函数

三角函数，ω为什么是角速度答：一般的三角函数如y=Asin(ωx+φ)来源于简谐振动y=Asin(ωt+φ)，其中A是振幅，ω是角速度，也叫圆频率，φ叫初相，t是时间。当脱去问题的物理意义，变成无具体意义的抽象的三角函数式y=Asin(ωx+φ)以后就仍然沿用了原来的名称。

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反了吧兄dei 作者好像已经锁文了

天道惊鸿by三角函数

天兵天下作者： 战争之王简介：这是一个神魔人交织的世界。奇异的神兵，故老的传说。有神兵的地方总是有无尽的杀戮。杨天的父母被魔族杀害，师傅的教导，神兵的指引。也许杨天的诞生就是为了解决这场无尽的纷争。

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双引号是对字符串（文本、字母、文本格式的数字等）的引用，主要炸函数中应用。在excel中，只有数字和单元格地址可以直接书写，若涉及到字符串的引用，就需要将该字符串用英文状态下的双引号引起来。Excel规定：公式中的一个双引号【"】要用两个连续双引号【""】来表示。与此同理呢，本来公式中的空值【""】是一对双引号，也就要用4个连续双引号【""""】来表示了。在Excel的函数公式中，双引号【"】起到的是一个文本定界符的作用；结合附件中下图来说下：比如B2单元格中输入【="ExcelTip"】，呈现出来的显示结果是ExcelTip，再如在B3单元格中输入【="5"】，呈现出来的结果是5，也就是得到了一个文本型数值5；接着，我们在B4单元格中输入【="""ExcelTip"】，呈现"ExcelTip；在B5单元格中输入【="ExcelTip"""】，呈现ExcelTip"；在B6单元格中输入【="""ExcelTip"""】，呈现的是"ExcelTip"。

因此是一致连续的。 但是，开区间就不行，例如f=1/x在(0，1)上连续，因此不一致连续。 一致连续就是说这个函数在整个区间内震荡得不是太厉害，

摘要：函数的一致连续性是数学重要的概念，目前关于一致连续的判别方法主要是利用一致连续的定义和Cantor定理，通过判断函数一致连续性的两种方法：导数判断法和极限判断法，以及对这两种方法的相关定理的证明、实例介绍应用，使得对函数一致连续性的判断方法简单化、明了化。关键词：一致连续；导数判断法；极限判断法弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续理论的关键。数学分析中只给出的关于一致连续的判别方法主要是用一致连续性的定义和Cantor定理，为了使我们对函数一致连续性理论的全面掌握，作为对教材内容的适当扩充和补充，我另外归纳总结了以下两种判断函数一直连续的方法。

不严密地说,一致连续说明这个函数在区间上,任意接近的两个自变量,它们的函数值也是任意接近的. 从图形上看,就是函数别变化太快了. 反例：y=sin(1/x)在(0,1]上就不一致连续. 这个图像相当于一个越接近0越密的一个弹簧,两个x任意接近,它们的值还是可能相差2（1与-1）嘛!

从一致连续的定义就能看得出，在某个区间上一致连续，那么在这个区间的任何连续部分上，也是一致连续的。在某个区间上不一致连续，那么在包含了这个区间的任何连续区间上都不可能一致连续。（a，b）是［a，b］的一部分。既然在［a，b］一致连续了。当然在（a，b）也就一致连续了。但是反过来，在（a，b）上一致连续，就不能推出［a，b上一定一致连续了。

任给e>0，由连续函数定义，对任意[a，b]中的x，有相应的dx>0，只要y属于[a,b]且在(x-dx,x+dx)内，就有|f(y)-f(x)|<e。对每个x，都能如上找到对应的开邻域，这些开邻域覆盖整个闭区间[a，b]，由于[a，b]是紧集，存在有限开覆盖(x1-dx1，x1+dx1)...(xn-dxn，xn+dxn)，令d=min(dx1...dxn)，则对任意[a，b]中的x，只要y属于[a，b]且在(x-d，x+d)内，就有|f(y)-f(x)|<e，所以一致连续。扩展资料：注意事项：利用函数极限的运算，可以得到连续性关于函数运算的不变性。存在一个区间上的连续函数，使得不是有界函数，可以暂且理解为对不同邻域上的有界性有程度上的区别，或者说局部有界性和一致有界性是不同的。因为区间上的收敛数列不一定有区间上的极限，这也解释了为什么闭区间上的连续函数有界，而开区间上的连续无界函数的无界区间总是在边缘处。函数f在点x0的某邻域内有定义，若函数f在点x0有极限且此极限等于该点的函数值，即limf(x)=f(x0)，则称f在点x0连续x→x0。参考资料来源：百度百科-连续函数参考资料来源：百度百科-闭区间

