怎么学会二次三项式分解因式，也就是十字相乘法(要简单的方法）

十字相乘法是因式分解几种方法中的一种特殊方法，在一定条件下，用十字相乘法来解题的速度比较快，节约时间而且避免了大量运算，不容易出错。一、十字相乘法概念十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式（x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。二、十字相乘法因式分解的一般步骤（1)把二次项系数和常数项分别分解因数；（2)尝试十字交叉图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数；（3)确定合适的十字交叉图并写出因式分解的结果；（4)检验。二次项系数为1的多项式十字相乘法因式分解二次项系数为1的多项式十字相乘法因式分解二次项系数不为1的多项式十字相乘法因式分解二次项系数不为1的多项式十字相乘法因式分解​三、十字相乘法的口诀首尾分解，交叉相乘，求和凑中，平行书写。竖分常数交叉验，横写因式不能乱。（1)竖分常数交叉验：竖分二次项和常数项，即把二次项和常数项的系数竖向写出来；交叉相乘，和相加，即斜向相乘然后相加，得出一次项系数；检验确定，检验一次项系数是否正确。（2)横写因式不能乱即把因式横向写，而不是交叉写，这里不能搞乱。

十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。　 　　十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax^2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2），在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x^2+（p+q）χ+pq=（χ+p）（χ+q）所谓十字相乘法，就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解. 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。对于形如ax2+bx+c的多项式，在判定它能否使用十字分解法分解因式时，可以使用Δ=b2-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。1、十字分解法能用于二次三项式的分解因式（不一定是整数范围内）2、对于像ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。对于形如ax2+bx+c的多项式，在判定它能否使用十字分解法分解因式时，可以使用Δ=b2-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。1、十字分解法能用于二次三项式的分解因式（不一定是整数范围内）2、对于像ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。

十字相乘法一般用于分解二次三项式三次三项式一般用拆项，减项先提公共的因式,再像 二次那样因式分解. 因式分解的步骤： 1.提取公因式这个是最基本的.就是有公因式就提出来。（相同取出来剩下的相加或相减） 2.完全平方看到式字内有两个数平方就要注意下了,找找有没有两数积的两倍,有的话就按照公式进行. 3.平方差公式这个要熟记,因为在配完全平方时有可能会拆添项,如果前面是完全平方,后面又减一个数的话,就可以用平方差公式再进行分解. 4.十字相乘首先观察,有二次项,一次项和常数项,可以采用十字相乘法.（十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。） 或者用试根法得出该因式的一个根，通常用0，+1，—1,+2，—2等试根；然后用三项因式去除试根得出的因式即可。

二次三项式，十字相乘，因式分解，窍门就是，结合分组分解法一同使用，正如x"+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)中间的一次项mx=(a+b)x，首先一分为二，拆开变成ax+bx，接下来把四个项，分两组提公因式，做起来就轻松多了；Q关键是一次项怎样一分为二，就由常数项的正负来决定，一次项不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式；Q如果常数项是正数，一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两个项；就连完全平方的式子，这样做起来也会觉得更加可靠。例如x"+10x+25=x"+5x+5x+25=x(x+5)+5(x+5)=(x+5)"常数项都是+25，一次项就都是分开10=5+5，x"-10x+25=x"-5x-5x+25=x(x-5)-5(x-5)=(x-5)"类似的常数项为正数x"+10x+24=x"+4x+6x+24=x(x+4)+6(x+4)=(x+4)(x+6)常数项都是+24，一次项就都是分开10=4+6，x"-10x+24=x"-4x-6x+24=x(x-4)-6(x-4)=(x-4)(x-6)Q如果常数项是负数，一次项系数就是分开两个项的相差数；x"+10x-24=x"+12x-2x-24=x(x+12)-2(x+12)=(x-2)(x+12)常数项都是-24，一次项就都是分开10=12-2，x"-10x-24=x"-12x+2x-24=x(x-12)+2(x-12)=(x+2)(x-12)看到了吧，一次项和常数项，绝对值都是10x和24，分解因式却有4种结果，会不会看得晕头转向呢？怎么办？只要这样一步一步地写出来，就肯定不会出错了。x"±5x±6x"±10x±24x"±15x±54x"±20x±96x"±25x±150都是这样有4种结果，使用这个分解因式的方法，你自己也试一试吧。只要熟悉这个方法，就连二次项系数不是1也同样方便，例如4x"-31x-45对着31，我们恐怕不知道怎样分开两项可是看到-45，我们都会想到4X9=36，5X9=45，那么=4x"-36x+5x-45=4x(x-9)+5(x-9)=(x-9)(4x+5)或者=4x"+5x-36x-45=x(4x+5)-9(4x+5)=(x-9)(4x+5)

7.(x+5)(x-2)8.-2 -39.2x+110.xy x+2y11.(x-4)(x+2)

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。对于形如ax2+bx+c的多项式，在判定它能否使用十字分解法分解因式时，可以使用Δ=b2-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。1、十字分解法能用于二次三项式的分解因式（不一定是整数范围内）2、对于像ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。

十字相乘法——借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式 的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法），然后按斜线交叉相乘、再相加，若有 ，则有 ，否则，需交换 的位置再试，若仍不行，再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止。

有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法．1×1=1（二次项系数）ab=ab（常数项）1×a+1×b=a+b（一次项系数）要把二次项系数不为1的二次三项式把分解因式时：如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同．如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同．对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p．例:十字相乘法(1)x2-6x-7(2)x2+6x-7(3)x2-8x+7(4)x2+8x+7(5)x2-5x+6(6)x2-5x-6(7)x2+5x-6(8)x2+5x+6解：(1)x2-6x-7=(x-7)(x+1)(2)x2+6x-7=(x+7)(x-1)(3)x2-8x+7=(x-7)(x-1)(4)x2+8x+7=(x+7)(x+1)(5)x2-5x+6=(x-2)(x-3)(6)x2-5x-6=(x-6)(x+1)(7)x2+5x-6=(x+6)(x-1)(8)x2+5x+6=(x+2)(x+3)

十字相乘法　　这种方法有两种情况。　　①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 　　如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．　　图示如下：　　·a b 　　·　×　　·c d 　　例如：因为　　·1 -3 　　·　×　　·7 2 　　且2-21=-19， 　　所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．　　十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

十字相乘法——借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法）然后按斜线交叉相乘、再相加，若有，则有，否则，需交换的位置再试，若仍不行，再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止。3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；（2）如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解；（3）对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解；（4）对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行。在进行因式分解时，要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法。以上这四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式，要学会具体问题具体分析。在我们做题时，可以参照下面的口诀：首先提取公因式，然后考虑用公式；十字相乘试一试，分组分得要合适；四种方法反复试，最后须是连乘式。

十字相乘法一般用于分解二次三项式三次三项式一般用拆项，减项先提公共的因式,再像 二次那样因式分解.因式分解的步骤：1.提取公因式这个是最基本的.就是有公因式就提出来。（相同取出来剩下的相加或相减）2.完全平方看到式字内有两个数平方就要注意下了,找找有没有两数积的两倍,有的话就按照公式进行.3.平方差公式这个要熟记,因为在配完全平方时有可能会拆添项,如果前面是完全平方,后面又减一个数的话,就可以用平方差公式再进行分解.4.十字相乘首先观察,有二次项,一次项和常数项,可以采用十字相乘法.（十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。）或者用试根法得出该因式的一个根，通常用0，+1，—1,+2，—2等试根；然后用三项因式去除试根得出的因式即可。

印象中有2个地方用到 a/b=c/d 十字相乘法 变成A*D=B*C然后是二次方程求解因式分解那里用到,x x1 x x2

(x^2+x-12)(x^2+x-2)+24=(x^2+x)^2-14(x^2+x)+48=(x^2+x-6)(x^2+x-8)当且仅当二次三项式方程有“有理数根”时，才能使用十字相乘法因式分解。 如果二次三项式方程虽然有实数根，但是没有有理数根（即虽然a,b,c为整数，且b^2-4ac≥0，但b^2-4ac不是完全平方数），那么肯定不能使用十字相乘法因式分解。 例如x^2-2x-1对应的二次三项式方程x^2-2x-1=0没有有理数根，其因式分解式 x^2-2x-1＝(x-1+√2)(x-1-√2)　 是不能使用十字相乘法得到的。必须用配方方法得到，即 x^2-2x-1＝(x-1)^2-(√2)^2=(x-1+√2)(x-1-√2)。

⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的,一般要提出“－”号,使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：.a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式. 十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac,n＝bd,且有ad＋bc＝m 时,那么 kx^2＋mx＋n＝（ax-b）（cx-d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式； ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0,则f（x）必含有因式（x-a）.如f（x）=x^2+5x+6,f（-2）=0,则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式.

