单纯形法

用单纯形法求解线性规划问题时，需要有一个单位矩阵作为初始基，当约束条件都是“≤”时，约束条件标准化后，其松弛变量均为正数，在约束方程组的系数矩阵中，就形成了一个初始基。但是，实际问题中常常出现“≥”或“=”的约束条件，经标准化后，约束方程组系数不存在单位矩阵，因而没有一个现成的初始基本可行解。为了解决此问题，采用人造基的办法，在约束方程中引入非负的人工变量。这种人工变量与前述松弛变量不同，它没有物理意义，仅是为了求解方程方便而引入，所以解的结果必须使这些变量为零，才能保持改变后的问题与原题等价，否则，说明原题无解。处理人工变量的方法有-M法和两阶段法。1.-M法当线性规划数学模型中含有“≥”或“=”的约束方程时，需在其左端加一非负的人工变量yi，构成单位矩阵。但加入yi后的方程，就与原约束方程不等价，所以必须保证在最后的解中，yi=0才能与原约束方程等价。为此，在目标函数式中，给加入的人工变量yi一个很大的系数，对极大问题，系数用-M表示；对极小问题，系数用M表示（M本身为正值）。只有当yi=0时，才能使-Myi=0，目标函数才达到最优化。yi由于具有很大的系数而得到严格的控制，故这个-M称为“惩罚因子”。当具有“≥”或“=”的约束方程加入人工变量yi后，即可以yi作为初始基本解，按上述单纯形法计算。2.两阶段法两阶段单纯形法就是将线性规划问题分两个阶段求解。第一阶段是判断原线性规划问题是否有解，并寻求一个初始基本可行解。为此，用人工变量的和代替原来的目标函数，构造一个辅助规划，这个辅助规划具有一个单位矩阵，应用单纯形法，使辅助规划的目标函数最小化。若此辅助规划的最优解使其目标函数等于零，则说明没有一个人工变量在基本变量内取值，从而可得到原问题的一个基本可行解，转向第二阶段。否则，如果最小值为正，那么问题就以不存在可行解而结束。第二阶段是求原问题的最优解。在第一阶段最后单纯形表的基础上，去掉人工变量，然后以第一阶段求得的最优解作为第一个基本可行解，以原问题的目标函数，继续用单纯形法进行迭代，直到求得最优解为止。

影子价格在终表中已经反映出来了，B逆对应的检验数的相反数即是！

（1）X5是基变量，检验数l=0u2002（2）x1是基变量，则，g=1，h=0u2002（3）x4行乘以1/2得到迭代后的x1行u2002所以，f=6*1/2=3,u2002b=2，c=4，d=-2u2002（4）x4行乘以1/2加到x5行上，得到迭代后的x5行u2002所以，c*1/2+3=i，i=5，d*1/2+e=1,u2002e=2u2002（5）迭代前为初始单纯形表，价值系数为初始表检验数u2002所以，x2价值系数为-1，u2002x3价值系数为2，x4价值系数为0u2002则，-7=-1-（2a-0*i），所以a=3u2002j=2-（-a）=5；k=0-（1/2*a+1/2*0）=-3/2u2002即，a=3，b=2，c=4，d=-2，e=2,u2002f=3,u2002g=1,u2002h=0,u2002i=5,u2002j=5,u2002k=u2002-3/2,u2002l=0扩展资料运筹学特点：1、运筹学已被广泛应用于工商企业、军事部门、民政事业等研究组织内的统筹协调问题，故其应用不受行业、部门之限制；2、运筹学既对各种经营进行创造性的科学研究，又涉及到组织的实际管理问题，它具有很强的实践性，最终应能向决策者提供建设性意见，并应收到实效；3、它以整体最优为目标，从系统的观点出发，力图以整个系统最佳的方式来解决该系统各部门之间的利害冲突。对所研究的问题求出最优解，寻求最佳的行动方案，所以它也可看成是一门优化技术，提供的是解决各类问题的优化方法 。

先将原题转化为标准模式，令z=-f，添加松弛变量x3,x4max z = 2x1+3x2+0x3+0x4st. x1 + x2 + x3 = 2 4x1 +6x2 + x4 = 9建立初始单纯形表 cj 2 3 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 θ 0 x3 2 1 1 1 0 0 x4 9 4 6 0 1 σj 2 3 0 0将x2作为入基变量，求得θ为2, 3/2写入上表 cj 2 3 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 θ 0 x3 2 1 1 1 0 2 0 x4 9 4 6 0 1 3/2 σj 2 3 0 0将x4作为离基变量，重新计算单纯形表 cj 2 3 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 θ 0 x3 1/2 1/3 0 0 -1/6 3 x4 3/2 2/3 1 0 1/6 σj 0 0 0 -1/2存在非基变量x1的检验数σj=0，因此该题有无穷多最优解其中一个最优解是x1=0,x2=3/2得到max z = 9/2得到min f = -9/2

先将原题转化为标准模式，令z=-f，添加松弛变量x3,x4max z = 2x1+3x2+0x3+0x4st. x1 + x2 + x3 = 24x1 +6x2 + x4 = 9建立初始单纯形表cj 2 3 0 0cB xB b x1 x2 x3 x4 θ0 x3 2 1 1 1 00 x4 9 4 6 0 1σj 2 3 0 0将x2作为入基变量，求得θ为2, 3/2写入上表cj 2 3 0 0cB xB b x1 x2 x3 x4 θ0 x3 2 1 1 1 0 20 x4 9 4 6 0 1 3/2σj 2 3 0 0将x4作为离基变量，重新计算单纯形表cj 2 3 0 0cB xB b x1 x2 x3 x4 θ0 x3 1/2 1/3 0 0 -1/6 3 x4 3/2 2/3 1 0 1/6 σj 0 0 0 -1/2存在非基变量x1的检验数σj=0，因此该题有无穷多最优解其中一个最优解是x1=0,x2=3/2得到max z = 9/2得到min f = -9/2

单纯形法 §1.3.1 单纯形法的解题思路 由具体例题突出相关概念。 §1.3.2 单纯形法要点和单纯形表 1. 检验数的意义和计算公式 （1.19） 2.单纯形表 表1-5 cj c1 c2 … cm cm+1 … ck … cn CB XB b x1 x2 … xm xm+1 … xk … xn c1 c2 … cm x1 x2 … xm b1 b2 … bm 1 0 … 0 a1m+1 … a1k … a1n 0 1 … 0 a2m+1 … a2k … a2n … … … … … … 0 0 … 1 amm+1 … amk … amn σj 0 0 … 0 … … 3. 单纯形法的基本法则 法则1 最优性判定法则 法则2 换入变量确定法则 设 ，则xk为换入变量。 法则3 换出变量确定法则 （1.21） 再强调一下，这个法则的目的是，保证下一个基本解的可行性，违背这一法则，下一个基本解一定包含负分量，即不是可行解。 法则4 换基迭代运算法则 表1-6 cj 2 5 0 0 0 θ比 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 0 0 0 x3 x4 x5 8 20 12 1 5 0 2 2 [4] 1 0 0 0 1 0 0 0 1 8/2 20/2 12/4 σj 2 5 0 0 0 0 0 5 x3 x4 x2 2 14 3 [1] 5 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 -1/2 -1/2 1/4 2/1 14/5 — σj 2 0 0 0 -5/4 2 0 5 x1 x4 x2 2 4 3 1 0 0 0 0 1 1 -5 0 0 1 0 -1/2 2 1/4 σj 0 0 -2 0 -1/4 最优解X*=（2，3，0，4，0）T，z*=2×2+5×3=19。

分析单纯形法原理时，最重要的两个表达式是用非基变量表示基变量的表达式和用非基变量表示目标函数的表达式。一、概述根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）的值称为一个解，满足所有的约束条件的解称为可行解。使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。二、单纯形法原理的理论根据它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。三、单纯形法的基本思想单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解：若不是则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解，再鉴别；若仍不是，则再转换，按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。单纯形法的求解步骤：一、基于约束条件方程组的系数矩阵通过寻找或构造单位矩阵的方法，确定基变量，从而求出初始基本可行解，再利用初始基本可行解及线性规划模型提供的信息，编制初始单纯形表。二、将检验数cj-zj作为判断基本可行解是否为最优解的标准判断的方法如下：1、若所有非基变量的检验数cj-zj<0，已经达到最优解，计算停止。2、若存在cj-zj>0，但所有cj-zj>0所在列对应的所有aij≤0，无最优解，计算停止。3、若至少存在一个cj-zj>0，并且所对应的所有j列中至少有一个aij>0，没有达到最优解，转到第三步。三、继续迭代，求解下一个使目标函数更优的基本可行解迭代过程如下：1、确定换入变量：原则上选择最大检验数对应的非基变量作为换入变量。2、利用下式求出xj所在的第i行所对应的基变量作为换出变量。3、换入变量和换出变量确定后，生成另外一张单纯形表，即将单纯形表的换入变量和换出变量进行置换以后，把cB列相应的目标函数系数变更，再对bi和aij的值进行初等变换，即进行行运算，从而将新基变量对应的矩阵调整为单位矩阵。4、重新计算机会费用zj和检验数cj-zj的值，返回第二步。

