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十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式.这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:ax^2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）,在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号.基本式子：x^2+（p+q）χ+pq=（χ+p）（χ+q）所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说：把x^2+7x+12进行因式分解. .
上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以上式可以分解为：x^2+7x+12=(x+3）(x+4） .
又如：分解因式：a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5×（-3）.而5+(-3）又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5）(a-3）. 十字相乘法讲
x^2-3x+2=如下：
x -1
╳
x -2
左边x乘x= x^2
右边-1乘-2=2
中间-1乘x+（-2）乘x（对角）=-3x
上边的【x+（-1）】乘下边的【x+（-2）】
就等于（x-1）*（x-2）
x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）
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通俗方法
方法
先将二次项分解成（1 X 二次项系数）,将常数项分解成（1 X 常数项）然后以下面的格式写
1 第三次a=2 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
第四次a=2 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
第五次a=2 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
第六次a=3 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
第七次a=3 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
.
依此类推
直到（ad+cb=一次项系数）为止.最终的结果格式为（ax+b)(cx+d)
例
：（^2代表平方）
a^2x^2+ax-42
首先,我们看看第一个数,是a↑2,代表是两个a相乘得到的,则推断出（a ×+?）×（a ×+?）
然后我们再看第二项,+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果,所以推断出使两项式×两项式.
再看最后一项是-42 ,-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2
首先,21和2无论正负,合并后都不可能是1 只可能是-19或者19,所以排除后者.
然后,在确定是-7×6还是7×-6.
（a×+(-7））×（a×+6）=a^2-a-42（计算过程省略）
得到结果与原来结果不相符,原式+a 变成了-a
再算：
（a×+7）×（a×+(-6））=a^2+a-42
正确,所以a^2x^2+ax-42就被分解成为（ax+7）×（ax-6）,这就是通俗的十字相乘法分解因式.
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例题解析
例1
把2x^2-7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分
别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.
分解二次项系数（只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同!
2=1×2=2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1=5 ≠-7
1 3
╳
2 1
1×1+2×3=7 ≠-7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)=-7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7.
解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1)
一般地,对于二次三项式ax+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下：
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax^2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即
ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法.
例2
把6x^2-7x-5分解因式.
分析：按照例1的方法,分解二次项系数6及常数项-5,把它们分别排列,可有8种不同的排列方法,其中的一种
2 1
╳
3 -5
2×(-5)+3×1=-7
是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
解 6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5)
指出：通过例1和例2可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,往往要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式,十字相乘法是
1 -3
╳
1 5
1×5+1×(-3)=2
所以x+2x-15=(x-3)(x+5).
例3
把5x^2+6xy-8y^2分解因式.
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把-8y^2看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即
1 2
╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解 5x+6xy-8y=(x+2y)(5x-4y).
指出：原式分解为两个关于x,y的一次式.
例4
把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,只有先进行多项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解.
问：以上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
1 -2
╳
2 1
1×1+2×（-2）=－3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解,这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
例5
x^2+2x-15
分析：常数项（-15）<0,可分解成异号两数的积,可分解为（-1）（15）,或（1）(-15）或（3）
(-5）或（-3）（5）,其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2.
=(x-3）(x+5）
总结：①x+（p+q）x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 时,那么
kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)
a b
╳
c d
教学重点和难点
重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式；
难点：灵活运用十字相乘法分解因式.
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解决两者之间的比例问题
原理
一个集合中的个体,只有2个不同的取值,部分个体取值为A,剩余部分取值为B.平均值为C.求取值为A的个体与取值为B的个体的比例.假设总量为S, A所占的数量为M,B为S-M.
则：[A*M+B*（S－M）]/S=C
A/S*M/S+B/S*(S-M)/S=C
M/S=(C-B)/(A-B)
1-M/S=(A-C)/(A-B)
因此：M/S∶（1-M/S）=（C-B）∶（A-C)
上面的计算过程可以抽象为：
A ………C-B
……C
B……… A-C
这就是所谓的十字相乘法.X增加,平均数C向A偏,A-C（每个A给B的值）变小,C-B（每个B获得的值）变大,两者如上相除=每个B得到几个A给的值.即比例,以十字相乘法形式展现更加清晰
使用时的注意事项
第一点：用来解决两者之间的比例问题.
第二点：得出的比例关系是基数的比例关系.
第三点：总均值放中央,对角线上,大数减小数,结果放在对角线上.
例题
某高校2006年度毕业学生7650名,比上年度增长2%,其中本科毕业生比上年度减少2%,而研究生毕业数量比上年度增加10%,那么,这所高校今年（2006）毕业的本科生有多少人?