（2）2x^2-7x+32x 1 x 3（2x-1）（x-3）-2x^2-3x+2 -2x 1 x 2-a^2+10a-9-a 1a -95x^2+7xy-6y^2 5x -3yx 2y (5)-2(a+b)^2+(a+b)+3-2(a+b) 3(a+b) 1(6)(x+y)^4+4(x+y)^2-5(x+y)^2 5(x+y)^2 -1x^3-7x^2+10x=x(x^2-7x+10)x -5x -2

十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1u2022a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1u2022c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。把2x^2;-7x+3分解因式.　　分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分　　别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.　　分解二次项系数(只取正因数)：　　2＝1×2＝2×1；　　分解常数项：　　3=1×3=1×3=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：　　11　　╳　　23　　1×3+2×1　　=5　　13　　╳　　21　　1×1+2×3　　=7　　1-1　　╳　　2-3　　1×(-3)+2×(-1)　　=-5　　1-3　　╳　　2-1　　1×(-1)+2×(-3)　　=-7　　经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.　　解2x^2;-7x+3=(x-3)(2x-1).　　一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：　　a1c1　　╳　　a2c2　　a1a2+a2c1　　按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即　　ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).　　像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常　　叫做十字相乘法.　　

十字相乘法因式分解讲解如下：十字分解法能用于二次三项式、一元二次式的分解因式，不一定是整数范围内。对于像ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1a2的积，把常数项c分解成两个因数c1c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。示例（1)例1因式分解：x2-x-56；分析：因为7x+(-8x)=-x；解：原式=(x+7)(x-8)。（2）例2因式分解：x2-10x+16；分析：因为-2x+(-8x)=-10x；解：原式=(x-2)(x-8)。十字相乘法十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。十字相乘法是因式分解中十四种方法之一，另外十三种分别都是：提公因式法、公式法 、双十字相乘法、轮换对称法、拆添项法、配方法、因式定理法、换元法、综合除法、主元法、特殊值法、待定系数法、二次多项式。

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。对于形如ax2+bx+c的多项式，在判定它能否使用十字分解法分解因式时，可以使用Δ=b2-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。1、十字分解法能用于二次三项式的分解因式（不一定是整数范围内）2、对于像ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。

十字相乘法是因式分解中十四种方法之一。十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘的积为二次项，右边相乘的积为常数项，交叉相乘再相加等于一次项。原理就是运用二项式乘法的逆运算来进行因式分解。十字相乘法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是在整数范围内）。对于像ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。对于形如ax2+bx+c的多项式，在判定它能否使用十字分解法分解因式时，可以使用Δ=b2-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。1、十字分解法能用于二次三项式的分解因式（不一定是整数范围内）2、对于像ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。

十字相乘法的方法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b.那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x^2+（p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.如解：6x^2-7x-5=0，6x-7x-5=(2x+1)(3x-5)，(2x+1)(3x-5)=0，解得x1=-1/2,x2=5/3

例如：x^2+4x-12=0 分析： 在十字相乘法中，二次项系数a=十字左边的相乘； 一次项系数b=交叉相乘然后相加； 常数项c=十字右边的相乘。 这里a=1,b=4,c=-12 ，12=2*6 或 3*4 由此可知b=-2+6，即3*4舍去； 所以（如下）： 左 x -2 右 x 6 最后分解因式为(x+6)(x-2)=0 则：x=-6,2

计算方程的解或者是范围时例如X的平方-3X-4=0可以分解为(X-4)(X+1)=0得解为4或者-11-411

十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。　　　十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax^2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2），在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x^2+（p+q）χ+pq=（χ+p）（χ+q）所谓十字相乘法，就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说：把x^2+7x+12进行因式分解. .　　上式的常数12可以分解为3×4，而3+4又恰好等于一次项的系数7，所以上式可以分解为：x^2+7x+12=(x+3）(x+4） .　　又如：分解因式：a^2+2a-15，上式的常数-15可以分解为5×（-3）.而5+(-3）又恰好等于一次项系数2，所以a^2+2a-15=(a+5）(a-3）. 十字相乘法讲解：　　x^2-3x+2=如下：　　x -1　　╳　　x -2　　左边x乘x= x^2　　右边-1乘-2=2　　中间-1乘x+（-2）乘x（对角）=-3x　　上边的【x+（-1）】乘下边的【x+（-2）】　　就等于（x-1）*（x-2）　　x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）编辑本段通俗方法方法　　先将二次项分解成（1 X 二次项系数），将常数项分解成（1 X 常数项）然后以下面的格式写　　1 第三次a=2 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b　　第四次a=2 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b　　第五次a=2 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b　　第六次a=3 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b　　第七次a=3 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b　　......　　依此类推　　直到（ad+cb=一次项系数）为止。最终的结果格式为（ax+b)(cx+d)例　　：（^2代表平方）　　a^2x^2+ax-42　　首先，我们看看第一个数，是a↑2，代表是两个a相乘得到的，则推断出（a ×+？）×（a ×+？）　　然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出使两项式×两项式。　　再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2　　首先，21和2无论正负，合并后都不可能是1 只可能是-19或者19，所以排除后者。　　然后，在确定是-7×6还是7×-6.　　（a×+(-7））×（a×+6）=a^2-a-42（计算过程省略）　　得到结果与原来结果不相符，原式+a 变成了-a　　再算：　　（a×+7）×（a×+(-6））=a^2+a-42　　正确，所以a^2x^2+ax-42就被分解成为（ax+7）×（ax-6），这就是通俗的十字相乘法分解因式.编辑本段例题解析例1　　把2x^2-7x+3分解因式.　　分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分　　别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.　　分解二次项系数（只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同！　　2=1×2=2×1；　　分解常数项：　　3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).　　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：　　1 1　　╳　　2 3　　1×3+2×1=5 ≠-7　　1 3　　╳　　2 1　　1×1+2×3=7 ≠-7　　1 -1　　╳　　2 -3　　1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7　　1 -3　　╳　　2 -1　　1×(-1)+2×(-3)=-7　　经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7.　　解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1)　　一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：　　a1 c1　　╳　　a2 c2　　a1c2+a2c1　　按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax^2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即　　ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).　　像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.例2　　把6x^2-7x-5分解因式.　　分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种　　2 1　　╳　　3 -5　　2×(-5)+3×1=-7　　是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.　　解 6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5)　　指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.　　对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是　　1 -3　　╳　　1 5　　1×5+1×(-3)=2　　所以x+2x-15=(x-3)(x+5).例3　　把5x^2+6xy-8y^2分解因式.　　分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即　　1 2　　╳　　5 -4　　1×(-4)+5×2=6　　解 5x+6xy-8y=(x+2y)(5x-4y).　　指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.例4　　把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式.　　分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.　　问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?　　答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.　　解 (x-y)(2x-2y-3)-2　　=(x-y)[2(x-y)-3]-2　　=2(x-y) ^2-3(x-y)-2　　1 -2　　╳　　2 1　　1×1+2×（-2）=－3　　=[(x-y)-2][2(x-y)+1]　　=(x-y-2)(2x-2y+1).　　指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5　　x^2+2x-15　　分析：常数项（-15）<0，可分解成异号两数的积，可分解为（-1）（15），或（1）(-15）或（3）　　(-5）或（-3）（5），其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2。　　=(x-3）(x+5）　　总结：①x+（p+q）x+pq型的式子的因式分解　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解　　如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么　　kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)　　a b　　╳　　c d　　教学重点和难点　　重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式；　　难点：灵活运用十字相乘法分解因式.编辑本段解决两者之间的比例问题原理　　一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S， A所占的数量为M，B为S-M。　　则：[A*M+B*（S－M）]/S=C　　A/S*M/S+B/S*(S-M)/S=C　　M/S=(C-B)/(A-B)　　1-M/S=(A-C)/(A-B)　　因此：M/S∶（1-M/S）=（C-B）∶（A-C)　　上面的计算过程可以抽象为：　　A ………C-B　　……C　　B……… A-C　　这就是所谓的十字相乘法。X增加，平均数C向A偏，A-C（每个A给B的值）变小，C-B（每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。即比例，以十字相乘法形式展现更加清晰使用时的注意事项　　第一点：用来解决两者之间的比例问题。　　第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。　　第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。例题　　某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年（2006）毕业的本科生有多少人？　　十字相乘法　　解：去年毕业生一共7500人，7650÷（1+2%）=7500人。　　本科生：-2%………8%　　…………………2%　　研究生：10%……… -4%　　本科生∶研究生=8%∶（-4%)=-2∶1。　　去年的本科生：7500×2/3=5000　　今年的本科生：5000×0.98=4900　　答：这所高校今年毕业的本科生有4900人。　　鸡兔同笼问题　　今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？　　十字相乘法　　解：假设全为鸡脚则有70只脚，假设全为兔脚则有140只脚　　鸡：70……… …46　　……………………94　　兔：140……… …24　　鸡：兔=46：24=23：12　　答：鸡有23只，兔有12只。编辑本段十字相乘法解一元二次方程例1　　把2x^2-7x+3分解因式.　　分析：先 分解二次项系数，　　分别写在十字交叉线的左上角和左下角，　　再分解常数项，　　分别写在十字交叉线的右上角和右下角，　　然后交叉相乘，　　求代数和，使其等于一次项系数.　　分解二次项系数（只取正因数）：　　2=1×2=2×1；　　分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3）×（-1）=(-1）×（-3）.　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：　　1 1　　╳　　2 3　　1×3+2×1=5　　1 3　　╳　　2 1　　1×1+2×3=7　　1 -1　　╳　　2 -3　　1×（-3）+2×（-1） =-5　　1 -3　　╳　　2 -1　　1×（-1）+2×（-3） =-7　　经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.　　解 2x^2-7x+3=(x-3）（2x-1）.　　一般地，对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0），　　如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，　　即a=a1a2，　　常数项c可以分解成两个因数之积，　　即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，　　排列如下：　　a1 c1　　╳　　a2 c2　　a1c2+a2c1　　按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，　　若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，　　即a1c2+a2c1=b，　　那么二次三项式就⒂可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，　　即 ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）.例2　　把6x^2-7x-5分解因式.　　分析：按照例1的方法，　　分解二次项系数6及常数项-5，　　把它们分别排列，　　可有8种不同的排列方法，　　其中的一种 21╳3-5 2×（-5）+3×1=-7　　是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.　　解 6x^2-7x-5=（2x+1）（3x-5）　　指出：通过例1和例2可以看到，　　运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，　　往往要经过多次观察，　　才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.　　对于二次项系数是1的二次三项式，　　也可以用十字相乘法分解因式，　　这时只需考虑如何把常数项分解因数.　　例如把x^2+2x-15分解因式，　　十字相乘法是1-3╳ 15 1×5+1×（-3）=2　　所以x^2+2x-15=(x-3）(x+5）.例3　　把5x^2+6xy-8y^2分解因式.　　分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，　　把-8y^2看作常数项，　　在分解二次项及常数项系数时，　　只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，　　经过观察，选取合适的一组，　　即 12╳ 5-4 1×（-4）+5×2=6　　解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)（5x-4y).　　指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.例4　　把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式.　　分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，　　只有先进行多项式的乘法运算，　　把变形后的多项式再因式分解.　　问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?　　答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.　　解 (x-y)（2x-2y-3）-2　　=(x-y)[2(x-y)-3]-2　　=2(x-y) ^2-3(x-y)-2　　1-2╳ 21　　1×1+2×（-2）=－3　　=[(x-y)-2][2(x-y)+1]　　=(x-y-2）（2x-2y+1）.　　指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，　　这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5x^2+2x-15　　分析：常数项（-15）<0，可分解成异号两数的积，　　可分解为（-1）（15），或（1）(-15）或（3） (-5）或（-3）（5），　　其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2。 =(x-3）(x+5）　　总结：①x^2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；　　常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.　　因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：　　x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解　　如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，　　那么 kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d) a b╳c d　　（1） (x+3）(x-6）=-8 （2） 2x^2+3x=0　　（3） 6x^2+5x-50=0 （4）x^2-2( + )x+4=0　　（1）解：（x+3）(x-6）=-8 化简整理得　　x^2-3x-10=0 （方程左边为二次三项式，右边为零）　　(x-5）(x+2）=0 （方程左边分解因式）　　∴x-5=0或x+2=0 （转化成两个一元一次方程)　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解。　　（2）解：2x^2+3x=0　　x（2x+3）=0 （用提公因式法将方程左边分解因式）　　∴x=0或2x+3=0 （转化成两个一元一次方程）　　∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。　　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。　　（3）解：6x^2+5x-50=0　　（2x-5）（3x+10）=0 （十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）　　∴2x-5=0或3x+10=0　　∴x1=5/2,x2=-10/3 是原方程的解。　　（4）解：x^2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）　　(x-2）(x-2 )=0　　∴x1=2,x2=2是原方程的解。　　例题x^2-x-2=0　　解：（x+1）(x-2）=0　　∴x+1=0或x-2=0　　∴x1=-1,x2=2　　（附：^是数学符号）