第一步：基于约束条件方程组的系数矩阵，通过寻找或构造单位矩阵的方法，确定基变量，从而求出初始基本可行解，再利用初始基本可行解及线性规划模型提供的信息，编制初始单纯形表。第二步：将检验数cj-zj作为判断基本可行解是否为最优解的标准，（1）若所有非基变量的检验数cj-zj<0，已经达到最优解，计算停止。（2）若存在cj-zj>0，但所有cj-zj>0所在列对应的所有aij≤0，无最优解，计算停止。（3）若至少存在一个cj-zj>0，并且所对应的所有j列中至少有一个aij>0，没有达到最优解，转到第三步。第三步：继续迭代，求解下一个使目标函数更优的基本可行解。

选C，非基变量对应的检验数有0的时候该LP的问题可能有多重最优解。而一旦球的另一个最优解的时候，就可知其最优解有无穷多个。

单纯形法初始可行解的基变量的系数不为零这样做：1、把原线性规划问题化为标准形式。2、找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵。3、目标函数非基化。4、作初始单纯形表。

先将原题转化为标准模式，令z=-f，添加松弛变量x3,x4maxz=2x1+3x2+0x3+0x4st.x1+x2+x3=24x1+6x2+x4=9建立初始单纯形表cj2300cbxbbx1x2x3x4θ0x3211100x494601σj2300将x2作为入基变量，求得θ为2,3/2写入上表cj2300cbxbbx1x2x3x4θ0x32111020x4946013/2σj2300将x4作为离基变量，重新计算单纯形表cj2300cbxbbx1x2x3x4θ0x31/21/300-1/63x43/22/3101/6σj000-1/2存在非基变量x1的检验数σj=0，因此该题有无穷多最优解其中一个最优解是x1=0,x2=3/2得到maxz=9/2得到minf=-9/2

确定换入基和换出基的变量之后，把所对应的那个数不是用[ ]圈上了吗，比方说换入基变量为x2，换出基变量为x5，假设所对应的那个被圈上的数是5，为了进一步形成新的单纯形表，一开始的单纯形表里，5所在的那行要全乘5分之1(包括那行的b)，使得在新的单纯形表里，原来被[ ]上的那个数字变成1，而且要求原来单纯形表里被[ ]圈上的数字所在的列在新的单纯形表里除了被[ ]圈上的数字以外都必须是0，把原来的单纯形表经过行变换，反正就是行变换的时候b也跟着一起变就对了。你只问b怎么算，是不是说行变换的时候其他行的数字是怎么算的你是知道的？既然知道我就不说了，b和其所在行的数字变法是一样的

单纯形法应用在线性规划的标准模型上，任何一个线性规划的一般形式都可以化为标准模型。 线性规划模型的一般形式为： 把它转换为标准型是要求所有的约束都是等式约束，且所有的决策变量非负。 如下面的形式： 举个例子： 那么很容易就可以写出这个线性规划问题的数学模型： 再重复一遍，线性规划的标准型必为以下形式： 对于标准型我们有两个基本假设： 1. 系数矩阵A的行向量线性无关。 2. 系数矩阵A的列数大于其行数，即n>m。因为如果n<m，那么不满足1, 如果n=m，那么该线性规划问题有唯一解，既然有唯一解，那就没有优化的必要了。所以，必有n>m。 回到刚才那个例子，我们可以将找个标准型写为如下形式： 这个例子m = 3, n = 5。那么我们可以用三个变量表示所有的五个变量，这三个变量我们称之为基变量。上图中，x3, x4, x5的系数是一个单位阵。我们把这种形式的等式约束称为典式。 观察这个典式，我们可以很容易的看出其一个基本可行解：(0, 0, 15, 24, 5)T，即非基变量等于0，基变量等于等式右边的常数。这个解，我们可以把它想象成基本可行解区域的一个顶点，我们知道最优解也在顶点上，那么我们只要沿着边界找这个最优顶点就可以了。 对于顶点(0, 0, 15, 24, 5)T，它的x3, x4, x5是基变量，那么与该顶点相邻的其他顶点的基变量有什么关系呢？事实上，与之相邻的顶点的所有基变量中只有一个基变量发生了变化。这是可以验证的。所以，接下来的工作就是从x1, x2中选一个非基变量进基成为基变量，从x3, x4, x5中选一个基变量出基成为非基变量。 那么问题来了，我们怎么选择进基变量和出基变量？ 假设我们想要x2进基，那么根据基本可行解的表示式，我们必须通过初等行变换的形式让x2只出现在一个等式约束中，就是把x2的系数变成(1,0,0)T或(0,1,0)T或(0,0,1)T的形式。 假设我们把x2变成(0,0,1)T的形式，初等行变换后得到： 现在对于例子 我们得到了两个基本可行解X1 = (0,0,15,24,5)T, X2 = (0,3,0,18,2)T，记目标函数f(X) = 2x1 + x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 则f(X1) = 0, f(X2) = 3 那么我们怎么找到最优解呢？ 我们知道 X2 = (0,3,0,18,2)T 的约束的表示式为： 发现什么没有？ 对于可行解X2 = (0,3,0,18,2)T，x1，x3是非基变量啊，非基变量是0啊。但是，我们下一步不是选择进基变量吗，进基变量不是从非基变量里选吗，我们选x1啊，为啥？x1的系数是正数2啊！我们这个例子是求z的最大值，如果x1进基，那么必然会让f(X)增大，因为我们的决策变量都是正数，正数乘正数还是正数，增量肯定是大于0的。我们看到x3的系数是-0.2，如果让x3进基的话，增量肯定是小于0的。 如果x1, x3的系数都大于0怎么办？那随便选啊。 如果x1，x3的系数都小于0怎么办？哈哈，有人可能就意识到了，非基变量的系数都小于0，选谁进基都会造成f(X)变小，我们不是求最大吗？那我们谁也不选啊，这个问题已经结束了，我们已经找到最优解了！ 所以，选择进基变量的问题，以及判断找到最优解的问题就都解决了。 我们一般使用单纯形表来直观表示这个过程。 还是可行解X2 = (0,3,0,18,2)T，它对应的单纯形表如下： 最左边一列是基变量，最右边一列是约束右边的常数项，中间一坨是决策变量的系数。最下边一行是目标函数z = 2x1 + x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5。最下面一行决策变量的系数我们称之为检验数。 我们通过行变换将最后一行的基变量前面系数变成0，就得到下面的单纯形表： 从这个表中我们可以得到以下信息： 然后通过刚才的方法让x3进基，得到新的基本可行解的单纯形表： 从这个表我们可以得知： 至此，我们已经得到该问题的最优解X4。 我们知道，对于一个基本可行解，一般情况下它的基变量是大于0，非基变量等于0。退化情况是，我们有一个基变量也等于0。那么，这个基本可行解就会对应于多个可行基阵。 举个例子： X = （3，3，0，0，0）T是该问题的可行解 我们可以令x3,x4为非基变量， 也可以令x3,x5或x4,x5为非基变量。 退化情况存在的问题在于，经过一次进出基迭代后得到的是同一个基本可行解，因此有可能出现迭代算法在一个基本可行解的几个基矩阵之间循环不止的情况。 所以，保证单纯形法收敛的充分条件是：在迭代过程中产生的每个基本可行解的基变量数值都严格大于0。 在迭代过程中，如果某一个决策变量的系数都小于0了，这代表什么？ 举例： 如上图，我们可以把x2放在等式右边，看出什么没有？x2可以趋于无穷大。 如上图， 非基变量x4的检验数为0了，根据最优性条件，让其进基并不能继续优化目标函数值。但是，x4进基后还是会得到一个基本可行解，且目标函数值与当前结果相同。这意味这什么？ 目标不能再优化，但是又有不同的基本可行解，啥意思？说明该问题有无穷多个最优解。 所以， 对于求max的线性规划问题，如果所有检验数均满足<=0，则说明已经得到了最优解，若此时某非基变量的检验数=0，则说明该优化问题有无穷多最优解。 单纯形法是从一个初始的基本可行解开始的，出基入基，知道找到最优可行解。 问题是，我们怎么得到那个初始的基本可行解啊？ 最基本的方法是 添加人工变量 假设原问题的约束是这样的： x1 + 2x2 + 3x3 = 1 2x + x3 = 2 那么我们再加两个变量x4, x5，把约束变成这样： x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 1 2x + x3 + x5 = 2 我们就把约束变成了典式，可以直接得到一个基本可行解(0,0,0,1,2)T，找个基本可行解的基变量是x4, x5，那么接下来的工作就是通过出基入基把x4,x5都变成非基变量，这样它们的值就可以为0， 从而得到原问题的可行解。 现在有个问题，如果在最优表中，基变量中仍含有人工变量，这说明啥？ 这说明，原问题根本就无解。

