹丕作怪--)增援汉中，在下辩与刘备军展开激战，破吴兰，吴兰逃入阴平，为当地人所杀，后击败马超、张飞，平定响应刘备的地方首领雷定等部。刘备向诸葛亮求救，诸葛亮号召"男子当战，女子当运"，最大程度集中力量支援前线，形势对曹操相当不利，曹操亲自驻军长安，并命令曹仁平定向关羽投降的宛城守将侯音。刘备亲用法正的计谋，调动夏侯渊的一半军队增援张A，然后乘夜偷袭夏侯渊，第二天凌晨，刘备派黄忠偷袭正在指挥修补鹿角的夏侯渊，夏侯渊遂被杀，张A被逼收集残兵回守阳平关。由于形势更加严峻，曹操于是亲自到汉中前线，命令徐晃偷袭陈式据守的马鸣阁，恢复了汉中与下辩的联系;刘备命令部下坚守阵地，同时袭扰曹操的补给线，又命令赵云、黄忠偷袭北山，烧毁了曹军万余袋粮草。曹操无奈，只好让曹真去下辩接曹洪，放弃汉中，同时迁移几万户百姓回关中。 【战争影响】汉中之战的结果，基本决定了三国鼎立。 4、【关羽失荆州】 公元218年10月，南阳百姓因不堪剥削暴动，宛守将侯音乘机叛乱，致函关羽求助;关羽反映迟钝，侯音为曹仁所擒杀。219年7月，关羽受刘备取汉中胜利鼓舞，北上取襄樊;曹操以于禁为将，督7军救曹仁，同时命徐晃率军进驻宛城。 8月，山洪爆发，淹于禁等7军，关羽乘机攻击，庞德不降被杀，于禁投降;曹仁沉白马坚守樊城。关羽以偏将攻襄阳，自己亲自攻打樊城，并于樊城北布下阵地，以防北方曹军援兵;同时派人向附近郡县策反，荆州刺吏胡修、南乡太守傅方投降，许昌以南部分官吏也暗中策应关羽。曹操听取司马懿、蒋济等人意见，与孙权结盟，同时命徐晃率军救曹仁，并命名将张辽火速援曹仁。孙权故意派陆逊代吕蒙，关羽大意，遂抽走荆州部分守军;闰十月，孙权令吕蒙为大督，率军袭取江陵，孙皎后继，另派右护军蒋钦督水军进入沔水(汉水)，防关羽顺流而下。 吕蒙至寻阳(今湖北黄梅西南)，将战舰伪装成商船，兵士扮为商人，昼夜兼程。至公安，迫蜀守将傅士仁归降，继用傅士仁劝降了江陵守将糜芳，并厚待关羽将士眷属，释放关羽俘获的魏军将士，抚慰百姓。同时，令陆逊进至夷(彝)陵(今宜昌境)，西防刘备。徐晃到前线后，与曹仁取得联系，曹仁军士气大增;为离间孙刘，从中渔利，乃令部将将孙权来信射入关羽营中，关羽见后，犹豫不决，军心动摇。徐晃乘机大举进攻关羽据点，大破关羽，并乘机打通樊城路线。是时，洪水退，曹仁引军配合徐晃攻击关羽，文聘从水路短关羽粮道，关羽节节败退。 【战争结果】关羽知荆州已失，急忙退军，士兵得知家属获厚遇，士气剧降;后关羽败亡麦城。 5、【夷(彝)陵之战】 公元219年，关羽被吕蒙擒杀，荆州为孙权所有，刘备在巴山以东的势力全部消亡。为挽回既得利益，并为关羽报仇，刘备不顾大臣劝告，决意东出，令车骑将军张飞自阆中(今属四川)会师江州(今重庆)。张飞出发前被部将刺杀，刘备仍令诸葛亮留成都，赵云在江州为后军督，自统大军于七月东征。 孙权向刘备求和不成，进一步与魏修好，八月再次遣使称臣。曹魏趁势封孙权为吴王，加紧离间孙、刘。孙权接受封王，同时命右护军、镇西将军陆逊为大都督，统率朱然、潘璋、徐盛、韩当据说，愚人节起源于个很有名的希腊神话传说。农业女神得墨忒尔，在希腊是个妇孺皆知的神祗。她具有无边的法力，可以使土地肥沃，谷丰登，也可以令田园荒芜，万物凋零。在希腊众神中，她也是最受尊崇的女神之。万神之王宙斯是她的弟弟，也是她的丈夫。仅仅这个身份，就足以使众神在她的脚下俯首帖耳了。、孙桓等部5万人拒蜀军;令平戎将军步骘领兵万人守益阳(今属湖南)，企图阻止武陵(今湘西、黔东及鄂西南一带)土著部族助蜀。