函数

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在数学中,魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。

函数可微是指那些在定义域中所有点都存在导数的函数。可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此，可微函数的图像是相对光滑的，没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。 扩展资料 　　魏尔斯特拉斯函数连续，但在任一点都不可微。若?在X0点可微，则?在该点必连续。特别的，所有可微函数在其定义域内任一点必连续。逆命题则不成立，一个连续函数未必可微。比如，一个有折点、尖点或垂直切线的函数可能是连续的，但在异常点不可微。 　　实践中运用的"函数大多在所有点可微，或几乎处处可微。但斯特凡·巴拿赫声称可微函数在所有函数构成的集合中却是少数。这表示可微函数在连续函数中不具代表性。人们发现的第一个处处连续但处处不可微的函数是魏尔斯特拉斯函数。

有处处连续但处处不可导的函数。皮亚诺函数。f(x) = ∑[1-->∞] a^n sin(b^n * x)。其中0 < a<1<b。f(x)极限存在，导数不存在。可导性连续性如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。魏尔斯特拉斯函数是由魏尔斯特拉斯构造出的一个函数，其在R上处处连续，但处处不可导。

级数　证明这个函数处处连续并不困难。由于无穷级数的每一个函数项<math>a^n cos(b^n pi x)</math>的绝对值都小于常数<math>a^n</math>，而正项级数 <math> sum_{n=0} ^infty a^n</math> 是收敛的。由比较审敛法可以知道原级数一致收敛。因此，由于每一个函数项<math>a^n cos(b^n pi x)</math>都是<math>{mathbb R}</math>上的连续函数，级数和<math>f(x)</math> 也是<math>{mathbb R}</math>上的连续函数。 　　下面证明函数处处不可导：对一个给定的点<math>x in {mathbb R}</math>，证明的思路是找出趋于<math>x</math> 的两组不同的数列<math>(x_n)</math> 和 <math>(x"_n)</math>，使得 　　:<math>lim inf frac{f(x_n) - f(x)}{x_n - x} > lim sup frac{f(x"_n) - f(x)}{x"_n - x}.</math> 　　这与函数可导的定义矛盾，于是证明完毕。

可导，说明原函数连续，但并不表示导函数连续。所以，如果二阶可导，说明函数本身连续，并且一阶导数也连续。有二阶连续导数”是指二阶导数在闭区间的两个端点连续啊。“二阶可导”在端点处不一定连续。扩展资料：1、可导性与连续性：如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。2、魏尔斯特拉斯函数：魏尔斯特拉斯函数是由魏尔斯特拉斯构造出的一个函数，其在R上处处连续，但处处不可导。3、复函数的可导性：在复分析中，称函数是可导的，如果函数在定义域中每一点处是全纯的。复函数可导等价于Cauchy–Riemann方程4、流形上函数的可导性流形上的函数f称为可导的，如果在任意的局部坐标系下，f的局部表示是可导函数。

魏尔斯特拉斯的原作中给出的构造是：其中0<a<1，b为正的奇数，使得：这个函数以及它处处连续而又处处不可导的证明首次出现在魏尔斯特拉斯于1872年6月18日在普鲁士科学院出版的一篇论文中。证明这个函数处处连续并不困难。由于无穷级数的每一个函数项的绝对值都小于常数，而正项级数是收敛的。由Weierstrass判别法可以知道原级数一致收敛。因此，由于每一个函数项都是 R 上的连续函数，级数和 f(x) 也是 R 上的连续函数。下面证明函数处处不可导：对一个给定的点 x∈R，证明的思路是找出趋于 x 的两组不同的数列() 和()，使得lim inf> lim sup这与函数可导的定义矛盾，于是证明完毕。一般人会直觉上认为连续的函数必然是近乎可导的。即使不可导，所谓不可导的点也必然只占整体的一小部分。根据魏尔斯特拉斯在他的论文中所描述，早期的许多数学家，包括高斯，都曾经假定连续函数不可导的部分是有限或可数的。这可能是因为直观上想象一个连续但在不可数个点上不可导的函数是很困难的事。当我们绘制函数的图像时，总会画出较为规则的图形，例如满足利普希茨条件的函数图像。魏尔斯特拉斯函数可以被视为第一个分形函数，尽管这个名词当时还不存在。将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大，所得到的局部图都和整体图形相似。因此，无论如何放大，函数图像都不会显得更加光滑，也不存在单调的区间。

您好，答案如图所示：魏尔斯特拉斯函数是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。而且该函数的每一点的斜率也是不存在的。