连续性是单点性质,表示函数在这一点附近"变化不剧烈".而一致连续性是区间性质,表示在这一区间上"变化不剧烈".它的表述方式,是一定距离以内的自变量所对应的函数值的差距有一个共同的上界.显然如果没有这个共同的上界,就会有函数值的变化非常剧烈了.

函数f(x)，如果是闭区间【a,b】，f(x)就不连续了~因为在a上无左极限，在b上无右极限连续你可以看成当->0时，f(x)在Δx是条直线如果不是，就不连续

‍‍只说完整区间上的情况，更容易为初学者理解。连续和一致连续的概念大致都可以理解为在x有微小的变动时y的变动也不大，但一致连续之所以更严格，是因为它要求所有的x在有微小变动时y的变动有个上界。从几何上看，如果你把连续函数理解为一条不间断的曲线，要判定一个连续函数是不是一致连续，就看能不能找出曲线“最陡”的一部分，这个“最陡”的一部分的δ和ε一定能适用于其他所有x，所谓最难搞定的地方都搞定了，其他的就不在话下，找出来了就是一致连续。来个例子，考虑一个函数曲线，x趋向于零时，y趋向于无穷，它是连续的但不是一致连续的，因为你发现这个曲线是越来越陡的，找不出最陡的地方来。我们老师教这个概念的时候，说想象一个以2δ和2ε为宽和长的筒子，如果能完整穿过曲线，就是一致连续，这个筒子最难通过的地方自然就是最陡的地方。‍‍

一个路径转换的函数：方便大家在aws 里面进行linux和windows 路径的转换； （使用上一定注意加上引号 cdwin "Z:gcrhuild raining_project_1practice_whcp ools" ） https://www.coder.work/article/176623 转换函数 https://www.cnblogs.com/zyh9900010/p/11748179.html sed 基本用法： 包括# 用法； https://blog.csdn.net/Jcggnice/article/details/108897392 sh脚本添加帮助文档； https://www.cnblogs.com/struggle-1216/p/13174266.html 函数定义 字符串判断用[[ ]] || [[]] ; 数字判断使用(( )) https://cloud.tencent.com/developer/article/1414363 零度断言 https://www.cnblogs.com/garyzhuang/p/10136852.html 脚本模板 https://www.tutorialspoint.com/how-to-output-colored-text-to-a-linux-terminal 颜色编码 echo -e "33[1;31mThis is bold red text33[0m " https://unix.stackexchange.com/questions/404586/how-to-save-a-function-in-bash-for-later-use 保存函数 step1: 上传到mobaxterm step2: 加载到Linux环境里面 echo -e "33[1;31mThis is bold red text33[0m $path" 欢迎大家评论交流U0001f60a~

大致可以这样来理解（不严格），对于一致连续函数，在一段区间内，每一点的倾斜程度（斜率的绝对值）不会超过某个数值，对于一般的连续则没有这个要求。 y=x，y=√x，在定义域内都是一致连续的。 对于y=x^k，在容易有限区间内（上）都是一致连续的。 一般说来，在闭区间上的连续函数总是一致连续的。教科书上有很多一致连续函数的例子，上面也有证明。 很多连续函数并非一致连续。 对于函数f(x)=1/x （x∈(0, 1)）它就不是一直连续，在x接近0时，非常陡峭，其切线的斜率没有一个限度；y=tan x（x∈(-π/2, π/2)）在±π/2附近，斜率也是没有一个限度。一般说来，在有限区间取值可以到正（负）无穷的函数，肯定不是一致连续函数。但是非一致连续函数并不仅限于此，如函数y=arcsin(x)亦不是一致连续（在x接近1时，斜率越来越大，没有一个限度），但是他在定义域内取值范围有限。