当4万蜀军进攻巫(今四川巫山)、秭归(今属湖北)时，陆逊针对蜀军势盛、求胜心切以及地形于己不利的状况，采取先让一步、集中兵力、相机决战的方略，令守将李异、刘阿率部退至夷陵成亭(今湖北枝城北，长江东岸)一带，姑娘不慌不忙地说："大王，只要你使百姓安康，我就会帮你忙的！"据守有利地形，将几百里峡谷山地让给刘备，以疲惫蜀军。次年正月，刘备遣将军吴班、陈式督水军进入夷陵地区，锁江东来福正在作难，见只雪白的小羊依在"吴中才子"之的唐伯虎，性情疏放、博学多才。他自称"江南第风流才子"，以仕女作比对自我身世的感叹。钱武举"谢绝推举，出仕为官"之事传入唐伯虎耳中，即日，他从苏州坐船来到钱武举故里。两人志同道合，真是相见恨晚。从此，他们往返于苏州、巴城，成为知己。老头身旁，心想："我吃不愁，穿不愁，就是孤单点。"他指着小羊说："就把它送给我做个伴吧。"老头思索了会，说："既然你喜欢，就带走吧，不过，要提防腿狼，出门时叫它把门关好。要是腿狼露面，吾给你们报信的。"西岸。二月，亲率诸将自秭归南渡，经崎岖山道，进至夷(彝)陵、夷道(今枝城)一带连营，坐镇指挥;以黄权为镇北将军，督江北诸军至夷(彝)陵北，与吴军相拒，兼防魏军袭击;派侍中马良进至武陵郡，接应反吴投蜀的部族首领沙摩柯，争取更大支援。当刘备遣前部督张南围孙桓于夷道时，吴军众将请求陆逊派兵救援，陆逊知孙桓得人心，且夷道城坚粮足，坚持不予分兵。蜀军频繁挑战，吴将急欲迎击，陆逊耐心劝止，坚守不出。 有的老将和公室贵戚出身的将领企图各行其是，欲贸然出动，陆逊绳以军纪，严加制止。刘备埋伏8000蜀兵于山谷，派吴班在平地扎营，企图诱陆逊出战。陆逊识破其计，仍不与战。两军相持达半年之久。蜀军远道出师，速决不成，且营地分散，运输困难，兵疲意懈。时值暑热，刘备将水军移驻陆上，失去主动。闰六月，陆逊认为时机成熟，决定由防御转入反攻。先以火攻破蜀军一营，继令诸军乘势进攻，迫使刘备西退。张南闻讯，亦弃夷道北走，受朱然、孙桓南北夹击，战死。陆逊即令水军封锁江面、孙桓等扼守夷(彝)陵道，分割蜀军于大江东西，进而各个击破，火烧连营，克营40余。蜀军死伤惨重，将领杜路、刘宁投降，大督冯习及沙摩柯被杀。刘备败退西北马鞍山，依险据守。陆逊集中兵力，四面围攻，歼蜀军数万。刘备领余部趁夜向西突围，后卫将军傅肜等被吴军斩原来此人姓陈，名泽渊。年近十，山东济宁人。祖上世代为官，雍正年间，曾祖父因受"江南案"的牵连，被削职为民，放归故里。后家道中落，到了泽渊这里家境竟衰败的发不可收拾。如今他只好来此地投奔亲友，谁知亲友早已迁徙数年。他举目无亲，囊中羞涩，这才流落至此。不料今日财运突降，竟然意外地捡到元宝只，这无异于雪中获炭，沙漠中得水。他喜出望外，这会儿正想寻地儿饱餐顿，以解腹中之饥。突然又有人抬爱，邀至家中。不仅盛情款待还要和自己义结金兰，这简直是打着灯笼也难找的天大喜事，焉有有推辞和不允之理。孙老板见他应允下来，不由心中大喜，于是，喊来家眷和儿女与其相认，当着他们的面焚香摆供，人当即换了帖。杀。刘备军退向秭归，并令驿人于险道上烧铙铠阻塞道路以断后。吴军将领纷纷请战欲大举追击。陆逊为防曹魏袭吴，仅派李异、刘阿跟踪至南山(指秭归南岸之山)。黄权因归路被吴军截断，率众投魏。刘备收集散兵后由秭归退回白帝城(今四川奉节东)。 【战争结果】李异、刘阿于八月还守巫。次年四月，刘备病亡。 