以上是其中一个。威尔斯特拉斯函数是一类函数。一种处处连续却处处不可导的函数。

对于一元函数,可微和可导是等价的,即导数在此点连续左导数等于右导数，且等于该点导数（如果该点由定义）则可导！对于二元函数,若可导且导函数在该点连续则可微!。

函数的幂级数展开是一个古老而重要的数学研究领域，涉及到函数的解析性质、微积分、数学物理等多个领域。以下是该领域的一些现状：1. 基本理论：幂级数展开的基本理论已经很成熟，包括幂级数的收敛性、收敛半径、唯一性等问题。其中最著名的是Weierstrass M-test和Abel定理。2. 应用领域：幂级数展开在各种数学和物理问题中都有广泛应用。比如在微积分中，幂级数可以用来表示函数的Taylor级数，从而进行近似计算和分析。在数学物理中，幂级数展开也被用来描述物理系统的行为，比如在量子场论和统计物理学中，幂级数展开被用来计算各种物理量。3. 近年研究：近年来，幂级数展开的研究重点已经从基本理论转向了更加应用的问题，如多复变量幂级数展开、特殊函数的幂级数表示、非线性偏微分方程中的幂级数方法等等。此外，幂级数展开的计算方法也得到了大幅改进，比如自适应网格方法、边界元法等数值方法已经广泛应用于幂级数展开计算中。4. 未解决问题：虽然幂级数展开的基本理论已经很成熟，但是仍有很多有趣的问题等待解决。比如如何对非解析函数进行幂级数展开、如何将幂级数展开应用到高维问题中、如何将幂级数展开与其他数学方法进行结合等等。这些问题的解决将推动幂级数展开研究向更加深入的方向发展。

魏尔斯特拉斯函数 Weierstrass function ,黎曼函数等，一些非初等函数很多是处处不可导的。只要不连续的都不可导

【魏尔斯特拉斯(Weierstrass)定理】 有界数列必有收敛的子数列。 【魏尔斯特拉斯定理的证明方法】 对定义区间无穷分割，然后取极限。

存在,比如0就是他的一个极大值点,等于级数an的极限

一、可以用可微的相关知识去判断，但是如果题目不是要证明是否可微，对于某些不可微的函数是可以一眼就看出来的，而不用证明。函数可微的直观几何解释是函数图象在该点是“光滑”的，即函数图象不能是“尖点”，回忆一元函数y=|x|在x=0点的图象是一个尖点，故这个函数在x=0处不可微。本题中二元函数的图象是一个锥体，而(0,0)点对应的z是这个锥体的顶点，它是一个"尖点"，所以在该点不可微。二、按定义，f(x,y)在(0,0)点可微就是要求lim[f(x,y)-f(0,0)-Ax-By]/√(x^2+y^2)=0（A,B是常数），本题中这个极限表达式为lim[1-√(x^2+y^2)-1-Ax-By]/√(x^2+y^2)=1-lim(Ax+By)/√(x^2+y^2)，令y=kx，则lim(Ax+By)/√(x^2+y^2)=(A+Bk)/√(1+k^2)，极限与k有关，故这个极限不存在，因此极限lim[1-√(x^2+y^2)-1-Ax-By]/√(x^2+y^2)也就不存在，故在原点不可微。扩展资料：魏尔斯特拉斯函数连续，但在任一点都不可微。若u0192在X0点可微，则u0192在该点必连续。特别的，所有可微函数在其定义域内任一点必连续。逆命题则不成立：一个连续函数未必可微。比如，一个有折点、尖点或垂直切线的函数可能是连续的，但在异常点不可微。实践中运用的函数大多在所有点可微，或几乎处处可微。但斯特凡·巴拿赫声称可微函数在所有函数构成的集合中却是少数。这表示可微函数在连续函数中不具代表性。人们发现的第一个处处连续但处处不可微的函数是魏尔斯特拉斯函数。参考资料来源：百度百科-可微函数

在微积分学中，可微函数是指那些在定义域中所有点都存在导数的函数。可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此，可微函数的图像是相对光滑的，没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。一般来说，若X是函数u0192定义域上的一点，且u0192′(X)有定义，则称u0192在X点可微。这就是说u0192的图像在(X,u0192(X))点有非垂直切线，且该点不是间断点、尖点。扩展资料：可微性魏尔斯特拉斯函数连续，但在任一点都不可微。若u0192在X0点可微，则u0192在该点必连续。特别的，所有可微函数在其定义域内任一点必连续。逆命题则不成立：一个连续函数未必可微。比如，一个有折点、尖点或垂直切线的函数可能是连续的，但在异常点不可微。实践中运用的函数大多在所有点可微，或几乎处处可微。但斯特凡·巴拿赫声称可微函数在所有函数构成的集合中却是少数。 这表示可微函数在连续函数中不具代表性。人们发现的第一个处处连续但处处不可微的函数是魏尔斯特拉斯函数。连续可微分类函数f是连续可微（continuouslydifferentiable），如果导数f"(x)存在且是连续函数。连续可微函数被称作classC。一个函数称作classC如果函数的一阶、二阶导数存在且连续。更一般的，一个函数称作classC如果前k阶导数f′(x),f″(x),...,f(x)都存在且连续。如果对于所有正整数n，f存在，这个函数被称为光滑函数或称classC。参考资料：百度百科—可微函数

如图

处处不可导函数的稠密性分析分析学的成果表明，魏尔斯特拉斯函数并不是连续函数中的少数几个特例之一。尽管它是“病态”函数的一种，但可以证明，这种病态的函数事实上不在“少数”，甚至比那些“规则”的函数“多得多”。在测度论意义上：在配备了经典维纳测度γ的连续函数空间C([0, 1];R) 中，至少有一处可导的函数所构成的集合的测度是0，也就是说和处处不可导的函数相比是可以“忽略”的。