线性规划单纯形法的表格元素特点是单纯形表格具有的特点中心部位具有单位子块右列元素非负单位子块对应的底行元素为0底行其他元素非负（标准型为最大值时，要求底行元素非正数）。对于线性规划问题，使用单纯型法进行表上作业所得到的表格。直接用公式进行单纯形法的迭代计算是很不方便的，其中最复杂的是进行基变换。

我这是从参考资料上弄下来的，有点乱，你最好自己点参考资料查看： http://www.hebust.edu.cn/jpk/ycx/introduce/images/ksja.doc 单纯形法 §1.3.1 单纯形法的解题思路 由具体例题突出相关概念。 §1.3.2 单纯形法要点和单纯形表 1. 检验数的意义和计算公式 （1.19） 2.单纯形表 表1-5 cj c1 c2 … cm cm+1 … ck … cn CB XB b x1 x2 … xm xm+1 … xk … xn c1 c2 … cm x1 x2 … xm b1 b2 … bm 1 0 … 0 a1m+1 … a1k … a1n 0 1 … 0 a2m+1 … a2k … a2n … … … … … … 0 0 … 1 amm+1 … amk … amn σj 0 0 … 0 … … 3. 单纯形法的基本法则 法则1 最优性判定法则 法则2 换入变量确定法则 设 ，则xk为换入变量。 法则3 换出变量确定法则 （1.21） 再强调一下，这个法则的目的是，保证下一个基本解的可行性，违背这一法则，下一个基本解一定包含负分量，即不是可行解。 法则4 换基迭代运算法则 表1-6 cj 2 5 0 0 0 θ比 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 0 0 0 x3 x4 x5 8 20 12 1 5 0 2 2 [4] 1 0 0 0 1 0 0 0 1 8/2 20/2 12/4 σj 2 5 0 0 0 0 0 5 x3 x4 x2 2 14 3 [1] 5 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 -1/2 -1/2 1/4 2/1 14/5 — σj 2 0 0 0 -5/4 2 0 5 x1 x4 x2 2 4 3 1 0 0 0 0 1 1 -5 0 0 1 0 -1/2 2 1/4 σj 0 0 -2 0 -1/4 最优解X*=（2，3，0，4，0）T，z*=2×2+5×3=19。参考资料：http://www.hebust.edu.cn/jpk/ycx/introduce/images/ksja.doc

其实最后结果都是一样的，只是算的过程中单纯形表不相同，但是最后单纯形表相同的。你就用两个检验数中，分别算比值。那个比值比较小的数定为1计算起来会比较简单。（不好意思，看错题了，看成了检验数相同了，回答在哪删啊，哭了）

这个表实在看不清，主要步骤：1，建初始表2，求检验数（cj-zj），是否都小于等于0，不是就要进行出基入基操作3，检验数大的入基4，确认哪个出基，确认方法：比较几个基的(最后一个数除以入基列的数)的值，小的出基5，将要入基变量替换出基那一列，替换方法： 1），把之前的确认的入基和出基交点处的那个数变为+1 2），把另一行对应此列的数这为0 6，重复2~5步

你可以回想一下线性代数，逆矩阵的求法。其中一种方法就是用单位矩阵和原矩阵一起变化，等原矩阵变成单位阵后，原单位阵就是原矩阵的逆矩阵。在单纯形法中，一开始就构造有单位阵，所以B的逆矩阵，就是原来单位阵变化后的那几个数字。

如果依靠软件，比如MATLAB，MATHEMATICA什么的（甚至EXCEL），都有现成的线性规划的解决方案，照你图里面的条件输入就可以了（不知道具体的软件无法回答）。以下说明不用软件的手动计算单纯形法的标准方法。首先添加松弛变量，因为有3个方程，故添加3个松弛变量S1,S2,S3。约束方程组变为：2X1+X2+X3+S1=2(注意小于等于号变成了等于号，这就是添加松弛变量的作用）。X1+2X2+3X3+S2=52X1+2X2+X3+S3=6X1,X2,X3,S1,S2,S3>=0这是一个6个未知数（n），3个方程的方程组（m）。则选择n-m=3个变量作为“基变量”，让其余变量为0（非基变量）。使得方程组退化为：3个未知数，3个方程的方程组。然后根据对目标函数的影响迭代求解。注意：单纯形法是一个迭代（或者说尝试的过程）。先列出单纯形表(一个矩阵，里面的数据是目标函数和方程组的系数)。当我们选择从原点开始（令X1,X2,X3为0，则得到一个基本解：S1=2,S2=3,S3=6 , 目标函数X0=0；），则单纯形矩阵如下：( { {1, -3, -1, -3, 0, 0, 0, 0}, {0, 2, 1, 1, 1, 0, 0, 2}, {0, 1, 2, 3, 0, 1, 0, 5}, {0, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 6} } )呃，不知道怎么在百度里面输入矩阵这种东西。。。反正第一行就是目标函数的方程的系数：X0-3X1-X2-X3+S1+S2+S3=0其他行就是下面的方程组。矩阵的最右边一列是方程的右边项。此时的矩阵是令X1,X2,X3为非基，S1,S2,S3为基的，代表“原点”（起始点）的矩阵，此时的目标：X0=0然后选择目标函数中系数最大的变量为“进基”（就是选他进入基变量组，设为0），选择解和“进基”变量之比为最小非负数的变量为“离基”（就是让他离开基变量组，不设为0）。在这里，选择X1作为进基（因为其在目标方程中的系数最小（负得最多，此题选X3也可），S1为离基（因S1行的解与X1系数之比为1，为最小非负数），然后进行矩阵运算（线性代数里面学的那些东西），使得矩阵的第一行中，代表X1,S2,S3的系数为0，S1不为0。继续矩阵变换，选择进基和离基，直到目标函数的所有系数非负（停止条件），如果是最小化问题则是非正。懒得算了，告诉你个结果吧。x0=27/5x1=1/5x2=0x3=8/5

“迭代后单纯形表基矩阵B的逆矩阵B-1在该单纯形表的位置与初始单纯形表中初始基所在的位置相对应”我们是这么教的，但我还是发现答案里有的不一样......

　　我这是从参考资料上弄下来的，有点乱，你最好自己点参考资料查看：　　http://www.hebust.edu.cn/jpk/ycx/introduce/images/ksja.doc　　单纯形法　　§1.3.1 单纯形法的解题思路　　由具体例题突出相关概念。　　§1.3.2 单纯形法要点和单纯形表　　1. 检验数的意义和计算公式　　（1.19）　　2.单纯形表　　表1-5　　cj c1 c2 … cm cm+1 … ck … cn　　CB XB b x1 x2 … xm xm+1 … xk … xn　　c1　　c2　　…　　cm x1　　x2　　…　　xm b1　　b2　　…　　bm 1 0 … 0 a1m+1 … a1k … a1n　　0 1 … 0 a2m+1 … a2k … a2n　　… … … … … …　　0 0 … 1 amm+1 … amk … amn　　σj 0 0 … 0 … …　　3. 单纯形法的基本法则　　法则1 最优性判定法则　　法则2 换入变量确定法则　　设 ，则xk为换入变量。　　法则3 换出变量确定法则　　（1.21）　　再强调一下，这个法则的目的是，保证下一个基本解的可行性，违背这一法则，下一个基本解一定包含负分量，即不是可行解。　　法则4 换基迭代运算法则　　表1-6　　cj 2 5 0 0 0 θ比　　CB XB b x1 x2 x3 x4 x5　　0　　0　　0 x3　　x4　　x5 8　　20　　12 1　　5　　0 2　　2　　[4] 1　　0　　0 0　　1　　0 0　　0　　1 8/2　　20/2　　12/4　　σj 2 5 0 0 0　　0　　0　　5 x3　　x4　　x2 2　　14　　3 [1]　　5　　0 0　　0　　1 1　　0　　0 0　　1　　0 -1/2　　-1/2　　1/4 2/1　　14/5　　—　　σj 2 0 0 0 -5/4　　2　　0　　5 x1　　x4　　x2 2　　4　　3 1　　0　　0 0　　0　　1 1　　-5　　0 0　　1　　0 -1/2　　2　　1/4　　σj 0 0 -2 0 -1/4　　最优解X*=（2，3，0，4，0）T，z*=2×2+5×3=19。