答：1.原式=(2x+3)(x+2)2.原式=(3x-1)(x+6)3.原式=(6x+1)(x-3)4.原式=(x^2-9)(x^2-1)=(x+3)(x-3)(x+1)(x-1)5.原式=(x^2-4)(x^2-2)=(x+2)(x-2)(x^2-2)=(x+2)(x-2)(x+√2)(x-√2)如果没学根号就要上一步不要这步。6.原式=(5x-2y)(9x+y)7.原式=(2a-3b)(6a-5b)8.原式=(3(p-q)-1)^2=(3p-3q-1)^29.提公因,再十字相乘法。原式=(x+y)[7(x+y)^2-5(x+y)-2]=(x+y)[7(x+y)+2][(x+y)-1]=(x+y)(7x+7y+2)(x+y-1)

最常考的是1用十字相乘法来分解因式。2用十字相乘法来解一元二次方程。都不难，别太担心

x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。十字相乘法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是在整数范围内）。对于像ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。

例1 把2x^2;-7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分 别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3 =7 1 -1 ╳ 2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-5 1 -3 ╳ 2 -1 1×(-1)+2×(-3) =-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 2x^2;-7x+3=(x-3)(2x-1). 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1 c1 ╳ a2 c2 a1a2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法. 例2 把6x^2-7x-5分解因式. 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 ╳ 3 -5 2×(-5)+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5) 指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 ╳ 1 5 1×5+1×(-3)=2 所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5). 例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式. 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 ╳ 5 -4 1×(-4)+5×2=6 解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y). 指出：原式分解为两个关于x，y的一次式. 例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解. 问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了. 解 (x-y)(2x-2y-3)-2 =(x-y)[2(x-y)-3]-2 =2(x-y) ^2-3(x-y)-2 =[(x-y)-2][2(x-y)+1] =(x-y-2)(2x-2y+1). 1 -2 ╳ 2 1 1×1+2×(-2)=－3 指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法. 例5 x^2+2x-15 分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3) (-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。 =(x-3)(x+5) 总结：①x^2＋（p+q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋(p+q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q) ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝(ax+b)(cx+d) a b ╳ c d

十字相乘法--借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积(一般会有几种不同的分法)然后按斜线交叉相乘、再相加，若有，则有，否则，需交换的位置再试，若仍不行，再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止。3.因式分解的一般步骤(1)如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式;(2)如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解;(3)对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解;(4)对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行。在进行因式分解时，要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法。以上这四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式，要学会具体问题具体分析。在我们做题时，可以参照下面的口诀:首先提取公因式，然后考虑用公式;十字相乘试一试，分组分得要合适;四种方法反复试，最后须是连乘式。

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。对于形如ax2+bx+c的多项式，在判定它能否使用十字分解法分解因式时，可以使用Δ=b2-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。1、十字分解法能用于二次三项式的分解因式（不一定是整数范围内）2、对于像ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。

十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式 的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法） 然后按斜线交叉相乘、再相加，若有 ，则有 ，否则，需交换 的位置再试，若仍不行，再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止。 3.因式分解的一般步骤 （1） 如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式； （2） 如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解； （3） 对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解； （4） 对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行。 在进行因式分解时，要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法。以上这四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式，要学会具体问题具体分析。 在我们做题时，可以参照下面的口诀： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 十字相乘试一试，分组分得要合适； 四种方法反复试，最后须是连乘式。

