一致连续

一致连续和连续的区别是：1、一致连续若定义在实数区间A（注意区间A可以是闭区间，亦可以是开区间甚至是无穷区间）上的任意函数f(x)，对于任意给定的正数ε>0。总存在一个与x无关的实数ζ>0，使得当区间A上的任意两点x1，x2，满足|x1-x2|<ζ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f(x)在区间A上是一致连续的。2、连续假设f:X->Y是一个拓扑空间之间的映射，如果f满足下面条件，就称f是连续的：对任何Y上的开集U, U在f下的原像f^(-1)(U)必是X上的开集。若只考虑实变函数，那么要是对于一定区间上的任意一点，函数本身有定义，且其左极限与右极限均存在且相等，则称函数在这一区间上是连续的。分为左连续和右连续。在区间每一点都连续的函数，叫做函数在该区间的连续函数。

有界闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必在[a,b]上一致连续开区间和无限区间(a,b)上的一致连续性定理若f(x)在(a,b)上连续，并且都存在，则f(x)在(a,b)上一致连续。当然对于无限区间上的函数，即使不存在，f(x)也可能是一致连续的，比如y=x。 若f(x)在区间上(a,b)（可以是闭区间，开区间，或者无限区间）上连续，且其一阶导数有界，即存在M>0，使得，则f(x)在区间(a,b)上一致连续。由此很容易判定y=x+sin x在上一致连续，在上非一致连续性。

如果函数f(x)在I上一致连续，自然在I上也是连续的；证明如下：设函数f(x)在I上一致连续，那么对于I上任意一点t，即t∈I。f(x)是一致连续的，对任取的e>0，存在d>0，当I上任意两点a和b满足|a-b|<d，有 |f(a)-f(b)|<e。对I上的点x和y，当满足 |x-t|<d/2 且 |y-t|<d/2，那么 |x-y|<d/2+d/2=d。有 |f(x)-f(t)|=|f(x)-f(y)+f(y)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)| 。由于f一致连续，|x-y|<d，|y-t|<d/2<d，那么：|f(x)-f(y)|<e，|f(y)-f(t)|<e 。则 |f(x)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|<2e。也就是对任取的e>0，存在d"=d/2，当|x-t|<d"，有 |f(x)-f(t)|<2e。即f(x)在点t连续；由于点t是在I上任意选取一点，f(x)在I上连续。所以一致连续函数一定连续。相关内容解释：函数在数学上的定义：给定一个非空的数集A，对A施加对应法则f，记作f（A），得到另一数集B，也就是B=f（A），那么这个关系式就叫函数关系式，简称函数。简单来讲，对于两个变量x和y，如果每给定x的一个值，y都有唯一一个确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数。其中，x叫做自变量，y叫做因变量。

函数一致连续性的判别方法如下：若f(x)在区间上(a,b)（可以是闭区间，开区间，或者无限区间）上连续，且其一阶导数有界，即存在M>0，使得|f"(x)|<=M，则f(x)在区间(a,b)上一致连续。f(x)=e^x，在(0,+∞)上，f‘(x)=e^x显然是无界的，所以e^x在(0,+∞)是非一致连续的。但是在闭区间上它是一致连续的。所以一致连续的判断还要看它所取区间。用一致连续的定义当然能解决所有函数一致连续性的判定，但是用定义证明往往需要很高的技巧，而且在本身不知道是否一致连续时，就更加困难了。因此在判定是否一致连续时，使用相关的定理会使问题变得简单的多。首先闭区间上连续的函数一定一致连续，这自不必说。对于有限开区间，也有很好的定理，由于是充要条件，所以这个定理完全解决了有限开区间上一致连续的判断问题。所以判断一致连续的困难就在于无限开区间，它也有相关的定理。注意第一条不是一致连续的必要条件，例如y=x在x趋于无穷时无有限极限，甚至无界，但也是一致连续的，另外有界也不能保证一致连续，例如y=sinx^2。用这三个定理可以很方便的解决绝大多数函数一致连续的判定问题。

连续是考察函数在一个点的性质。而一致连续是考察函数在一个区间的性质。所以一致连续比连续的条件要严格，在区间上一致连续的函数则一定连续，但连续的函数不一定一致连续。通俗地讲，函数在区间上是一致连续的，说明这个函数在这个区间上，任意接近的两个自变量的函数也是任意接近的。从图形上看，就是不会产生陡然上升或下降的情况。（当然这样描述起来，至于他的“陡然”程度是模糊的）例子: 函数x^2在区间[0，无穷大）上不一致连续。分析：可以取区间中两个数s=nt=n+1/2n此时，t-s=1/2n<1/n，他们是可以曲线接近的那么考虑t^2-s^2t^2-s^2=(t-s)(t+s)=(1/2n)[2n+(1/2n)]>1这就是说它们的函数值不能无限接近。根据一致连续的定义可知x^2在区间[0，无穷大）上不一致连续。

首先根据一致连续的定义，知道不一致连续的定义： 设函数f(x)在区间I有定义，若对任意δ>0，存在ε>0,使得对任意x1,x2∈I，只要|x1-x2|<δ，就有|f(x1)-f(x2)|>ε，则称f(x)在区间I上一致连续。 对应到这道题来说，就是找两个点列xn"和xn""，在n->∞时，满足|xn"-xn""|<δ（δ任意小），有|f(xn")-f(xn"")|>ε(ε是某一常数)。 剩下的就是构造点列了。 令xn"=2nπ，xn""=2nπ+1/n， 此时|xn"-xn""|=1/n->0 （n->∞） 而|f(xn")-f(xn"")|=(8nπ^3)/(1+4π^2)>8nπ/5 (n->∞) (中间过程略一下，都是演算，不过中间还是要用洛必达法则求一下极限) 取n>5ε/8π,则|f(xn")-f(xn"")|>ε 补充：“Sn-Tn|<1/n”这个其实不一定这么死，关键是找出合适的δ，只要δ可以任意小即可，这时|f(xn")-f(xn"")|=(8nπ^3)/(1+4π^2)>8nπ/5>π,若令ε=π，这就找出了ε。

连续是考察函数在一个点的性质。而一致连续是考察函数在一个区间的性质。所以一致连续比连续的条件要严格，在区间上一致连续的函数则一定连续，但连续的函数不一定一致连续。可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。函数可导的条件：如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

在数学中,魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。