狄利克雷函数实数上的狄利克雷函数定义为D(x)=1(如果x是有理数)，0（如果x是无理数）。魏尔斯特拉斯函数 http://baike.baidu.com/view/8697959.htm其中0<a<1，b为正的奇数，使得：

解析函数analytic functionK.魏尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函数称为解析函数，而区域上的解析函数是指在区域内每一小圆邻域上都能表成幂级数的和的函数。关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓 ，关于解析开拓的一般定义是，f（z）与g（z）分别是D与D*上的解析函数，若D&Eacute;D* ，且在D*上f（z）=g（z）。则称f（z）是g（z）由D*到D的解析开拓 。解析开拓的概念可以推广到这样的情形 ：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，且D1∩D2≠ ，在D1∩D2上f（z)=g（z )则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的（ f（z），Δ）的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。这样的完全解析函数实际是一个多值函数。黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数，这样多值解析函数变成了单值解析函数。

不对，它们肯定不是“处处都是极值点”。魏尔斯特拉斯函数是用级数表达的，它们不是一个初等函数，所以不能用光滑曲线的方式去理解。

是的，因为根据加减乘除运算有：(u+v)"=u+v(u-v)"=u"-v"(uv)"=u"v+uv"(u/v)"=(u"v-uv")/v^2, 但这里v不能为0。在微积分学中,一个实变量函数是可导函数，若其在定义域中每一点导数存在。直观上说，函数图像在其定义域每一点处是相对平滑的，不包含任何尖点、断点。如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。魏尔斯特拉斯函数魏尔斯特拉斯函数是由魏尔斯特拉斯构造出的一个函数，其在R上处处连续，但处处不可导。

有分形特性：某些部分会和整体自相似。在数学中, 魏尔斯特拉斯函数是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画[1]。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。外尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯[2]。历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法[3]。构造魏尔斯特拉斯的原作中给出的构造是：,其中0 < a < 1，b 为正的奇数，使得：这个函数以及它处处连续而又处处不可导的证明首次出现在魏尔斯特拉斯于1872年6月18日在普鲁士科学院出版的一篇论文中。证明这个函数处处连续并不困难。由于无穷级数的每一个函数项ancos(bnπx)的绝对值都小于常数an，而正项级数 是收敛的。由比较审敛法可以知道原级数一致收敛。因此，由于每一个函数项ancos(bnπx)都是上的连续函数，级数和f(x) 也是上的连续函数。下面证明函数处处不可导：对一个给定的点，证明的思路是找出趋于x 的两组不同的数列(xn) 和 (x"n)，使得这与函数可导的定义矛盾，于是证明完毕。一般人会直觉上认为连续的函数必然是近乎可导的。即使不可导，所谓不可导的点也必然只占整体的一小部分。根据魏尔斯特拉斯在他的论文中所描述，早期的许多数学家，包括高斯，都曾经假定连续函数不可导的部分是有限或可数的。这可能是因为直观上想象一个连续但在不可数个点上不可导的函数是很困难的事。当我们绘制函数的图像时，总会画出较为规则的图形，例如满足利普希茨条件的函数图像。魏尔斯特拉斯函数可以被视为第一个分形函数，尽管这个名词当时还不存在。将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大，所得到的局部图都和整体图形相似。因此，无论如何放大，函数图像都不会显得更加光滑，也不存在单调的区间。处处不可导函数的稠密性分析学的成果表明，魏尔斯特拉斯函数并不是连续函数中的少数几个特例之一。尽管它是“病态”函数的一种，但可以证明，这种病态的函数事实上不在“少数”，甚至比那些“规则”的函数“多得多”。u2022在拓扑学意义上：在从[0,1] 区间射到实数上的连续函数空间C([0, 1]; R) 中，处处不可导的函数的集合是稠密的（关于一致范数的拓扑）。u2022在测度论意义上：在配备了经典维纳测度γ 的连续函数空间C([0, 1]; R) 中，至少有一处可导的函数所构成的集合的测度是0，也就是说和处处不可导的函数相比是可以“忽略”的。

由于无穷级数的每一个函数项a^n cos(b^n pi x)的绝对值都小于常数a^n,而正项级数 sum_{n=0} ^infty a^n 是[[收敛]]的.由[[比较审敛法]]可以知道原级数一致收敛.因此,由于每一个函数项a^n cos(b^n pi x)都是{mathbb R}上的连续函数,级数和f(x) 也是{mathbb R}上的连续函数. 　　下面证明函数处处不可导：对一个给定的点x in {mathbb R},证明的思路是找出趋于x 的两组不同的数列(x_n) 和 (x"_n),使得 　　:lim inf frac{f(x_n) - f(x)}{x_n - x} > lim sup frac{f(x"_n) - f(x)}{x"_n - x}. 　　这与函数可导的定义矛盾,于是证明完毕

在数学中,魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ; 1815–1897)。历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法。用级数来证明

在数学中,魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ; 1815–1897)。历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法。