6、【诸葛亮北伐】 公元228年，曹丕病死，诸葛亮乘机出兵汉中，自己带领大军直扑曹魏据守的祁山;同时派老将赵云、邓芝带领偏师从斜谷出发扬言攻打湄城，然后进攻曹魏中心城市长安;由于蜀军经过2年多的养精蓄锐、准备充分而曹魏准备不足，蜀军很快攻下祁山，曹魏的天水、南安、安定投靠蜀，曹魏朝野震动。魏明帝曹 这在崇尚奢侈的东晋时期是非常难得的。睿马上命令大将军曹真率领15万大军由长安出发，驰援湄城;智勇双全的名将张A领5万精兵星夜截击诸葛亮部队;自己也亲自到达长安坐镇。诸葛亮以马谡为先锋，抢先占据战略要地街亭，马谡不听副将王平的苦告，把军队驻扎在附近小山，同时让王平在附近驻扎;张A到达街亭后，分一部分兵马阻止王平与马谡合兵，自己带领主力把马谡军队围在山上，同时命令放火烧山。蜀军失去街亭后，基本为张A所钳制，无法突破张A防线;而东线的赵云部也为曹真的优势兵力所败;诸葛亮无奈只得退回汉中，第一次北伐失败。在北伐前，大将魏延提出由他带领5000精兵从斜谷出发抄近路直取长安，为诸葛亮所拒绝。 当年冬天，曹魏大司马曹休在石亭为吴所败，关中主力东下救曹休。诸葛亮乘机杀出散关，包围战略要地陈仓;由于曹魏大将军曹真早料到诸葛亮必定会有此着，事先让智勇双全的将军郝昭领3000兵马守陈仓。由于陈仓地势险要，易守南攻，再加上郝昭在上任后准备了大量的滚石、油脂、火箭等物资，还加固了城墙。蜀军在强攻了20多天后还没有攻破，蜀军粮草不足，曹魏名将张A也带领大军前来支援;诸葛亮只得命令退回汉中，设伏兵杀前来追击的魏将王双;第二次北伐以失败告终。 公元229年春，诸葛亮派陈式取武都、阴平两个小郡。第三次北伐虽然是获得了两个郡，但无法扭转被动的劣势。 公元231年，诸葛亮第四次北伐，再次攻打曹魏据点祁山。曹睿命令司马懿、张合等带大军迎战诸葛亮;诸葛亮留下王平领一部分人马继续攻打祁山，自己率领主力与司马懿决战;在路上击败曹魏凉洲牧郭淮部，抢收当地小麦当军粮。司马懿知道蜀军远道而来，再加上补给线漫长而艰辛，于是坚守不出;后诸葛亮设计败司马懿，司马懿更是坚守不出。但蜀军由于负责后勤的第二号实权人物李严(李平)粮草供应不上，而假传后主命令让诸葛亮退兵，诸葛亮无奈只好退兵;司马懿得知诸葛亮退兵，命令大将张A追击，张合 *** ，司马懿强行命令张合追击，张合为诸葛亮所置伏兵射杀;第四次北伐也是以失败告终。 公元234年，经过圣诞节为什么定在月日呢？难道耶稣真的就是这天出生的吗？3年修养生产的蜀军，一改过去从祁山出发的老路子，从斜谷出兵，同时发函让孙权配合作战;曹魏也司马懿带领大军与诸葛亮对峙。诸葛亮到达五丈原后，为了和曹魏军队长期作战，在当地进行屯田;孙权军队也为魏明帝曹睿亲自带领大军击败，孙权退回建业;司马懿知道蜀军不可能长期作战，也采用坚听到母亲这样的哭声，王大春又急又气又痛，急恼的是，李达财死，母亲连起码的脸面都不要了，这样哭，就是原来什么也不知道的人也能看出其中的哆，痛的是，母亲十多岁了，这么大岁数，哭得这么悲痛，老人家的身子骨怎么受得了呀！守不出的老办法等待蜀军粮尽而退，不论诸葛亮怎样激将，还是坚守不出。由于军旅生活的艰辛和胜利遥遥无期，诸葛亮病重;诸葛亮抛开副统帅魏延与姜维、杨仪等商量后事。诸葛亮死后，以杨仪为主帅，让魏延垫后;魏延与杨仪不合，先南归烧阁道，为杨仪所败，和儿子逃回成都路上被杨仪派马岱所杀。 三国演义中著名战争故事到这里就结束了， 著名战争