一、线性规划单纯形法的概念 （一）线性规划单纯形解法的基本思路 若一个凸集仅包含有限个极点，则称此凸集为单纯形。线性规划的可行域是单纯形（证明略，但可以从上节图解法的例子得到认同），进而线性规划的基可行解又与线性规划问题可行域的极点1-1对应（定理2.2.2）， 线性规划单纯形法就是基于线性规划可行域的这样的几何特征设计产生的。这个方法最初是在20世纪40年代由George Dantzig研究出来的。这个线性规划单纯形解法的基本思路是：先求得一个初始基可行解，以这个初始基可行解在可行域中对应的极点为出发点，根据最优准则判断这个基可行解是否是最优解，如果不是转换到相邻的一个极点，即得到一个新的基可行解，并使目标函数值下降，这样重复进行有限次后，可找到最解或判断问题无最优解。 （二）单纯形法的最优准则 设：线性规划（LP）为： min cx s.t. Ax=b x≥0 A为（LP）的约束方程组的m*n阶系数矩阵（设n≥m），A的秩为m；B是线性规划的一个基，不失普遍性，记 定义 则：称λ，或者λj,(j=1,2,…,n)为检验数。 若：λ≤0，即全部λi非正， 则：由B确定的基可行解是（LP）的最优解。 （参看附录2.3.1） 二、线性规划单纯形法的表格解法 较简单的线性规划可以采用单纯形法的表格形式，这样利用计算器就可求解。单纯形法的表格解法的基本思路是，对基可行解建立单纯形表，依据此表作最优解判断，以及从原基可行解向目标值更小的新可行解转换的计算。 对于由基阵B确定的基可行解，其单纯形表为表2.3.1形式。对于初始基可行解，其单纯形表的构建方法为：先建立表2.3.2形式的表格，然后应用“行变换”将表2.3.2中的前m列，即基变量对应的列 转换为 其中0是m元0向量：0=(0,0,…,0), 是m阶单位方阵。在这样的行变换下，表2.3.2将转换为表2.3.1 表2.3.1 检验数基变量 cBB-1A-c cBB-1b xB B-1A B-1b 表2.3.2 检验数基变量 -cB -cN o xB B N B-1b （参看附录2.3.2） （一）直接求解 对如下形式的较简单的线性规划可直接采用单纯形法的表格形式求解： min cx s.t. Ax≤b x≥0 这种形式的线性规划标准化后，为min cx+ox" s.t. Ax+lx"=b x≥0,x"≥0其中x"=(x1",x2",…,xm")为松驰变量，而o=(0,0,…,0)T 。现在新的约束矩阵为 因为I是m*n的单位矩阵。所以我们就可用这个矩阵作基阵，松驰变量是基变量，立即得到一个初始基可行解，其目标函数值为0，而相应的初始单纯形表如表2.3.3所示。表中θ=o=(0,0,…,0)T, 从而可开始单纯形表上求解的过程。 表2.3.3 检验数基变量 -c θ o A I b 下面我们通过一个实例看单纯形表解线性规划问题的一般步骤 例2.3.1 用直接法求解（LP） max z=40x1+45x2+24x3 s.t. 2x1+3x2+x3≤100 3x1+3x2+2x3≤120 x1,x2,x3≥0解： 第一步 先将原问题化为标准形式 min -z=-40x1-45x2-24x3 s.t. 2x1+3x2+x3+x4=100 3x1+3x2+2x3+x5=120 x1,x2,x3,x4,x5≥0 第二步 列出初始单纯形表 x1 x2 x3 x4 x5 40 45 24 0 0 0 x4 2 3 1 1 0 100 x5 3 3 2 0 1 120 此时，基可行解(0,0,0,100,120)T为，目标函数值为0. 第三步 检查检验数 故λ=(40,45,24,0,0)≥0因此基可行解不是最优解，要进行基的转换。 线性规划检验数的定义和最优解的单纯形法检验准则： 检验数定义为若 基可行解对应的λ为检验数为非正向量，即则 此可行解为最优解。 当大于零的检验数不止一个，理论上可任选一个正检验数对应非基变量为进基变量，一般情况选取最大正值的检验数对应的非基变量为进基变量，这样迭代常常会快一些。为此，我们选x2进基，因为 因此，x4为离基变量，则新的基变量为x2，x5。 第四步 建立新的基相应的单纯形表 建立单纯形表的方法： 在计算过程中，只要将A中基变量对应的列组成的子矩阵 通过行变换化成单位阵，基变量对应的检验数化成零即可。 如何从原来的表转到新的基相应的单纯形表呢？只要把A中x2相应的列向量通过初等变换化成单位向量即可。因此在上表中只要把x2对应的列化成 我们称基变量x4所在行和非基变量x2所在列相交元素为变换轴心，用加＊表示，现在这数为3，将这行乘以（-1）加到第三行，乘以（-15）加到第一行，然后将这行行除以3，得一个新的单纯行表 x1 x2 x3 x4 x5 10 0 9 -15 0 -1500 x2 2/3 1 1/3 1/3 0 100/3 x5 1* 0 1 -1 1 20 这样我们作了一次转换，新的基可行解为(0,100/3,0,0,20),目标函数值为-1500。 现在再回到第三步。现在λ1=10,λ3=9均大于零，仍不是最优解，取x1进基； 因为： 所以，x5离基。 x1 x2 x3 x4 x5 0 0 -1 -5 -10 -1700 x2 0 1 -1/3 1 -2/3 20 x1 1 0 1 -1 1 20 现在所有检验数均小于等于零，这个基可行解（20，20，0，0，0）是最优解，原问题最优值1700.以后。 实际在表上作业时，求λk与xr的过程可不写，这些表可连在一起。 （二）单纯形法求解的基本步骤 首先我们需要对单纯形表作进一步的认识，注意到检验数： 可见，对应于基变量的λj=0(j=1,2,∧,m)，而且 再记 进而记 这样单纯形表2.3.1可呈现为表2.3.4的形式： 表2.3.4 x1 x2 … xm xm+1 … xn 检验数基变量 0 0 … 0 λm+1 … λn f0 x1 1 0 … 0 y1m+1 … y1n x2 0 1 … 0 y2m+1 … y2n … … … … … … … … … xm 0 0 … 1 ymm+1 … ymn 有了表2.3.4，单纯形表上解法的一般步骤为： 步一：把线性规划模型变成它的标准形式； 步二：确定初始基可行解，建立初始单纯形表； 步三：检查对应于非基变量的检验数λj,(j∈N)；若所有这些λj均小于零，则已得到最优解，停止计算，否则转入下一步； 步四：在所有的λj>0中，若有一个λk在单纯形表上对应的列向量的全部元素yik≤0(i=1,2,…,m)，则此问题无解，停止计算；否则转入下一步； 步五：根据max{λj>0|j∈N}=λk, 即确定λk对应的非基变量λk为进基变量；再根据 确定基变量xr为离基变量； 步六：基可行解的转换运算，即实施行变换，将单纯形表上xk对应的列向量变换为单位向量，其中包括将λk变换为0，而原yrk变换为1，称元素yrk为变换轴心。（三）两阶段法 对一般的线性规划，往往不会象用直接法求解形为Ax≤b的线性规划那样，能够很容易找到初始基可行解，甚至连有无可行基都难以判定，这时就需要应用两阶段法来求解线性规划。 二阶段法就是把解线性规划问题划分为两个阶段，第一阶段求出原问题的一个基可行解或判断原问题可行域为空；第二阶段在得到的基可行解基础上求解原问题。方法如下： 第一阶段 人为地在原约束矩阵中增加一些变量使得到单位矩阵，增加的变量称为人工变量，目标函数是人工变量之和。具体而言，对于原线性规划标准化后的Ax=b,(b≥0)的形式，若A中不包括单位矩阵，则我们在每个方程后面加一个“人工变量”得到一个新的线性规划（LP）如下： （当A中有一些单位向量时，人工变量可少于m个） 为书写方便我们记（LP0）为： 其中Em=(1,1,K,1),分量全为1的m元横向量， 这儿Im是可行基，又因为xa≥目标函数Emx有下界0，所以（LP0）一定有最优解。设最优解为： 则可能有三种情形： (1)若：在最优解x0的基变量中，不存在人工变量，即人工变量xn+1,xn+2,…,xn+m都是非基变量。则：x0的前n个分量(x10,x20,K,xn0)便是原线性规划问题的一个基可行解。可进入第二阶段。 (2)若：在最优解x0的基变量中，包括某些人工变量，并且最优值z>0。则：原线性规划可行域为空，原线性规划无解。 这是因为，否则可设原规划有可行解(x1*,x2*,…,xn*), 则(x1*,x2*,…,xn*,0,…,0)是（LP0的可行解，其目标函数值 为0，这与最优值大于零矛盾。 (3)若：在最优解x0的基变量中，包括某些人工变量，但最优值z=0，即，此时为基变量的人工变量都取值为0。则：设xn+1是一个人工变量的基变量，其在最优解的单纯形表中对应第S行，设J是非人工变量中非基变量的下标集。 ① 如果单纯形表的第S行中，所有的ysk=0,(k∈J)此示原约束Ax=b中第S行为其余行的线性组合，即是个多余的约束，应当删去； ② 如果存在ysk≠0 (k∈J), 则无论ysk是正还是负，以它为变换轴心，xk进基，xn+1离基.如果新表中的基变量中还有人工变量，重复以上步骤，有限次可得到（1）的情形。 第二阶段 步1：以第一阶段最优解对应的单纯形表为基础，删去人工变量对应的列，并且将原规划（已标准化）的-c作为检验数，放在第一行，然后用用行变换将基变量对应的检验数消为零。 步2：以步1结束时建立单纯形表为原线性规划的初始单纯形表，求解原线性规划。 [例2.3.2] 用二阶段法求解（LP）： min x1-2x2 s.t. x1+x2≥2 -x1+x2≥1 x2≤3 x1,x2≥0 解： 先标准化： min x1-2x2 s.t. x1+x2-x3=2 -x1+x2-x4=1 x2+x5=3 x1,x2,x3,x4,x5≥0 第一阶段： 因为A中 对应单位向量 ，故只要引进两个人工变量x6,x7即可 min x6+x7 s.t. x1+x2-x3+x6=2 -1+x2-x4+x7=1 x2+x5=3 x1,x2,K,x7≥0 在第一行放入检验数： 这等价于在第一行放-c，再用行变换使基变量的检验数为零。 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 0 0 0 0 0 -1 -1 0 x6 1 1 -1 0 0 1 0 2 x7 -1 1 0 -1 0 0 1 1 x5 0 1 0 0 1 0 0 3 0 2 -1 -1 0 0 0 3 x6 1 1 -1 0 0 1 0 2 x7 -1 1 0 -1 0 0 1 1 x5 0 1 0 0 1 0 0 3 2 0 -1 1 0 0 -2 1 x6 2* 0 -1 1 0 1 -1 1 x2 -1 1 0 -1 0 0 1 1 x5 1 0 0 1 1 0 -1 2 0 0 0 0 0 0 -1 0 x1 1 0 -1/2 -1/2 0 1/2 -1/2 1/2 x2 0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2 3/2 x5 0 0 1/2 1/2 1 -1/2 -1/2 3/2 得到第一阶段最优解，人工变量不是基变量，最优值为0，则去掉x6,x7所在两列就是原问题基可行解。 第二阶段 仍将-c放在第一行，用行变换将基变量对应的检验数消为零。 x1 x2 x3 x4 x5 -1 2 0 0 0 x1 1 0 -1/2 1/2 0 1/2 x2 0 1 -1/2 -1/2 0 3/2 x5 0 0 1/2 1/2 1 3/2 0 0 1/2 3/2 0 -5/2 x1 1 0 -1/2 1/2* 0 1/2 x2 0 1 -1/2 -1/2 0 3/2 x5 0 0 1/2 1/2 1 3/2 -3 0 2 0 0 -4 x4 2 0 -2 2 0 1 x2 1 1 -1 0 0 2 x5 -1 0 1* 0 1 1 -1 0 0 0 -2 -6 x4 0 0 0 2 2 2 x2 0 1 0 0 1 3 x3 -1 0 1 0 1 1 现在检验数全小于等于零，得到原问题最优解x*=(0,3,1,2,0)T最优值-6。 [例2.3.1.3] 用二阶段法求解（LP）： min -3x1+4x2 s.t. x1+x2≤4 2x1+3x2≥18 x1,x2≥0 标准化： min -3x1+4x2 s.t. x1+x2+x3=4 2x1+3x2-x4=18 x1,x2,x3,x4≥0 第一阶段： min x5 s.t. x1+x2+x3=4 2x1+3x2-x4+x5=18 x1,x2,x3,x4,x5≥0 为了少写一张表，也可在表最上方一行放 ，然后再用行变换使基变量的检验数为零。 0 0 0 0 -1 x1 x2 x3 x4 x5 2 +3 0 -1 0 18 x3 1 1* 1 1 0 4 x5 2 +3 0 -1 1 18 -1 0 -3 -1 0 6 x2 1 1 1 0 0 4 x5 -1 0 0 -1 1 16 已得到第一阶段最优解，但人工变量仍留在基里，并且最优值z=6>0故原问题可行域为空。原线性规划无解。