十字交叉法是进行二组分混和物平均量与组分量计算的一种简便方法。凡是一般的二元一次方程组（a1X + a2Y = a3( X +Y )关系式）的习题 ，均可用十字交叉法，但受我们所学知识的条件限制，这里只介绍其中的几种。<br>一、用组分的式量与混合气的平均式量做十字交叉，求组分体积比或含量。<br>例1：已知H2 和CO 的混合气，其平均式量是20，求混合气中H2 和CO 的体积比。（4∶9）<br>解： H2 2 28－20 4<br> ╲ ╱<br> —— 20 ——<br> ╱ ╲<br> CO 28 20－2 9<br>例2：已知CO、CO2 混合气的平均式量是32，耱混合气中CO 的体积百分数。（75%）<br>解： CO 28 12 3<br> ╲ ╱<br> —— 32 ——<br> ╱ ╲<br> CO2 44 4 1<br>二、用同位素的原子量或质量数与元素原子量作交叉，求原子个数比或同位素百分数。<br>例3：已知铜有63Cu 和65Cu 两种同位素，铜元素的原子量是63.5，求63Cu 和65Cu的原子个数比。（3∶1）<br>解： 63Cu 63 1.5 3<br> ╲ ╱<br> —— 63.5 ——<br> ╱ ╲<br> 65Cu 65 0.5 1<br>三、用组分的气体密度与混合气的密度作十字交叉，求组分的体积比或体积分数。<br>例4：标况下，氮气的密度为1.25 g•L-1，乙烷的密度为1.34 g•L-1，两种气体混合后，其密度为1.30 g•L-1，求混合气中氮气和乙烷的体积比（4∶5）<br>解： 氮气 1.25 0.04 4<br> ╲ ╱<br> —— 1.30 ——<br> ╱ ╲<br> 乙烷 1.34 0.05 5<br>四、用两种不同浓度溶液的质量分数与混合溶液的质量分数作十字交叉，求两种溶液的质量比<br>例5：用60%和20%的两种NaOH 溶液混合配成30%的NaOH 溶液，则所用两种NaOH 溶液的质量比为多少（1∶3）<br>解： 60% 60% 10% 1<br> ╲ ╱<br> —— 30% ——<br> ╱ ╲<br> 20% 20% 30% 3<br>五、用两种物质中同一元素的质量分数求两物质的质量比<br>例6：FeO 中和FeBr2 的混合物中Fe 的质量百分率为50%，求两物质的质量比（13∶15）<br>解： FeO 7/9 13/54 13<br> ╲ ╱<br> —— 1/2 ——<br> ╱ ╲<br> FeBr2 7/27 5/18 15

十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1u2022a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1u2022c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。一个例题~例1把2x^2;-7x+3分解因式.　　分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分　　别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.　　分解二次项系数(只取正因数)：　　2＝1×2＝2×1；　　分解常数项：　　3=1×3=1×3==(-3)×(-1)=(-1)×(-3).　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：　　11　　╳　　23　　1×3+2×1　　=5　　13　　╳　　21　　1×1+2×3　　=7　　1-1　　╳　　2-3　　1×(-3)+2×(-1)　　=-5　　1-3　　╳　　2-1　　1×(-1)+2×(-3)　　=-7　　经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.

x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) abx^2+(ad+bc)x+cd=(ax+c)(bx+d) 字相乘法能把某些二次三项式分解因式。要务必注意各项系数的符号。

1- 14 x2 4x –2 x2 – 2 ( x- y )3 –(y- x) x2 –y2 – x + y x2 –y2 －1 ( x + y) (x – y ) x2 + 1 x2 －2－（ x －1x )2 a3－a2－2a 4m2－9n2－4m+1 3a2+bc－3ac-ab 9－x2+2xy－y2 2x2－3x－1 －2x2+5xy+2y2 10a(x－y)2－5b(y－x) an+1－4an＋4an-1 x3(2x－y)－2x＋y x(6x－1)－1 2ax－10ay＋5by＋6x 1－a2－ab－14 b2 a4＋4 (x2＋x)(x2＋x－3)＋2 x5y－9xy5 －4x2＋3xy＋2y2 4a－a5 2x2－4x＋1 4y2＋4y－5 3X2－7X+2 8xy(x－y)－2(y－x)3 x6－y6 x3＋2xy－x－xy2 (x＋y)(x＋y－1)－12 4ab－（1－a2）（1－b2） －3m2－2m＋4 a2－a－6 2(y－z)＋81(z－y) 9m2－6m＋2n－n2 ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2) a4－3a2－4 x4＋4y4 a2＋2ab＋b2－2a－2b＋1 x2－2x－4 4x2＋8x－1 2x2＋4xy＋y2 - m2 – n2 + 2mn + 1 (a + b)3d – 4(a + b)2cd+4(a + b)c2d (x + a)2 – (x – a)2 –x5y – xy +2x3y x6 – x4 – x2 + 1 (x +3) (x +2) +x2 – 9 (x –y)3 +9(x – y) –6(x – y)2 (a2 + b2 –1 )2 – 4a2b2 (ax + by)2 + (bx – ay)2 x2 + 2ax – 3a2 3a3b2c－6a2b2c2＋9ab2c3 xy＋6－2x－3y x2(x－y)＋y2(y－x) 2x2－(a－2b)x－ab a4－9a2b2 ab(x2－y2)＋xy(a2－b2) (x＋y)(a－b－c)＋(x－y)(b＋c－a) a2－a－b2－b (3a－b)2－4(3a－b)(a＋3b)＋4(a＋3b)2 (a＋3)2－6(a＋3) (x＋1)2(x＋2)－(x＋1)(x＋2)2 35.因式分解x2－25＝ 。 36.因式分解x2－20x＋100＝ 。 37.因式分解x2＋4x＋3＝ 。 38.因式分解4x2－12x＋5＝ 。 39.因式分解下列各式： (1)3ax2－6ax＝ 。 (2)x(x＋2)－x＝ 。 (3)x2－4x－ax＋4a＝ 。 (4)25x2－49＝ 。 (5)36x2－60x＋25＝ 。 (6)4x2＋12x＋9＝ 。 (7)x2－9x＋18＝ 。 (8)2x2－5x－3＝ 。 (9)12x2－50x＋8＝ 。 40.因式分解(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4)＝ 。 41.因式分解2ax2－3x＋2ax－3＝ 。 42.因式分解9x2－66x＋121＝ 。 43.因式分解8－2x2＝ 。 44.因式分解x2－x＋14 ＝ 。 45.因式分解9x2－30x＋25＝ 。 46.因式分解－20x2＋9x＋20＝ 。 47.因式分解12x2－29x＋15＝ 。 48.因式分解36x2＋39x＋9＝ 。 49.因式分解21x2－31x－22＝ 。 50.因式分解9x4－35x2－4＝ 。 51.因式分解(2x＋1)(x＋1)＋(2x＋1)(x－3)＝ 。 52.因式分解2ax2－3x＋2ax－3＝ 。 53.因式分解x(y＋2)－x－y－1＝ 。 54.因式分解(x2－3x)＋(x－3)2＝ 。 55.因式分解9x2－66x＋121＝ 。 56.因式分解8－2x2＝ 。 57.因式分解x4－1＝ 。 58.因式分解x2＋4x－xy－2y＋4＝ 。 59.因式分解4x2－12x＋5＝ 。 60.因式分解21x2－31x－22＝ 。 61.因式分解4x2＋4xy＋y2－4x－2y－3＝ 。 62.因式分解9x5－35x3－4x＝ 。 63.因式分解下列各式： (1)3x2－6x＝ 。 (2)49x2－25＝ 。 (3)6x2－13x＋5＝ 。 (4)x2＋2－3x＝ 。 (5)12x2－23x－24＝ 。 (6)(x＋6)(x－6)－(x－6)＝ 。 (7)3(x＋2)(x－5)－(x＋2)(x－3)＝ 。 (8)9x2＋42x＋49＝ 。 (1)(x＋2)－2(x＋2)2＝ 。 (2)36x2＋39x＋9＝ 。 (3)2x2＋ax－6x－3a＝ 。 (4)22x2－31x－21＝ 。 70.因式分解3ax2－6ax＝ 。 71.因式分解(x＋1)x－5x＝ 。 72.因式分解(2x＋1)(x－3)－(2x＋1)(x－5)＝ 73.因式分解xy＋2x－5y－10＝ 74.因式分解x2y2－x2－y2－6xy＋4＝ x3＋2x2＋2x＋1 a2b2－a2－b2＋1 (1)3ax2－2x＋3ax－2 (x2－3x)＋(x－3)2＋2x－6 1)(2x＋3)(x－2)＋(x＋1)(2x＋3) 9x2－66x＋121 17.因式分解 (1)8x2－18 (2)x2－(a－b)x－ab 18.因式分解下列各式 (1)9x4＋35x2－4 (2)x2－y2－2yz－z2 (3)a(b2－c2)－c(a2－b2) 19.因式分解(2x＋1)(x＋1)＋(2x＋1)(x－3) 20.因式分解39x2－38x＋8 21.利用因式分解求(6512 )2－(3412 )2之值 22.因式分解a(b2－c2)－c(a2－b2) 24.因式分解7(x－1)2＋4(x－1)(y＋2)－20(y+2)2 25.因式分解xy2－2xy－3x－y2－2y－1 26.因式分解4x2－6ax＋18a2 27.因式分解20a3bc－9a2b2c－20ab3c 28.因式分解2ax2－5x＋2ax－5 29.因式分解4x3＋4x2－25x－25 30.因式分解(1－xy)2－(y－x)2 31.因式分解 (1)mx2－m2－x＋1 (2)a2－2ab＋b2－1 32.因式分解下列各式 (1)5x2－45 (2)81x3－9x (3)x2－y2－5x－5y (4)x2－y2＋2yz－z2 33.因式分解：xy2－2xy－3x－y2－2y－1 34.因式分解y2(x－y)＋z2(y－x) 1)因式分解x2＋x＋y2－y－2xy＝ 我搜到的就是没答案。。哎。。

x^2-x-2=(x-2)(x+1)2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2)