双枪将董平，他的人品真的非常差吗？人们为什么说《梁山五虎将》董平人品不好，看完这个就知道了吧！梁上好汉中很好色，但有高位的人。 这个人既没有做自己分内的事，也没有义气。 他是董平。水浒的故事里，这个人出场时间很晚。 感觉梁山好汉们在收集正义之前开始露面，是武艺高强的硬汉形象。 对董平这个人，宋江首先行礼，希望不使用武力而招致麾下。 但是，他派了好几个梁山好汉，被他打得流了尿。其实董平拒绝直接进入梁山是有自己的想法的。 那时，他想让自己的长官知道只有自己才能和梁山的人对抗。 当时，他的长官有一个很漂亮的女儿。 董平几次求吻都没有成功，所以他对这位长官有意见。 等到梁山的人攻击城堡，他就可以用这个威胁自己的长官了。 可以说他的企图一点也不单纯。据悉，面对内乱和外敌，这位长官并未直接拒绝他，而是在渡过危机后开始谈论娶女儿一事。 董平看到长官的态度，知道自己恐怕不能和恋人结婚，非常不高兴。 从这里开始我们可以看到他这个人自私自利，就像小人一样。他在交战胜利后，加入到梁中，开始出兵自己的上司。 他明明有机会打败梁山的军队，明明可以功成身退，反而投靠了梁山。 进入梁山后，成为了假装天道忠义的战士，狠狠攻击了自己前面的主人。 其实可以说他的行为真卑鄙。他攻破城堡后，直接闯进他长官的家，杀了里面的所有人，离开了他想结婚的女孩。 当然，水浒的故事中没有提到这个孩子的下场怎么样了。 其实不用说我们也很清楚。 只是自杀。 否则，就没有任何合适的生活方式。虽然他的行为非常恶劣，但梁山的人谁也不敢和他公开说话，更不用说打他了。 他进入梁山后，就连平时能见义勇为的英雄也开始无视这一点。 因为在梁山好汉们心中，他的武功已经足以确定他在他中的地位，和自己的能力相比，其他缺点没有那么重要。

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每年的农历七月二十二日是传说中财神的生日 “财神爷”在中国人的心目中，是一个家财万贯、生财聚财的神仙。人们都向往着能过上象财神爷那样的好日子，金钱应有尽有，花不完用不尽，永远是一个大富翁。所以，“财神爷”已成为人们向往的目标、追求的目的。特别那些做生意的人，对财神爷崇敬尤加，供奉如祖，视若如神。在南方，凡生意人的店铺、门头里都供有“财神爷”的塑像，明灯蜡烛，照耀着精致的神龛。每年的农历七月二十二日还要给财神爷过生日。春节在供奉祖先的同时，还供奉着“财神爷”，看来人们想靠财神爷发财，又想成为和财神爷那样富有的思想由来已久。 　　在中国古时候并没有“财神爷”，后来商品经济不断持续发展，就出现了财神。同时也由于各地区的经济发展的不平衡，以及经济发展的时代差异，反映在信仰上，就形成了财神众多，不同时代、不同地区各有所尚的局面。总的来说，在中国历史上的不同时期，出现过不同的财神。如：比干、赵公明、关公、柴荣、五显财神以及元人何五路、陈人顾希冯之五子、财公财母、和合仙官、利市仙官，又有文昌帝君、活财神沈万三以及财神使者等诸多名目。就信仰的广泛性来说，要属武财神、黑虎玄坛赵公明和五显神财了。有的地方还崇拜柴荣、和合仙官、文昌帝君、活财神沈万三。　　赵公明，即赵公元帅赵玄坛，他本来是道教中的五方神或督鬼之神，也就是过春节贴在大门上的门神，为民督鬼除邪。他的像是面黑浓须，头戴铁冠，手执铁鞭，身跨黑虎，故又称“黑虎玄坛”。相传他在秦时得道终南山，道教尊他为“正一玄坛”元帅，传说他能驱雷役电，呼风唤雨，除瘟翦虐，除病禳灾之外，还能主持公道，凡有诉讼冤狱、买卖求财者如愿，能使之宜利和合。但有不平之事，对其祷告，无不如愿。大概由于这个缘故，赵公明变成了财神。其实明代以前赵公明还不是财神，各地虽有庙祀，只称为玄坛庙，传说为赵子龙（三国时赵云）的从兄弟。