可以。因为最小比值规则是保证变换2113后5261的解仍旧是可行解的方法，依据此规4102则，决定入基变量能够取得的正的最小1653值，否则，入基变量取得其它正值（大于最小正值）都会导致出现负的变量值。确定换入基和换出基的变量之后，把所对应的那个数不是用括号圈上了，比方说换入基变量为x2，换出基变量为x5，假设所对应的那个被圈上的数是5，为了进一步形成新的单纯形表，一开始的单纯形表里，5所在的那行要全乘5分之1(包括那行的b)。性质1等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立。若a=b那么a+c=b+c性质2等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。若a=b那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c （c≠0）

单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代.按照上面说的，如果基本可行解不存在，问题无解了而且初始解就是“初始可行解”当然不可能是非可行解

先化成标准型：max W=-x1-x2-x3-x4x1+x4-x5=15x1+x2-x6=12x2+x3-x7=18x3+x4-x8=10x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8>=0列出单纯形表：x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 RHS-1 -1 -1 -1 0 0 0 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 151 1 0 0 0 -1 0 0 120 1 1 0 0 0 -1 0 180 0 1 1 0 0 0 -1 10接下来就是将检验数（W等式右侧的系数）这一行下面的矩阵化到含有单位矩阵的形式,即含有1,0每次化的时候要注意,化成1,0的那一列上面对应的检验数一定要通过矩阵的初等变换将该数化为零.直到所有的检验数都小于零,这时候检验数这一行所对应的RHS就是最优值.含有1,0的那一列1所对应的RHS为该x的解,其余的用零来填满.

一般来说没有可行解的情况是不存在的，因为一般情况下Xi给定都是大于0的，几个约束条件之间如果没有明显的系数都大，约束右端的数值却比较小的这种情况，那么就一定是有解的。你说的这种大概是多次迭代，可行基又返回到初始可行基的情况，这种属于循环，可以用bland方法，摄动法，和辞典序法来消除循环的影响。 06.30修改你说的那种情况还是循环的啊，把b变了，朗姆达又不符合了，变完了检验数，b又不符合了。这时候你试着用对偶做一下，如果依然循环（这种情况非常非常的少，至少我在题里没有见过），那就试试我说的那个方法吧，不过好像都是用计算机来进行运算的，很少有教材详细涉及了。

如果b为负数就要用到对偶单纯形法了。 但单纯形法迭代计算过程中b不可能为负数。一旦出现要么计算错误，要么在某一步你的主元选错了，也就是离开基的变量满足b/aij最小才行( b/aij>=0，等于0时为退化解)。 如果无解，则不存在可选取的主元，即在某一步存在负检验数(标准型为最小目标值类型，如果为最大型就是正检验数)对应的全部aij＜＝0。

线性规划线性规划是运筹学中5研究较早、发展较快、应用广p泛、方7法较成熟的一b个s重要分0支s,它是辅助人p们进行科学管理的一s种数学方8法。在经济管理、交通运输、工v农业生产等经济活动中8，提高经济效果是人o们不w可缺少2的要求，而提高经济效果一b般通过两种途径：一w是技术方2面的改进，例如改善生产工t艺o，使用新设备和新型原材料。二n是生产组织与z计3划的改进，即合理安排人i力z物力v资源。线性规划所研究的是：在一j定条件下a，合理安排人w力v物力i等资源，使经济效果达到最好。单纯形法求解线性规划问题的通用方7法。单纯形是美国数学家G。B。丹1齐克于y7110年首先提出来的。它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中1的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为2基本可行解。单纯形法的基本思想是：先找出一g个a基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不x是，则按照一d定法则转换到另一m改进的基本可行解,再鉴别；若仍1不i是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个t数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无j最优解也g可用此法判别。单纯形法的一g般解题步骤可归纳如下c：①把线性规划问题的约束方2程组表达成典范型方5程组，找出基本可行解作为2初始基本可行解。②若基本可行解不g存在，即约束条件有矛盾，则问题无a解。③若基本可行解存在，从7初始基本可行解作为8起点，根据最优性条件和可行性条件，引3入h非基变量取代某一m基变量，找出目标函数值更优的另一j基本可行解。④按步骤8进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不y能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中2发现问题的目标函数值无t界，则终止3迭代。用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于p约束条件的个o数。现在一l般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计8算机上p求解，对于t具有404个e决策变量和803个p约束条件的线性规划问题已d能在计2算机上v解得。改进单纯形法原单纯形法不z是很经济的算法。8428年美国数学家G。B。丹2齐克为8了p改进单纯形法每次迭代中5积累起来的进位误差，提出改进单纯形法。其基本步骤和单纯形法大s致相同，主要区u别是在逐次迭代中7不h再以3高斯消去法为0基础，而是由旧基阵的逆去直接计6算新基阵的逆，再由此确定检验数。这样做可以0减少4迭代中6的累积误差，提高计7算精度，同时也n减少8了a在计8算机上u的存储量。对偶单纯形法2560年美国数学家C。莱姆基提出对偶单纯形法。单纯形法是从2原始问题的一a个v可行解通过迭代转到另一u个d可行解，直到检验数满足最优性条件为3止6。对偶单纯形法则是从3满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中4始终保持基解的对偶可行性，而使不z可行性逐步消失。设原始问题为0min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题为0max{yb|yA≤c}。当原始问题的一p个b基解满足最优性条件时,其检验数cBB-4A-c≤0。即知y＝cBB-1（称为6单纯形算子j）为0对偶问题的可行解。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。因此在保持对偶可行性的前提下j，一y当基解成为0可行解时，便也r就是最优解。数学优化2中5，由GeorgeDantzig发明的单纯形法是线性规划问题的数值求解的流行技术。有一e个n算法与v此无t关，但名称类似，它是Nelder-Mead法或称下s山w单纯形法，由Nelder和Mead发现（0150年），这是用于k优化4多维无f约束问题的一g种数值方4法，属于p更一i般的搜索算法的类别。这二i者都使用了f单纯形的概念，它是N维中6的N+0个n顶点的凸包，是一g个m多胞体：直线上s的一r个l线段，平面上a的一n个e三n角形，三a维空间中6的一o个r四面体，等等。s↓k冤ㄅs↓q┷h胎dǐフnitz觥