十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.　　　十字相乘法能把某些二次三项式分解因式.这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:ax^2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）,在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号.基本式子：x^2+（p+q）χ+pq=（χ+p）（χ+q）所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说：把x^2+7x+12进行因式分解. .　　上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以上式可以分解为：x^2+7x+12=(x+3）(x+4） .　　又如：分解因式：a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5×（-3）.而5+(-3）又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5）(a-3）. 十字相乘法讲　　x^2-3x+2=如下：　　x -1　　╳　　x -2　　左边x乘x= x^2　　右边-1乘-2=2　　中间-1乘x+（-2）乘x（对角）=-3x　　上边的【x+（-1）】乘下边的【x+（-2）】　　就等于（x-1）*（x-2）　　x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）编辑本段通俗方法方法　　先将二次项分解成（1 X 二次项系数）,将常数项分解成（1 X 常数项）然后以下面的格式写　　1 第三次a=2 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b　　第四次a=2 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b　　第五次a=2 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b　　第六次a=3 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b　　第七次a=3 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b　　.　　依此类推　　直到（ad+cb=一次项系数）为止.最终的结果格式为（ax+b)(cx+d)例　　：（^2代表平方）　　a^2x^2+ax-42　　首先,我们看看第一个数,是a↑2,代表是两个a相乘得到的,则推断出（a ×+?）×（a ×+?）　　然后我们再看第二项,+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果,所以推断出使两项式×两项式.　　再看最后一项是-42 ,-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2　　首先,21和2无论正负,合并后都不可能是1 只可能是-19或者19,所以排除后者.　　然后,在确定是-7×6还是7×-6.　　（a×+(-7））×（a×+6）=a^2-a-42（计算过程省略）　　得到结果与原来结果不相符,原式+a 变成了-a　　再算：　　（a×+7）×（a×+(-6））=a^2+a-42　　正确,所以a^2x^2+ax-42就被分解成为（ax+7）×（ax-6）,这就是通俗的十字相乘法分解因式.编辑本段例题解析例1　　把2x^2-7x+3分解因式.　　分析：先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分　　别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.　　分解二次项系数（只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同!　　2=1×2=2×1；　　分解常数项：　　3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).　　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：　　1 1　　╳　　2 3　　1×3+2×1=5 ≠-7　　1 3　　╳　　2 1　　1×1+2×3=7 ≠-7　　1 -1　　╳　　2 -3　　1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7　　1 -3　　╳　　2 -1　　1×(-1)+2×(-3)=-7　　经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7.　　解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1)　　一般地,对于二次三项式ax+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下：　　a1 c1　　╳　　a2 c2　　a1c2+a2c1　　按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax^2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即　　ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).　　像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法.例2　　把6x^2-7x-5分解因式.　　分析：按照例1的方法,分解二次项系数6及常数项-5,把它们分别排列,可有8种不同的排列方法,其中的一种　　2 1　　╳　　3 -5　　2×(-5)+3×1=-7　　是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.　　解 6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5)　　指出：通过例1和例2可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,往往要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.　　对于二次项系数是1的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式,十字相乘法是　　1 -3　　╳　　1 5　　1×5+1×(-3)=2　　所以x+2x-15=(x-3)(x+5).例3　　把5x^2+6xy-8y^2分解因式.　　分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把-8y^2看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即　　1 2　　╳　　5 -4　　1×(-4)+5×2=6　　解 5x+6xy-8y=(x+2y)(5x-4y).　　指出：原式分解为两个关于x,y的一次式.例4　　把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式.　　分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,只有先进行多项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解.　　问：以上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?　　答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了.　　解 (x-y)(2x-2y-3)-2　　=(x-y)[2(x-y)-3]-2　　=2(x-y) ^2-3(x-y)-2　　1 -2　　╳　　2 1　　1×1+2×（-2）=－3　　=[(x-y)-2][2(x-y)+1]　　=(x-y-2)(2x-2y+1).　　指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解,这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5　　x^2+2x-15　　分析：常数项（-15）<0,可分解成异号两数的积,可分解为（-1）（15）,或（1）(-15）或（3）　　(-5）或（-3）（5）,其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2.　　=(x-3）(x+5）　　总结：①x+（p+q）x+pq型的式子的因式分解　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解　　如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 时,那么　　kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)　　a b　　╳　　c d　　教学重点和难点　　重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式；　　难点：灵活运用十字相乘法分解因式.编辑本段解决两者之间的比例问题原理　　一个集合中的个体,只有2个不同的取值,部分个体取值为A,剩余部分取值为B.平均值为C.求取值为A的个体与取值为B的个体的比例.假设总量为S, A所占的数量为M,B为S-M.　　则：[A*M+B*（S－M）]/S=C　　A/S*M/S+B/S*(S-M)/S=C　　M/S=(C-B)/(A-B)　　1-M/S=(A-C)/(A-B)　　因此：M/S∶（1-M/S）=（C-B）∶（A-C)　　上面的计算过程可以抽象为：　　A ………C-B　　……C　　B……… A-C　　这就是所谓的十字相乘法.X增加,平均数C向A偏,A-C（每个A给B的值）变小,C-B（每个B获得的值）变大,两者如上相除=每个B得到几个A给的值.即比例,以十字相乘法形式展现更加清晰使用时的注意事项　　第一点：用来解决两者之间的比例问题.　　第二点：得出的比例关系是基数的比例关系.　　第三点：总均值放中央,对角线上,大数减小数,结果放在对角线上.例题　　某高校2006年度毕业学生7650名,比上年度增长2%,其中本科毕业生比上年度减少2%,而研究生毕业数量比上年度增加10%,那么,这所高校今年（2006）毕业的本科生有多少人?　　十字相乘法　　去年毕业生一共7500人,7650÷（1+2%）=7500人.　　本科生：-2%………8%　　…………………2%　　研究生：10%……… -4%　　本科生∶研究生=8%∶（-4%)=-2∶1.　　去年的本科生：7500×2/3=5000　　今年的本科生：5000×0.98=4900　　答：这所高校今年毕业的本科生有4900人.　　鸡兔同笼问题　　今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?　　十字相乘法　　假设全为鸡脚则有70只脚,假设全为兔脚则有140只脚　　鸡：70……… …46　　……………………94　　兔：140……… …24　　鸡：兔=46：24=23：12　　答：鸡有23只,兔有12只.编辑本段十字相乘法解一元二次方程例1　　把2x^2-7x+3分解因式.　　分析：先 分解二次项系数,　　分别写在十字交叉线的左上角和左下角,　　再分解常数项,　　分别写在十字交叉线的右上角和右下角,　　然后交叉相乘,　　求代数和,使其等于一次项系数.　　分解二次项系数（只取正因数）：　　2=1×2=2×1；　　分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3）×（-1）=(-1）×（-3）.　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：　　1 1　　╳　　2 3　　1×3+2×1=5　　1 3　　╳　　2 1　　1×1+2×3=7　　1 -1　　╳　　2 -3　　1×（-3）+2×（-1） =-5　　1 -3　　╳　　2 -1　　1×（-1）+2×（-3） =-7　　经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数－7.　　解 2x^2-7x+3=(x-3）（2x-1）.　　一般地,对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0）,　　如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,　　即a=a1a2,　　常数项c可以分解成两个因数之积,　　即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,　　排列如下：　　a1 c1　　╳　　a2 c2　　a1c2+a2c1　　按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,　　若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,　　即a1c2+a2c1=b,　　那么二次三项式就⒂可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,　　即 ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）.例2　　把6x^2-7x-5分解因式.　　分析：按照例1的方法,　　分解二次项系数6及常数项-5,　　把它们分别排列,　　可有8种不同的排列方法,　　其中的一种 21╳3-5 2×（-5）+3×1=-7　　是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.　　解 6x^2-7x-5=（2x+1）（3x-5）　　指出：通过例1和例2可以看到,　　运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,　　往往要经过多次观察,　　才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.　　对于二次项系数是1的二次三项式,　　也可以用十字相乘法分解因式,　　这时只需考虑如何把常数项分解因数.　　例如把x^2+2x-15分解因式,　　十字相乘法是1-3╳ 15 1×5+1×（-3）=2　　所以x^2+2x-15=(x-3）(x+5）.例3　　把5x^2+6xy-8y^2分解因式.　　分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,　　把-8y^2看作常数项,　　在分解二次项及常数项系数时,　　只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,　　经过观察,选取合适的一组,　　即 12╳ 5-4 1×（-4）+5×2=6　　解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)（5x-4y).　　指出：原式分解为两个关于x,y的一次式.例4　　把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式.　　分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,　　只有先进行多项式的乘法运算,　　把变形后的多项式再因式分解.　　问：两上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?　　答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y）,它是第一个因式的二倍,然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了.　　解 (x-y)（2x-2y-3）-2　　=(x-y)[2(x-y)-3]-2　　=2(x-y) ^2-3(x-y)-2　　1-2╳ 21　　1×1+2×（-2）=－3　　=[(x-y)-2][2(x-y)+1]　　=(x-y-2）（2x-2y+1）.　　指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解,　　这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5x^2+2x-15　　分析：常数项（-15）<0,可分解成异号两数的积,　　可分解为（-1）（15）,或（1）(-15）或（3） (-5）或（-3）（5）,　　其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2. =(x-3）(x+5）　　总结：①x^2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；　　常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.　　因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分　　x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解　　如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 时,　　那么 kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d) a b╳c d　　（1） (x+3）(x-6）=-8 （2） 2x^2+3x=0　　（3） 6x^2+5x-50=0 （4）x^2-2( + )x+4=0　　（1）（x+3）(x-6）=-8 化简整理得　　x^2-3x-10=0 （方程左边为二次三项式,右边为零）　　(x-5）(x+2）=0 （方程左边分解因式）　　∴x-5=0或x+2=0 （转化成两个一元一次方程)　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解.　　（2）2x^2+3x=0　　x（2x+3）=0 （用提公因式法将方程左边分解因式）　　∴x=0或2x+3=0 （转化成两个一元一次方程）　　∴x1=0,x2=-3/2是原方程的解.　　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解.　　（3）6x^2+5x-50=0　　（2x-5）（3x+10）=0 （十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）　　∴2x-5=0或3x+10=0　　∴x1=5/2,x2=-10/3 是原方程的解.　　（4）x^2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法）　　(x-2）(x-2 )=0　　∴x1=2,x2=2是原方程的解.　　例题x^2-x-2=0　　（x+1）(x-2）=0　　∴x+1=0或x-2=0　　∴x1=-1,x2=2　　（附：^是数学符号）