十字相乘法
去年毕业生一共7500人,7650÷（1+2%）=7500人.
本科生：-2%………8%
…………………2%
研究生：10%……… -4%
本科生∶研究生=8%∶（-4%)=-2∶1.
去年的本科生：7500×2/3=5000
今年的本科生：5000×0.98=4900
答：这所高校今年毕业的本科生有4900人.
鸡兔同笼问题
今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?
十字相乘法
假设全为鸡脚则有70只脚,假设全为兔脚则有140只脚
鸡：70……… …46
……………………94
兔：140……… …24
鸡：兔=46：24=23：12
答：鸡有23只,兔有12只.
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十字相乘法解一元二次方程
例1
把2x^2-7x+3分解因式.
分析：先 分解二次项系数,
分别写在十字交叉线的左上角和左下角,
再分解常数项,
分别写在十字交叉线的右上角和右下角,
然后交叉相乘,
求代数和,使其等于一次项系数.
分解二次项系数（只取正因数）：
2=1×2=2×1；
分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3）×（-1）=(-1）×（-3）.
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1=5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3=7
1 -1
╳
2 -3
1×（-3）+2×（-1） =-5
1 -3
╳
2 -1
1×（-1）+2×（-3） =-7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数－7.
解 2x^2-7x+3=(x-3）（2x-1）.
一般地,对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0）,
如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,
即a=a1a2,
常数项c可以分解成两个因数之积,
即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,
排列如下：
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,
若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,
即a1c2+a2c1=b,
那么二次三项式就⒂可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,
即 ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）.
例2
把6x^2-7x-5分解因式.
分析：按照例1的方法,
分解二次项系数6及常数项-5,
把它们分别排列,
可有8种不同的排列方法,
其中的一种 21╳3-5 2×（-5）+3×1=-7
是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
解 6x^2-7x-5=（2x+1）（3x-5）
指出：通过例1和例2可以看到,
运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,
往往要经过多次观察,
才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1的二次三项式,
也可以用十字相乘法分解因式,
这时只需考虑如何把常数项分解因数.
例如把x^2+2x-15分解因式,
十字相乘法是1-3╳ 15 1×5+1×（-3）=2
所以x^2+2x-15=(x-3）(x+5）.
例3
把5x^2+6xy-8y^2分解因式.
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,
把-8y^2看作常数项,
在分解二次项及常数项系数时,
只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,
经过观察,选取合适的一组,
即 12╳ 5-4 1×（-4）+5×2=6
解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)（5x-4y).
指出：原式分解为两个关于x,y的一次式.
例4
把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,
只有先进行多项式的乘法运算,
把变形后的多项式再因式分解.
问：两上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y）,它是第一个因式的二倍,然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x-y)（2x-2y-3）-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
1-2╳ 21
1×1+2×（-2）=－3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2）（2x-2y+1）.
指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解,
这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5x^2+2x-15
分析：常数项（-15）<0,可分解成异号两数的积,
可分解为（-1）（15）,或（1）(-15）或（3） (-5）或（-3）（5）,
其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2. =(x-3）(x+5）
总结：①x^2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；
常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.
因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分
x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 时,
那么 kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d) a b╳c d
（1） (x+3）(x-6）=-8 （2） 2x^2+3x=0
（3） 6x^2+5x-50=0 （4）x^2-2( + )x+4=0
（1）（x+3）(x-6）=-8 化简整理得
x^2-3x-10=0 （方程左边为二次三项式,右边为零）
(x-5）(x+2）=0 （方程左边分解因式）
∴x-5=0或x+2=0 （转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解.
（2）2x^2+3x=0
x（2x+3）=0 （用提公因式法将方程左边分解因式）
∴x=0或2x+3=0 （转化成两个一元一次方程）
∴x1=0,x2=-3/2是原方程的解.
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解.
（3）6x^2+5x-50=0
（2x-5）（3x+10）=0 （十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=5/2,x2=-10/3 是原方程的解.
（4）x^2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法）
(x-2）(x-2 )=0
∴x1=2,x2=2是原方程的解.
例题x^2-x-2=0
（x+1）(x-2）=0
∴x+1=0或x-2=0
∴x1=-1,x2=2
（附：^是数学符号）
CarieVinne -
两个乘积的和是正为正，是负为负，乘时注意带正负号。
Troublesleeper
-
根据一次项系数的正负和常数的正负决定
以心消业 -
b前面的系数