利用对偶单纯形法计算时，如何判断文原题有对姐又或者无痕科技啊？不是啊，我的数学不是太好啊，挺好的回答你。

不懂

让B的逆阵乘以（0+△b1,50,50）T的积大于等于零就行了，从而解出b1的范围

又有改进单纯形法、对偶单纯形法、原始对偶方法、分解算法和各种多项式时间算法。对于只有两个变量的简单的线性规划若pj&lt;=0不成立 则pj至少存在一个分量ai，j为正。在规划问题的约束条件()的两边乘以矩阵t。t= 则变换后，由上式得xb = b- b-b- n xn，也代入目标函数，问题可以继续化为：规划问题：min z=cb b- b+(cn-cb b-

目标函数,受约束条件,自变量的选取.最小比值原则是为了保证趋向最优解的速度最快,在单纯形表中有看到!

我今天也遇到了这个问题，我的想法是：如果检验数全小于0，则改用对偶单纯形法 ，如果检验数存在＞0的情况，把b为负的那一行乘负一，然后继续使用单纯形法迭代。

建立单纯形表 x x1 x2 x3 x4 bc -1 -1 0 0 0c" -1 -1 0 0 0x3 -2 -1 1 0 -4x4 -1 [-7] 0 1 -7σ 1 1 0 0 0x3 [-13/7] 0 1 -1/7 -3x2 1/7 1 0 -1/7 1σ 6/7 0 0 -1/7 -1x1 1 0 -7/13 1/13 21/13x2 0 1 1/13 -2/13 10/13σ 0 0 6/13 19/91 -31/13最优解值z=31/13 最优解（21/13 10/13) 哈哈 是 同学吧。。。306教室

使用对偶单纯形法，在计算过程中每一步都保证了检验系数一定大于零。所以不需要再使用单纯形法计算。

单纯形法是求解线性规划问题最常用、最有效的算法之一。单纯形法最早由 George Dantzig于1947年提出，近70年来，虽有许多变形体已经开发，但却保持着同样的基本观念。如果线性规划问题的最优解存在，则一定可以在其可行区域的顶点中找到。基于此，单纯形法的基本思路是：先找出可行域的一个顶点，据一定规则判断其是否最优；若否，则转换到与之相邻的另一顶点，并使目标函数值更优；如此下去，直到找到某最优解为止

在目标函数中用非基变量代替基变量，所得系数即是检验数。在目标规划中，p1p2p3不是具体算出来的值，而是按照原先的方法在草纸上写出计算校验数的式子，系数有p1p2p3就带着，整理会得到一个关于p1p2p3的式子，那一列填的就是这个式子中p1p2p3的系数，就这样一列一列就可以填好。单纯形法具体步骤为从线性方程组找出一个个的单纯形，每一个单纯形可以求得一组解，然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小了，决定下一步选择的单纯形。通过优化迭代，直到目标函数实现最大或最小值。扩展资料：目标规划中其他的单纯形法：1、对偶单纯形法。1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法(Dual Simplex Method)。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。2、下山单纯形法。数学优化中，由George Dantzig发明的单纯形法是线性规划问题的数值求解的流行技术。有一个算法与此无关，但名称类似，它是Nelder-Mead法或称下山单纯形法，由Nelder和Mead发现，这是用于优化多维无约束问题的一种数值方法，属于更一般的搜索算法的类别。3、改进单纯形法。其基本步骤和单纯形法大致相同，主要区别是在逐次迭代中不再以高斯消去法为基础，而是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆，再由此确定检验数。参考资料来源：百度百科-单纯形法

在目标函数中用非基变量代替基变量，所得系数即是检验数。在目标规划中，p1p2p3不是具体算出来的值，而是按照原先的方法在草纸上写出计算校验数的式子，系数有p1p2p3就带着，整理会得到一个关于p1p2p3的式子，那一列填的就是这个式子中p1p2p3的系数，就这样一列一列就可以填好。单纯形法具体步骤为从线性方程组找出一个个的单纯形，每一个单纯形可以求得一组解，然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小了，决定下一步选择的单纯形。通过优化迭代，直到目标函数实现最大或最小值。扩展资料：目标规划中其他的单纯形法：1、对偶单纯形法。1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法(Dual Simplex Method)。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。2、下山单纯形法。数学优化中，由George Dantzig发明的单纯形法是线性规划问题的数值求解的流行技术。有一个算法与此无关，但名称类似，它是Nelder-Mead法或称下山单纯形法，由Nelder和Mead发现，这是用于优化多维无约束问题的一种数值方法，属于更一般的搜索算法的类别。3、改进单纯形法。其基本步骤和单纯形法大致相同，主要区别是在逐次迭代中不再以高斯消去法为基础，而是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆，再由此确定检验数。参考资料来源：百度百科-单纯形法

线性规划线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好. 单纯形法求解线性规划问题的通用方法。单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。 用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解，对于具有106个决策变量和104个约束条件的线性规划问题已能在计算机上解得。 改进单纯形法 原单纯形法不是很经济的算法。1953年美国数学家G.B.丹齐克为了改进单纯形法每次迭代中积累起来的进位误差，提出改进单纯形法。其基本步骤和单纯形法大致相同，主要区别是在逐次迭代中不再以高斯消去法为基础，而是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆，再由此确定检验数。这样做可以减少迭代中的累积误差，提高计算精度，同时也减少了在计算机上的存储量。 对偶单纯形法 1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题为 max{yb|yA≤c}。当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c≤0。即知y＝cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。 数学优化中，由George Dantzig发明的单纯形法是线性规划问题的数值求解的流行技术。有一个算法与此无关，但名称类似，它是Nelder-Mead法或称下山单纯形法，由Nelder和Mead发现（1965年），这是用于优化多维无约束问题的一种数值方法，属于更一般的搜索算法的类别。 这二者都使用了单纯形的概念，它是N维中的N + 1个顶点的凸包，是一个多胞体：直线上的一个线段，平面上的一个三角形，三维空间中的一个四面体，等等。

其实就是和单纯形法一样的算法，cj-zj=cj-cb*xi

单纯形法simplex method求解线性规划问题的通用方法.单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的.它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集,其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到.顶点所对应的可行解称为基本可行解.单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解,对它进行鉴别,看是否是最优解；若不是,则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是,则再转换,按此重复进行.因基本可行解的个数有限,故经有限次转换必能得出问题的最优解.如果问题无最优解也可用此法判别.根据单纯形法的原理,在线性规划问题中,决策变量（控制变量）x1,x2,…xn的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解.使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解.这样,一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）.求解线性规划问题的目的就是要找出最优解.最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解,这只在两种情况下发生,即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）.单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组,找出基本可行解作为初始基本可行解.②若基本可行解不存在,即约束条件有矛盾,则问题无解.③若基本可行解存在,从初始基本可行解作为起点,根据最优性条件和可行性条件,引入非基变量取代某一基变量,找出目标函数值更优的另一基本可行解.④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善）,即得到问题的最优解.⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界,则终止迭代.用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数.现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解,对于具有106个决策变量和104个约束条件的线性规划问题已能在计算机上解得.改进单纯形法原单纯形法不是很经济的算法.1953年美国数学家G.B.丹齐克为了改进单纯形法每次迭代中积累起来的进位误差,提出改进单纯形法.其基本步骤和单纯形法大致相同,主要区别是在逐次迭代中不再以高斯消去法为基础,而是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆,再由此确定检验数.这样做可以减少迭代中的累积误差,提高计算精度,同时也减少了在计算机上的存储量.对偶单纯形法1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法.单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解,直到检验数满足最优性条件为止.对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解.在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性,而使不可行性逐步消失.设原始问题为min{cx|Ax=b,x≥0},则其对偶问题为max{yb|yA≤c}.当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c≤0.即知y＝cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解.所谓满足对偶可行性,即指其检验数满足最优性条件.因此在保持对偶可行性的前提下,一当基解成为可行解时,便也就是最优解.数学优化中,由GeorgeDantzig发明的单纯形法是线性规划问题的数值求解的流行技术.有一个算法与此无关,但名称类似,它是Nelder-Mead法或称下山单纯形法,由Nelder和Mead发现（1965年）,这是用于优化多维无约束问题的一种数值方法,属于更一般的搜索算法的类别.这二者都使用了单纯形的概念,它是N维中的N + 1个顶点的凸包,是一个多胞体：直线上的一个线段,平面上的一个三角形,三维空间中的一个四面体,等等.