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。5、十字相乘法解题实例：1)、 用十字相乘法解一些简单常见的题目例1把m +4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -21 ╳ 6所以m +4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x +6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解： 因为 1 25 ╳ -4所以5x +6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x -8x+15=0分析：把x -8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。解： 因为 1 -31 ╳ -5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3 x2=5例4、解方程 6x -5x-25=0分析：把6x -5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。解： 因为 2 -53 ╳ 5所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0所以 x1=5/2 x2=-5/32)、用十字相乘法解一些比较难的题目例5把14x -67xy+18y 分解因式分析：把14x -67xy+18y 看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y 可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y解: 因为 2 -9y7 ╳ -2y所以 14x -67xy+18y = (2x-9y)(7x-2y)

十字相乘法能把某些二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式。这种方法的关健是把二次项的系数a分解成两个因数a1,a2的积a1u2022a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1u2022c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。例:x2+2x-15分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。=（x-3）（x+5)

初 二 代 数第八章 因式分析[重点、难点点拨]一、知识要点 1.因式分解——把一个多项式化为几个整式的积的 形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2.因式分解的方法 (1)提取公因式——如果多项式的各项有公因式，可 把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形 式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。 提取公因式法是因式分解的最基本、最常用的方法，它的理论依据就是乘法的分配律，能找出多项式各项的公 因式是这种方法的关键，并要注意养成首先作提公因式分解的习惯。 (2)运用公式法——如果把乘法公式反过来，就可以用把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。(3)分组分解法——利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 被分解的多项式中，如果项数超过三项，进行因式分解时所采用的方法常是分组分解，一般来说，分组分解法有两种类型：第一种是分组后各组有公因式，可以进一步提取公因式进行分解；第二种是分组后可以应用公司进行分解。（4）十字相乘法——借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式 的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法）然后按斜线交叉相乘、再相加，若有 ，则有 ，否则，需交换 的位置再试，若仍不行，再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止。3.因式分解的一般步骤（1） 如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；（2） 如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解；（3） 对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解；（4） 对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行。 在进行因式分解时，要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法。以上这四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式，要学会具体问题具体分析。在我们做题时，可以参照下面的口诀：首先提取公因式，然后考虑用公式；十字相乘试一试，分组分得要合适；四种方法反复试，最后须是连乘式。二、学习要求1、 正确理解因式分解的意义，会判断一个变形是不是因式分解，会判断分解所得的因式是否能再继续分解，从而得到因式分解的正确结果。要了解因式分解与整式乘法的区别和联系。2、会正确判定多项式各项的公因式，会用提公因式的方法分解因式，并养成首先运用提公因式法分解因式的习惯。3、熟记五个乘法公式，理解乘法公式逆向应用就是因式分解的公式。会运用换元的思想把某个代数式看做一个字母，会判断一个多项式是否符合各个公式的结构特点，并会把公式结构特点的多项式依照公式进行因式分解。4、会运用十字相乘的方法，把某些二次三项式（或可以看做二次三项式的多项式）进行因式分解。5、会运用先分组，再提公因式法或运用公因式法和十字相乘法进行因式分解。※ 6、会综合运用各种方法，做较复杂的因式分解。※ 7、会运用因式分解解决一些简单的数学问题。[重点、难点例题分析]例1 下列各式中，哪些是因式分解，哪些不是因式分解？(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)分析：由于因式分解的对象是多项式，而 是单项式，所以（1）不是；由于因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，而 恰恰相反,它是把m与x+y-z的积化为一个多项式，所以(2)不是；由于（3）的结果也不是整式的积的形式，而是将原多项式进行了部分的分解，所以(3)不是；（4）中等号右边的 还可以提公因式x，它还没有分解完，所以（4）不是；（5）采用的是提公因式法，但它提取的是 ，这不是整式，而我们要求提取的公因式应为整式，即单项式或多项式，所以（5）也不是；(6)、(7)、(8)均符合因式分解的定义，并且将等式右边的乘积算出来，其结果等于原式，所以（6）、（7）、（8）是因式分解。注：（1）因式分解是在整式范围内进行的。另外，要注意在什么数的范围内进行因式分解，若题目没有说明，一般指在有理数范围内进行。（2）因式分解不能只分解多项式的某些项，变形的结果必须是化成几个整式的积的形式。（3）一定要把多项式的每个因式分解到不能再分为止。（4）因式分解与整式乘法是一对互逆的运算，多项式的因式分解是把和差化为积的形式；而整式乘法是把积化为和差的形式，虽然都是恒等变形，但它们是互逆的两种过程。例2 用提公因式分解下列因式。（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）分析：当多项式的某一项和公因式相同时，注意不要漏掉1，即 。（2）分析：这个多项式的第一项为负，而括号内多项式的首项应为正，所以公因式为-xy，注意括号内中的每一项都要变号。（3） ]注：把（x-y）当作一个因式，另一个因式要整理，去掉中括号，因式分解要求最后结果应是最简形式，能合并的一定要合并。（4）分析：∵ ∴公因式为 。∴（5）分析：∵，∴公因式为（x-y）.∴由（4）、（5）可知：当公因式是多项式时，要注意符号问题，若需要改变括号内的字母顺序，应尽量改变偶次项括号内的字母顺序，若均为奇次项，则应保持首项系数为正。当n为偶数时，当n为奇数时，注：①在确定各项的公因式时要注意，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同的字母，各字母的指数取次数最低的。②提出公因式后，剩下的项组成的另一个因式的项数应和原多项式的项数相同。例3 用公因式法分解下列因式。注：(1)运用公式法进行因式分解的依据是乘法公式的逆变形。（2）运用公式法进行因式分解的关键是要弄清各个公式的形式结构和特点，熟练地掌握公式。在做题时，可以先将多项式化为公式的基本形式，如：可化为（ ）2 -（ ）2 ，运用平方差公式；可化为 ，运用完全平方公式；可化为 ，运用立方和或立方差公式。 （3）在运用公式法做因式分解时，公式中的字母a、b可为任意数、单项式或多项式等。解：（1）分析：这题显然不能直接使用公式，由于两项均为4次方。因此需要添一项凑出一个完全平方式，这里注意应凑成 ，以利于进一步的分解。（2）分析：这题可以通过拆项的方法进行因式分解，由三项的系数特征可知应将 拆为 后再分组。例11 已知多项式 有一个因式是 ,求k的值并把原式分解因式。 分析：由于 是一个三次多项式，而已知有一个一次多项式因子，可知另一个因子必是二次多项式，不妨设为 ，用待定系数法可确定a、b的值。[重点、难点练习题]一、 用提取公因式法分解下列各式二、用公式法分解下列各式三、用十字相乘法分解下列各式四、用分组分解法分解下列因式五、分解下列因式六、分解下列因式[全方位单元综合练习题]一、 判断题（对的在括号里打"√",错的打"×"）6、因式分解过程正好与整式乘法过程相反。 （ ）7、任意一个二次多项式都可以分解为两个一次因式的乘积。（ ）8、两个偶数的平方差一定是4的倍数。 （ ）二、 选择题（每题只有一个正确答案，把正确答案的序号填在括号里）四、将下列各式分解因式五、将下列各式分解因式