明代由于商品经济的发展，财神信仰便流行开来，赵公明教人理财，使人富裕，大概也就是在此时便成了财神。后来又传说他是回族人，只能以牛肉烧酒供奉，又给他配上了四位财神使者。赵公明财神形象的确立，很大程度上得力于明代的神魔小说《封神演义》。 　　宋代有五圣信仰，后来又有五显、五通、五道、五盗、五子、五路等名目。至于他们的来历有许多传说，其中比较可信的一种是说五代时，有一伙强盗结义为兄弟，靠抢劫发了财，后来良心发现，以未能尽孝道为憾。于是找了一位贫困至极的老太太奉为母亲，事事甚孝，言必听之。他们从此改恶从善，死后被人供奉香火，屡显灵异。明代五通神祀中必有一老妪，就是这五个强盗的神祠。所以尽管名目甚多，大概都是从这一信仰演变出来的。同时又由于这五位强盗十分富有，又有钱又能做一点善事，于是便被人们当作财神来供奉了。 　　还有一对和合仙官，是中国神话中象征夫妻相爱的神明。常画二像，蓬头笑面，一持荷花，一捧圆盒，取和谐和合好之意。旧时民间举行婚礼时，每喜陈列和合像，以图吉利，也有在厅堂中常年悬挂者。谁挂此画便能万里之外平安，故曰：万回。这里的偶意是，居家过日子，夫妻要恩爱团结，共同持家，操劳立业，是一种生财之道，常言道：夫妻和合即生财，或言家合万事兴。 　　旧时也有供奉柴荣的。柴荣即周世宗，后周皇帝，邢州龙岗（河北省邢台）人，郭威养子，公元954—959年在位。曾改革政治，整顿军事，奖励生产，先后取后蜀阶、成秦等十四州，又北攻契丹等三州，为北宋统一中国奠定了基础。供奉他的主要原因是，他支持生产，扩展疆土，天下太平，民能五谷丰登，国能平安无患，使国家经济发展，人称他能干，能干即能生财，故把他也看作财神供而奉之。 　　在我国广大农村的种田人多把沈万三视为最富有的财神。相传，元末明初的金陵（今南京）巨富，字仲荣，行三。《明史·太祖孝慈高帝后传》称其为吴兴（今浙江）富民沈秀（“秀”是当时官僚子弟和有财有势的人的称呼）。曾助筑京城三分之一（从洪武门—水西门），又请犒军。太祖欲杀之，后施改为流放云南。传说他有点金术，家藏“聚宝盆”。这都是荒诞的迷信之说，真正的沈万三是一个渔民，旧时民间流传：“江南沈万三，打鱼在江边，打的鱼儿多和少，鱼儿堆积如泰山。”一日从江里打出了一个“聚宝盆”，使之用不尽，花不完。实际上他是以打鱼起家而富有的。打的鱼多了，赚钱就多，江河就是他的“聚宝盆”，但他主要是靠勤劳致富，这样的人尊为财神是社会公认的。 　　还有把文昌帝君视为财神的。文昌帝君，又名文曲星，文曲星是中国神话中主宰功名、禄位的神，旧时多为读书人和理科举子信仰，学校多有祠祀，几乎代替了孔子的地位。元仁宗延佑三年（1316年），将梓潼帝君加封为“辅元开化文昌司禄宏仁帝君”后，称“文昌帝君”，两者遂合而为一。学而优则仕，仕则发大财，所以，学子都努力学习，力争考取功名，得个一官半职，官生财，财养人，所以，文昌帝君在文人的心目中比财神还重要。 财神的信仰兴盛于明代，而明代道教大量吸收民间祠祀。赵公明本来也是道教之神，其他一些财神信仰，也有些与道教有关，所以财神信仰被纳入道教并不是没有根据的。只是财神并没有成为道教的大神，因此在道教中就不那么显赫了。

终结者电爪英文是Terminator electric jaw 升华幽灵爪子英文是Sublimation ghost claws 异型终结者爪子英文是Special terminator claws 各种奇怪的近身武器英文是All kinds of strange melee weapons