对偶单纯形法比值失效说明原问题具有无界解 A.正确 B.错误 正确答案：B

下列关于单纯形法和对偶单纯形法，说法正确的是（） A.单纯形法是先确定换出变量，再确定换入变量B.对偶单纯形法是先确定换出变量，再确定换入变量C.对偶单纯形法在确定换出变量时，选择b列最大值对应的变量D.当约束多于变量时，用对偶单纯形法可减少迭代次数正确答案：对偶单纯形法是先确定换出变量，再确定换入变量

只要保持检验数满足最优性条件前提下，一旦基解成为可行解时，对偶问题和原问题均可行，由强对偶性证明，二者均有最优解。

因为是添加了变量才变成等式的，同乘-1是为了方便找到单位阵，免得通过添加人工变量来找单位阵

在目标函数中用非基变量代替基变量，所得系数即是检验数。在目标规划中，p1p2p3不是具体算出来的值，而是按照原先的方法在草纸上写出计算校验数的式子，系数有p1p2p3就带着，整理会得到一个关于p1p2p3的式子，那一列填的就是这个式子中p1p2p3的系数，就这样一列一列就可以填好。单纯形法具体步骤为从线性方程组找出一个个的单纯形，每一个单纯形可以求得一组解，然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小了，决定下一步选择的单纯形。通过优化迭代，直到目标函数实现最大或最小值。扩展资料：目标规划中其他的单纯形法：1、对偶单纯形法。1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法(Dual Simplex Method)。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。2、下山单纯形法。数学优化中，由George Dantzig发明的单纯形法是线性规划问题的数值求解的流行技术。有一个算法与此无关，但名称类似，它是Nelder-Mead法或称下山单纯形法，由Nelder和Mead发现，这是用于优化多维无约束问题的一种数值方法，属于更一般的搜索算法的类别。3、改进单纯形法。其基本步骤和单纯形法大致相同，主要区别是在逐次迭代中不再以高斯消去法为基础，而是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆，再由此确定检验数。参考资料来源：百度百科-单纯形法

出基bai变量是运筹学中单纯形法的一个概念。是通过计算最小比值找出随着入基变量的增加首先减少到0的基变量。这个基变量变为0意味着下一个可行解中它就变成了非基变量。因此，这个变量被称为专当前迭代的出基变量。所以出基变量是通属过最小比值法确定的。基变量是运筹学中的一个术语。在线性规划问题约束条件方程组中,系数矩阵中的基向量对应的变量称为基变量。非基变量是运筹学中的一个术语。它的定义是线性规划中除基变量以外的变量称为非基变量。扩展资料：（1）变量名必须以字母或下划线打头，名字中间只能由字母、数字和下划线“_”组成；最后一个字符可以是类型说明符；（2）变量名的长度不得超过255个字符；（3）变量名在有效的范围内必须是唯一的。有效的范围就是引用变量可以被程序识别、使用的作用范围——例如一个过程、一个窗体等等。有关引用变量作用范围的内容，将在以后介绍。（4）变量名不能是VB中的保留字（关键字），也不能是末尾带类型说明符的保留字，但可以把保留字嵌入变量名，　关键字是指VB6语言中的属性、事件、方法、过程、函数等系统内部的标识符。如已经定义的词（if、endif、while、loop等）、函数名(len、format、msgbox等)。像Print、Print$是非法的，而Myprint是合法的。　例如：　strName1，intMax_Length，intLesson，strNo3等是合法的变量名,而A&B，all right，3M,_Number等是非法的变量名。

我写的绝对是正确的，如果有不懂的地方可以继续问我哦。望采纳第一张第二张

单纯形法 　　simplex method 　　求解线性规划问题的通用方法。单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。　　根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）x1，x2，…x n的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。这样，一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。 　　最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在两种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。　　单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。 　　用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解，对于具有106个决策变量和104个约束条件的线性规划问题已能在计算机上解得。 　　改进单纯形法 　　原单纯形法不是很经济的算法。1953年美国数学家G.B.丹齐克为了改进单纯形法每次迭代中积累起来的进位误差，提出改进单纯形法。其基本步骤和单纯形法大致相同，主要区别是在逐次迭代中不再以高斯消去法为基础，而是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆，再由此确定检验数。这样做可以减少迭代中的累积误差，提高计算精度，同时也减少了在计算机上的存储量。 　　对偶单纯形法 　　1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题为 max{yb|yA≤c}。当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c≤0。即知y＝cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。 　　数学优化中，由George Dantzig发明的单纯形法是线性规划问题的数值求解的流行技术。有一个算法与此无关，但名称类似，它是Nelder-Mead法或称下山单纯形法，由Nelder和Mead发现（1965年），这是用于优化多维无约束问题的一种数值方法，属于更一般的搜索算法的类别。 　　这二者都使用了单纯形的概念，它是N维中的N + 1个顶点的凸包，是一个多胞体：直线上的一个线段，平面上的一个三角形，三维空间中的一个四面体，等等。

始终保持对偶问题的解的可行性，并不断改善原问题解的可行性，直至满足原问题。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。只要保持检验数满足最优性条件前提下，一旦基解成为可行解时，对偶问题和原问题均可行，由强对偶性证明，二者均有最优解。对偶单纯形法的优点：1、不需要人工变量；2、当变量多于约束时，用对偶单纯形法可减少迭代次数；3、在灵敏度分析中，有时需要用对偶单纯形法处理简化。扩展资料为了用选代法求出线性规划的最优解，需要解决以下三个问题；1、最优解判别准则，即迭代终止的判别标准；2、换基运算，即从一个基可行解迭代出另一个基可行解的方法；3、进基列的选择，即选择合适的列以进行换基运算，可以使目标函数值有较大下降。参考资料来源：百度百科——单纯形法参考资料来源：百度百科——对偶单纯形法

在目标函数中用非基变量代替基变量，所得系数即是检验数。在目标规划中，p1p2p3不是具体算出来的值，而是按照原先的方法在草纸上写出计算校验数的式子，系数有p1p2p3就带着，整理会得到一个关于p1p2p3的式子，那一列填的就是这个式子中p1p2p3的系数，就这样一列一列就可以填好。单纯形法具体步骤为从线性方程组找出一个个的单纯形，每一个单纯形可以求得一组解，然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小了，决定下一步选择的单纯形。通过优化迭代，直到目标函数实现最大或最小值。扩展资料：目标规划中其他的单纯形法：1、对偶单纯形法。1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法(Dual Simplex Method)。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。2、下山单纯形法。数学优化中，由George Dantzig发明的单纯形法是线性规划问题的数值求解的流行技术。有一个算法与此无关，但名称类似，它是Nelder-Mead法或称下山单纯形法，由Nelder和Mead发现，这是用于优化多维无约束问题的一种数值方法，属于更一般的搜索算法的类别。3、改进单纯形法。其基本步骤和单纯形法大致相同，主要区别是在逐次迭代中不再以高斯消去法为基础，而是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆，再由此确定检验数。参考资料来源：百度百科-单纯形法

对偶单纯形法 　1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题为 max{yb|yA≤c}。当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c≤0。即知y＝cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。

对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种方法。 A.正确 B.错误 正确答案：B

化为对偶型:(1)max f=6y1+3y2+2y3 -3y1-y2-2y3<=-1 -4y1-3y2-y3<=-2 y1,y2,y3<=0(2)max f=8y1+y2 5y1+y2>=2 10y1+y2>=1 -y3>=0 y4>=0 y1,y2无约束。我就不算了，太烦，懒得算。

始终保持对偶问题的解的可行性，并不断改善原问题解的可行性，直至满足原问题。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。只要保持检验数满足最优性条件前提下，一旦基解成为可行解时，对偶问题和原问题均可行，由强对偶性证明，二者均有最优解。对偶单纯形法的优点：1、不需要人工变量；2、当变量多于约束时，用对偶单纯形法可减少迭代次数；3、在灵敏度分析中，有时需要用对偶单纯形法处理简化。扩展资料为了用选代法求出线性规划的最优解，需要解决以下三个问题；1、最优解判别准则，即迭代终止的判别标准；2、换基运算，即从一个基可行解迭代出另一个基可行解的方法；3、进基列的选择，即选择合适的列以进行换基运算，可以使目标函数值有较大下降。参考资料来源：百度百科——单纯形法参考资料来源：百度百科——对偶单纯形法