十字相乘法，要按某个字母降幂排列，分解第一项和第三项合成第二项。看图：

先学f，同时学习七个o的十字公式和四个p的棱块还原公式。学完f后，背完p的所有公式(其实很简单)，同时加强十字方面的练习(三色定律、多个块同时下底等)。最后，向o的其他50个公式发起冲击。熟练cfop后平均水平达到15秒左右应该不成问题。要是想sub10的话，则必须要学习四向f2l、f2l非标、多向oll、pll和pll六格观察法。学习顺序为：六格-四f-非标-多向o、p。学习魔方最重要的还是勤练习。

农历七月二十二 财神节，中国传统节日，农历七月二十二，是财帛星君李诡祖和天财星君柴荣的祭祀纪念日。中国的民间习俗是正月初五拜财神，七月二十二祭祀财神生日，又叫财神节。该习俗遍及整个中国大陆，港澳台，南亚国家及华人聚居之地。 财神节，是中国汉族、土族等地民间祭祀财神的节日。为农历七月廿二日，是中国传统节日之一。七月廿二日是财帛星君的成道日。正月初五俗称破五节，这一天有送穷神、接财神等多重习俗，所以逢年农历正月初五及七月二十二便是祭祀财神爷的日子。中国民间通常以放鞭炮、挂灯笼、烧香、送纸钱等形式以祈来年财源广进。财神自南宋兴盛以来，经历代衍化，逐渐形成一个财神体系，按文武职位分：有文财神，武财神；按管辖地域划分：东西南北中共九路财神；按地方习俗分：也有小财神，地方财神等。财神供奉于道教宫观，公司商铺及老百姓家中，各司其职，各显神通，深为民间膜拜。每逢财神重要节日，去道教宫观祭拜的善男信女便络绎不绝。 七月二十二财神节，道教中这一天是天财星君柴荣和财帛星君李诡祖的成道日。柴荣去世后在这一天羽化得道，位列仙班，成为天上星宿中的财神，在天庭的职衔是“天财星君”，专管天下的金银财源。因此民间在这一天要举行规模宏大的庆祝活动。后来民间有人说这是天财星君的生日，实际上是成道日。 财神节这天，所有的经商业户，都要大宴宾朋，感谢财神的到来，感谢亲戚朋友的大力支持......大吉大利、开开心心、欢欢喜喜，所有美好的语言一起开放。中午宴宾朋，晚上亲人聚，热热闹闹一整天。祭祀时，红烛高烧，用面做成元宝、圣虫，或用钱做成钱龙，吃水饺谓之“元宝”，意谓招财进宝。春节时，一般人家必悬挂此图于正厅，祈求财运、福运。正月初五，各商店开市，一大早就金锣爆竹、牲醴毕陈，以迎接财神。 据《古禾杂识》记载：“初四日午后接灶，至夜则接路头，大家小户门前各悬灯二盏，中堂陈设水果、粉团、鱼肉等物，并有路头饭、路头汤，鄙俚之至。”清人顾铁卿《清嘉录》中引了一首蔡云的竹枝词，描绘了苏州人初五迎财神的情形：“五日财源五日求，一年心愿一时酬；提防别处迎神早，隔夜匆匆抱路头”。“抱路头”亦即“迎财神”。我国北方地区有在正月初一拜财神，正月初五接财神的习俗。是日家家户户摆供品为财神祝寿，祈求财神赐福，保佑来年财源广进，五谷丰登，幸福美满。蒲松龄在他的《穷汉词》里面描写了这种习俗：“大年初一，烧炷名香，三盏清茶，磕了一万个响头，就把财神爷爷来祝赞祝赞。忙祝赞，忙磕头，财神在上听缘由；听我从头说一遍，诉诉穷人肚里愁。”

貂蝉，为东汉末年司徒王允家的义女，故里在忻州市东南三公里的木芝村，位于从太原或忻州 去禹王洞的途中。村中传闻，早在貂蝉出生前三年村里的桃杏就不开花了，至今桃杏树依然难以成活 ，是说貂蝉有羞花之貌的缘故。 貂蝉是《三国演义》中最为重要的一位女性形象，其善歌舞，色伎俱佳，虽无更多的过人之处， 但却凭借自己的美貌在诸侯争霸的战乱年代，辗转于各诸侯之间。貂蝉真实姓名叫任红昌，出生在并 州郡九原县木耳村，15岁被选入宫中，执掌朝臣戴的貂蝉（汉代侍从官员的帽饰）冠，从此更名为貂 蝉。汉末宫廷风云骤起，貂蝉出宫被司徒王允收为义女。原为吕布部将秦宜禄之妻，他们还有一个儿 子名叫秦朗，字元明，三国演义上有出现过，三国志上也有记录为汉末三国魏国重要人物之一，因为 吕布行为不正，爱抢别人的妻子，貂蝉被迫嫁予吕布，其子秦朗也跟随吕布，吕布覆灭后，秦朗追随 曹操，后深受曹操喜爱，被曹操认干儿子。 貂蝉图1 有人说貂蝉是历史上最早的间谍。当时王允眼看董卓将篡夺东汉王朝，为拯救汉朝，施行连环计 ，王允先把貂蝉暗地里许给吕布，在明把貂蝉献给董卓。吕布英雄年少，董卓老奸巨猾。为了拉拢吕 布，董卓收吕布为义子。二人都是好色之人。从此以后，貂蝉周旋於此二人之间，送吕布於秋波，报 董卓於妩媚。把二人撩拨得神魂颠倒，使董卓、吕布两人反目成仇，最终借吕布之手除掉了恶贼董卓 。之后貂蝉成为吕布的妾。 但后来吕布失败后，关于美女貂蝉的下落就一直是个迷，也同样是人们关心的一个话题，貂蝉在 吕布死后被关羽纳为小妾。其最终的结局到底是怎样的呢？最后是怎么死的？ 在民间，关于美女貂蝉的下落存在着“惨死”和“善终”两大系列。 貂蝉“善终”共有四个版本 第一个版本是貂蝉最终出家为尼，并以佚名的方式写下了杂剧《锦云堂暗定连环计》，以此向 世人表明自己的政治贡献，最终在尼姑庵里寿终正寝。 第二种版本则称貂蝉本是曹操送给董卓用来迷惑君主的一名美女，后来成为了董卓的侍婢，并挑 拨吕布杀死了董卓，在“长安兵变”吕布败走后貂蝉又落入了李嘀手，再次挑拨李嘤牍汜自相残 杀，在李啾徊懿倩靼芎篚醪踝钪栈氐搅瞬懿偕肀摺U庖话姹鞠喽岳此当冉嫌欣史依据。 第三个版本则是说关羽没有贪恋女色，而是护送貂蝉回到其故乡木耳村。貂蝉则是一直守节未 嫁，最终被乡人建庙祭奠。 第四个版本称貂蝉被关羽纳为小妾，并送往成都定居，但是关羽却没有想到自己最后竟是兵败 身死，而可怜的貂蝉从此流落于蜀中，成了一名村妇而已。 貂蝉“惨死”共有五个版本 第一个版本是昆剧《斩貂》中描述吕布在白门楼被曹操斩首，他的妻子貂蝉被张飞转送给了关 羽，但关羽拒绝接受这位带有污点的女子，恐其水性杨花、朝三暮四，唯有一死才能保全其名节，于 是乘夜传唤貂蝉入帐，拔剑痛斩美人于灯下。 第二个版本出自明剧《关公与貂蝉》，剧中貂蝉向关羽痛诉内心的冤屈，并详细讲述了自己施 展美人计为汉室锄奸的经历，以此赢得了关羽的爱慕与景仰。但是关羽最终决定为复兴汉室而献身， 貂蝉也只好怀着满腔柔情自刎，以死来证明自身的政治贞操。 貂蝉图2 第三种版本是另一出杂剧《关公月下斩貂蝉》，是说曹操欲以美色迷惑关羽，使其为自己效力 ，遣貂蝉前去引诱。貂蝉使出浑身解数，上下挑逗，关羽心如磐石，为了自己不受魅惑，杀死了貂蝉 。基于儒家文人的悉心改造，明代以来，貂蝉和关羽的形象，日益贴近士绅阶层的伦理标准。 第四个版本讲述的是貂蝉在关羽的庇护下逃走，削发为尼，但曹操派人追捕。为了不使关羽等 人难做，貂蝉毅然拔剑身亡，一缕幽怨的香魂，随着国家大义而去。 第五个版本自杀说：在海外的日本三国志和横山光辉三国志这两部著名作品中貂蝉的结局和央 视三国版的完全一样，在吕布杀死董卓后她觉得自己的使命也就结束了，因此貂蝉选择了自杀结束了 自己的一生，当她被吕布发现时早已身亡了。 总之，关于“貂蝉”其人，在正史的记载中是非常模糊的，仅仅是一个若明若暗的影子而已。其 下落究竟如何，至今已经很难考证。但我们可以根据情理来推断一下：董卓死后，貂蝉落入了吕布之 手，吕布败亡后，她又辗转到曹操手中。尽管这些都没有史书的记载，但也是合乎逻辑的。至于她的 最后下场如何，我们也可以做一个合理的推断，不外乎有两种可能性：一种可能，是在曹操宫中了却 余生。吕布败亡12年后，即建安十五年（210年），曹操在邺城修建铜雀台，纳诸伎于其上，习演歌舞 ，或许“貂蝉”应该也包括在内吧。另一种可能就是在残酷的战争环境中，貂蝉作为一个随军的弱女 子，随时随地都有生命危险，不知何时就已经香消玉殒了。