单纯形法 　　simplex method 　　求解线性规划问题的通用方法。单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。　　根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）x1，x2，…x n的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。这样，一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。 　　最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在两种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。　　单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。 　　用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解，对于具有106个决策变量和104个约束条件的线性规划问题已能在计算机上解得。 　　改进单纯形法 　　原单纯形法不是很经济的算法。1953年美国数学家G.B.丹齐克为了改进单纯形法每次迭代中积累起来的进位误差，提出改进单纯形法。其基本步骤和单纯形法大致相同，主要区别是在逐次迭代中不再以高斯消去法为基础，而是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆，再由此确定检验数。这样做可以减少迭代中的累积误差，提高计算精度，同时也减少了在计算机上的存储量。 　　对偶单纯形法 　　1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题为 max{yb|yA≤c}。当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c≤0。即知y＝cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。 　　数学优化中，由George Dantzig发明的单纯形法是线性规划问题的数值求解的流行技术。有一个算法与此无关，但名称类似，它是Nelder-Mead法或称下山单纯形法，由Nelder和Mead发现（1965年），这是用于优化多维无约束问题的一种数值方法，属于更一般的搜索算法的类别。 　　这二者都使用了单纯形的概念，它是N维中的N + 1个顶点的凸包，是一个多胞体：直线上的一个线段，平面上的一个三角形，三维空间中的一个四面体，等等。

单纯形法是是保证b>=0，通过转轴，使得检验数r>=0来求得最优解，而使用对偶单纯形法的前提是r<=0，通过转轴，使得达到b>=0。再看看别人怎么说的。

在目标函数中用非基变量代替基变量，所得系数即是检验数。在目标规划中，p1p2p3不是具体算出来的值，而是按照原先的方法在草纸上写出计算校验数的式子，系数有p1p2p3就带着，整理会得到一个关于p1p2p3的式子，那一列填的就是这个式子中p1p2p3的系数，就这样一列一列就可以填好。单纯形法具体步骤为从线性方程组找出一个个的单纯形，每一个单纯形可以求得一组解，然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小了，决定下一步选择的单纯形。通过优化迭代，直到目标函数实现最大或最小值。扩展资料：目标规划中其他的单纯形法：1、对偶单纯形法。1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法(Dual Simplex Method)。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。2、下山单纯形法。数学优化中，由George Dantzig发明的单纯形法是线性规划问题的数值求解的流行技术。有一个算法与此无关，但名称类似，它是Nelder-Mead法或称下山单纯形法，由Nelder和Mead发现，这是用于优化多维无约束问题的一种数值方法，属于更一般的搜索算法的类别。3、改进单纯形法。其基本步骤和单纯形法大致相同，主要区别是在逐次迭代中不再以高斯消去法为基础，而是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆，再由此确定检验数。参考资料来源：百度百科-单纯形法

两个常数项，所以两个最优解。对偶单纯形法对偶单纯形法是指从对偶可行性逐步搜索出原始问题最优解的方法。由线性规划问题的对偶理论，原始问题的检验数对应于对偶问题的一组基本可行解或最优解；原始问题的一组基本可行解或最优解对应于对偶问题的检验数；原始问题约束方程的系数矩阵的转置是对偶问题约束条件方程的系数矩阵。所以，在求解常数项小于零的线性规划问题时，可以把原始问题的常数项视为对偶问题的检验数，原始问题的检验数视为对偶问题的常数项。[1]

1、对偶单纯形法检验数大于0就找到检验数大于0的，且最大的。2、单纯形法在整个迭代过程中，始终保持原问题的可行性，即常数列大于等于0。3、对偶单纯形法则是在整个迭代过程中，始终保持对偶问题的可行性，即全部检验数大于等于0。

对偶单纯形法 　1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题为 max{yb|yA≤c}。当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c≤0。即知y＝cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。

1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题为 max{yb|yA≤c}。当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c≤0。即知y＝cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。

对偶单纯形法 　1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题为 max{yb|yA≤c}。当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c≤0。即知y＝cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。

（Dual Simplex Method）1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题（Dual Problem）为 max{yb|yA≤c}。当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c≤0。即知y=cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。

始终保持对偶问题的解的可行性，并不断改善原问题解的可行性，直至满足原问题。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。只要保持检验数满足最优性条件前提下，一旦基解成为可行解时，对偶问题和原问题均可行，由强对偶性证明，二者均有最优解。对偶单纯形法的优点：1、不需要人工变量；2、当变量多于约束时，用对偶单纯形法可减少迭代次数；3、在灵敏度分析中，有时需要用对偶单纯形法处理简化。扩展资料为了用选代法求出线性规划的最优解，需要解决以下三个问题；1、最优解判别准则，即迭代终止的判别标准；2、换基运算，即从一个基可行解迭代出另一个基可行解的方法；3、进基列的选择，即选择合适的列以进行换基运算，可以使目标函数值有较大下降。参考资料来源：百度百科——单纯形法参考资料来源：百度百科——对偶单纯形法

始终保持对偶问题的解的可行性，并不断改善原问题解的可行性，直至满足原问题。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。只要保持检验数满足最优性条件前提下，一旦基解成为可行解时，对偶问题和原问题均可行，由强对偶性证明，二者均有最优解。对偶单纯形法的优点：1、不需要人工变量；2、当变量多于约束时，用对偶单纯形法可减少迭代次数；3、在灵敏度分析中，有时需要用对偶单纯形法处理简化。扩展资料为了用选代法求出线性规划的最优解，需要解决以下三个问题；1、最优解判别准则，即迭代终止的判别标准；2、换基运算，即从一个基可行解迭代出另一个基可行解的方法；3、进基列的选择，即选择合适的列以进行换基运算，可以使目标函数值有较大下降。参考资料来源：百度百科——单纯形法参考资料来源：百度百科——对偶单纯形法

单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范性方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。基本信息：单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题（Dual Problem）为max{yb|yA≤c}。当原始问题的一个基解满足最优性条件时，其检验数cBB-1A-c≤0。即知y=cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。

始终保持对偶问题的解的可行性，并不断改善原问题解的可行性，直至满足原问题。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。只要保持检验数满足最优性条件前提下，一旦基解成为可行解时，对偶问题和原问题均可行，由强对偶性证明，二者均有最优解。对偶单纯形法的优点：1、不需要人工变量；2、当变量多于约束时，用对偶单纯形法可减少迭代次数；3、在灵敏度分析中，有时需要用对偶单纯形法处理简化。扩展资料为了用选代法求出线性规划的最优解，需要解决以下三个问题；1、最优解判别准则，即迭代终止的判别标准；2、换基运算，即从一个基可行解迭代出另一个基可行解的方法；3、进基列的选择，即选择合适的列以进行换基运算，可以使目标函数值有较大下降。参考资料来源：百度百科——单纯形法参考资料来源：百度百科——对偶单纯形法

我们老师说这种情况选系数小的作为换入变量

对偶单纯形法出基入基时定主元素所在的列选择得到主元素是该列里比较

因为添加割平面后，b列出现负值，而单纯性法的迭代中是要求b向量非负的，因此不能继续用单纯性法求解。庆幸的是当前的单纯性表中，其对偶问题的解是可行，因此可以用对偶单纯形法接着求解。

也即把前2个约束条件改写成等式：2x+2y+z=20x+3y+u=15然后列出初始单纯形表迭代更换基变量，直到得到最优解比如第二个约束可知：x1≥4，从第三个约束可知x2≥3所以x1+x2≥7和第一个约束矛盾。无决策条件无真相--若都≥0则结果为(最后一行你写错)max(-z)=-2x1-x2+5x3+x43x1+x4+x5=25x1+x2+x3+x4=204x1+6x3-x6=5扩展资料：几何上，线性约束条件的集合相当于一个凸包或凸集，叫做可行域。因为目标函数亦是线性的，所以其极值点会自动成为最值点。线性目标函数亦暗示其最优解只会在其可行域的边界点中出现。除了以上两种病态的情况以外（问题通常都会受到资源的限制，如上面的例子），最优解永远都能够在多面体的顶点中取得。但最优解未必只有一个：有可能出现一组最优解，覆盖多面体的一条边、一个面、甚至是整个多面体（最后一种情况会在目标函数只能等于0的情况下出现）。参考资料来源：百度百科-线性规划问题

应该是负数

非基变量检验数为0时让那个非基变量入基，然后按普通单纯形法解。

能。对偶单纯形法和大m法是吉林大学软件学院《最优化算法》书本里的内容，两者同属于人工变量法，是能同时使用的。对偶单纯形法是指从对偶可行性逐步搜索出原始问题最优解的方法。

对偶单纯形法检验数大于0时可以将所有松弛变量和剩余变量都用Xj表示，然后取下标j最小的作为出（入）基变量。

不改变对偶问题的可行性。在对偶单纯形法中，当求解进基变量是采用最小比值定理，是为了不改变对偶问题的可行性，目的是保证趋向最优解的速度最快。对偶单纯形法是一种用于优化问题求解的数学方法，它适用于线性规划问题的求解，特别是在约束条件较多的情况下使用。

您给的线性规划问题好像没有可行解哦。比如第二个约束可知：x1≥4，从第三个约束可知x2≥3所以x1+x2≥7和你的第一个约束矛盾。。。对偶问题在图片里。。。。无决策条件无真相--若都≥0则结果为（最后一行你写错）max(-z)=-2x1 -x2 +5x3+x43x1 +x4 +x5=25x1 +x2 +x3 +x4=204x1 +6x3 -x6=5