董平就是一个好色如命、心狠手辣、气量狭小的坏人！水浒里的坏人很多，吴用、李逵、王英，哪个不是坏得透顶。可是要论最坏的还是要数”双枪将“董平。董平是东平府的兵马都监，善于使用双枪，金圣叹点评他“英勇双枪将、风流万户侯“。而且，董平长得潇洒英俊、仪表堂堂，怎么看都让人喜欢。可董平做出来的事，却让人不敢恭维！东平府太守程万里有个女儿，长得十分美貌，董平没有妻子，十分爱慕，于是就派人去程太守家提亲。宋朝文贵武贱，程太守看不起董平这个武将，又是个小小的兵马都监，正好梁山攻到城下，就假称先打败前来攻城的梁山好汉，再提亲事。实际上，很有可能程太守已经看穿了董平的为人，根本不想把女儿许配给他而已。哪个父亲会把女儿嫁给这样一个心狠手辣的小人呢！结果，宋江等用计谋擒住了董平，宋江根本没有费什么口舌，董平就投降了！完全是没有一点骨气的软骨头。然后，董平诬陷程太守是童贯的门生，鱼肉百姓、无恶不作！这时候董平已经对程太守起了杀心！可怜的程太守，根本没有想到被擒的董平已经投降，正准备拿自己开刀呢！为了交”投名状“，董平转眼就带兵攻入城中，冲进程太守府中，把太守一家杀得干干净净，然后把程小姐抢走！杀人全家，掳人为妻，还有比董平更坏的人吗？程太守的态度让董平感觉受了侮辱，是他作出灭人全家的主要原因。从中也可以看出董平的气量是何等狭小，生怕别人看不起他。只要他觉得别人有一丝一毫的小看，就用最残酷的手段报复。这算什么梁山好汉！至于程小姐，落到董平手里面，又能有什么好下场？宋江也是什么人都敢收，董平来了之后，因为武功高强，居然成为五虎将之一！收董平，其实就是宋江为了扩充自己派系的实力而已。管他董平是什么货色，只要听自己的话就行。

财神爷过生日是哪一天 每年的农历七月二十二日是传说中财神的生日 “财神爷”在中国人的心目中，是一个家财万贯、生财聚财的神仙。人们都向往着能过上象财神爷那样的好日子，金钱应有尽有，花不完用不尽，永远是一个大富翁。所以，“财神爷”已成为人们向往的目标、追求的目的。特别那些做生意的人，对财神爷崇敬尤加，供奉如祖，视若如神。在南方，凡生意人的店铺、门头里都供有“财神爷”的塑像，明灯蜡烛，照耀着精致的神龛。每年的农历七月二十二日还要给财神爷过生日。春节在供奉祖先的同时，还供奉着“财神爷”。 财神爷的生日是哪天啊 ？ 每年的农历七月二十二十财神爷的生日 几月几日是财神爷的生日 你好：财神爷在汉族民间传说中是主管财源的神明，主要分为两大类：一是道教赐封，二是汉族民间信仰。道教赐封为天官上神，汉族民间信仰为天官天仙。 道教赐封并不称为财神，而是在所官职上加封神明。中国大乘佛教里也有财神：北方多闻天王和善财童子。现代，为了迎合大家的心理需要，还推出了网络财神和电子财神等。目前，中国民众供奉的财神主要有七位，分别是：北朝时期河北曲周县令李诡祖，端木赐（子贡：儒商之祖）、范蠡（浙商）、管仲（徽商）、白圭（晋商）、关公（关帝阁）、比干（文财神、冀商之祖）、财帛星君、赵公明。 中国传统的汉族民俗是正月初五拜财神，七月二十二祭祀财神生日，又叫财神节。该习俗遍及整个中国大陆，港澳台，南亚国家及华人聚居之地。 2017年的财神的生日是哪天 我也想知道，有知道的没 财神爷生日是几月几号 今天是吗？ 中国传统的汉族民俗是正月初五拜财神，七月二十二祭祀财神生日，又叫财神节。该习俗遍及整个中国大陆，港澳台，南亚国家及华人聚居之地。正月初五，各商店开市，一大早就金锣爆竹、牲醴毕陈，以迎接财神爷。也有说正月初五是财神爷的生日。 财神,什么时候生日。 财神生日是指中国人所信仰的文财神李诡祖与武财神赵公明7月22日的生日。此日为华人民间财神节，每年的七月廿二，人们都燃放鞭炮，庆祝财神生日，将此日都盼为好兆头，一些做买卖者能发福生财。财神在中国民间传说中是主管财源的神明，财神主要分为两大类：一日是官方与道教方赐封，二是中国民间信仰。官方与道教赐封为天官上神李诡祖（被民间称为文财神），中国民间信仰为天官天仙赵公明（被民间称为武财神）。所谓文财神李诡祖的生日在道教中实际上只是李诡祖的得道成仙日，而武财神赵公明的生日也有两种说法：一是农历七月二十二日，二是农历三月十五日。 2015年财神爷生日是哪一天 每年的农历七月二十二日是传说中财神的生日 “财神爷”在中国人的心目中，是一个家财万贯、生财聚财的神仙。人们都向往着能过上象财神爷那样的好日子，金钱应有尽有，花不完用不尽，永远是一个大富翁。所以，“财神爷”已成为人们向往的目标、追求的目的。特别那些做生意的人，对财神爷崇敬尤加，供奉如祖，视若如神。在南方，凡生意人的店铺、门头里都供有“财神爷”的塑像，明灯蜡烛，照耀着精致的神龛。每年的农历七月二十二日还要给财神爷过生日。春节在供奉祖先的同时，还供奉着“财神爷”。 今天是财神爷生日吗，还是明天 每年的农历七月二十二日是传说中财神的生日 “财神爷”在中国人的心目中，是一个家财万贯、生财聚财的神仙。人们都向往着能过上象财神爷那样的好日子，金钱应有尽有，花不完用不尽，永远是一个大富翁。所以，“财神爷”已成为人们向往的目标、追求的目的。特别那些做生意的人，对财神爷崇敬尤加，供奉如祖，视若如神。在南方，凡生意人的店铺、门头里都供有“财神爷”的塑像，明灯蜡烛，照耀着精致的神龛。每年的农历七月二十二日还要给财神爷过生日。春节在供奉祖先的同时，还供奉着“财神爷”。

三阶魔方的分段，30秒以内算是专业级，30-40是业余高级，40-50业余中级，50-60业余初级CFOP，是C,F,O,P四部分的总称C=Cross，就是架十字F= First 2 layers ，完成前两层，41个标准公式，是CFOP提速关键O=Orientation last layer ，顶层颜色统一，共57个公式P=Position last layer 角块棱块归位，共21个公式入门玩法就是层先，而CFOP是直接拼两层，而不是先拼一层再拼一层，省去了很多多余的步骤，OP也是一部完成，略去了多余的无谓的循环，所以会使你大幅提速，代价是你要熟悉并掌握所有F2L41个，0LL57个，PLL21个公式的标准情况仅仅学会CFOP119个公式的标准形态稍加练习即可进30秒，码字不易望采纳