如果函数f(x)在I上一致连续,自然在I上也是连续的；证明如下： 设函数f(x)在I上一致连续,那么对于I上任意一点t,即t∈I； f(x)是一致连续的,对任取的e>0,存在d>0,当I上任意两点a和b满足|a-b|

函数一致连续性的判别方法如下：若f(x)在区间上(a,b)（可以是闭区间，开区间，或者无限区间）上连续，且其一阶导数有界，即存在M>0，使得|f"(x)|<=M，则f(x)在区间(a,b)上一致连续。f(x)=e^x，在(0,+∞)上，f‘(x)=e^x显然是无界的，所以e^x在(0,+∞)是非一致连续的。但是在闭区间上它是一致连续的。所以一致连续的判断还要看它所取区间。用一致连续的定义当然能解决所有函数一致连续性的判定，但是用定义证明往往需要很高的技巧，而且在本身不知道是否一致连续时，就更加困难了。因此在判定是否一致连续时，使用相关的定理会使问题变得简单的多。首先闭区间上连续的函数一定一致连续，这自不必说。对于有限开区间，也有很好的定理，由于是充要条件，所以这个定理完全解决了有限开区间上一致连续的判断问题。所以判断一致连续的困难就在于无限开区间，它也有相关的定理。注意第一条不是一致连续的必要条件，例如y=x在x趋于无穷时无有限极限，甚至无界，但也是一致连续的，另外有界也不能保证一致连续，例如y=sinx^2。用这三个定理可以很方便的解决绝大多数函数一致连续的判定问题。

e^x不是一致连续的嘛0 0

函数一致连续性的判别方法如下：若f(x)在区间上(a,b)（可以是闭区间，开区间，或者无限区间）上连续，且其一阶导数有界，即存在M>0，使得|f"(x)|<=M，则f(x)在区间(a,b)上一致连续。f(x)=e^x，在(0,+∞)上，f‘(x)=e^x显然是无界的，所以e^x在(0,+∞)是非一致连续的。但是在闭区间上它是一致连续的。所以一致连续的判断还要看它所取区间。用一致连续的定义当然能解决所有函数一致连续性的判定，但是用定义证明往往需要很高的技巧，而且在本身不知道是否一致连续时，就更加困难了。因此在判定是否一致连续时，使用相关的定理会使问题变得简单的多。首先闭区间上连续的函数一定一致连续，这自不必说。对于有限开区间，也有很好的定理，由于是充要条件，所以这个定理完全解决了有限开区间上一致连续的判断问题。所以判断一致连续的困难就在于无限开区间，它也有相关的定理。注意第一条不是一致连续的必要条件，例如y=x在x趋于无穷时无有限极限，甚至无界，但也是一致连续的，另外有界也不能保证一致连续，例如y=sinx^2。用这三个定理可以很方便的解决绝大多数函数一致连续的判定问题。

讨论函数的一致连续性意义：所谓一致连续，就是要求当函数的自变量的改变很小时，其函数值的改变也很小，从而要求函数的导数值不能太大——当然只要有界即可。函数f（x）在［a，b］上一致连续的充分必要条件是在［a，b］上连续。函数f（x）在［a，b）上一致连续的充分必要条件是f（x）在（a，b）上连续且f（b-）存在。意义从上述定义中可以看出，当函数在区间I上一致连续时，无论在区间I上的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，总可以使相应的函数值达到预先指定的接近程度。某一函数f在区间I上有定义，如果对于任意的ε>0，总有δ>0 ，使得在区间I上的任意两点x"和x"，当满足|x"-x"|<δ时，|f(x")-f(x")|<ε恒成立，则该函数在区间I上一致连续。对于在闭区间上的连续函数，其在该区间上必一致连续。一致连续的函数必定是连续函数。

函数一致连续性的判别方法如下：若f(x)在区间上(a,b)（可以是闭区间，开区间，或者无限区间）上连续，且其一阶导数有界，即存在M>0，使得|f"(x)|<=M，则f(x)在区间(a,b)上一致连续。f(x)=e^x，在(0,+∞)上，f‘(x)=e^x显然是无界的，所以e^x在(0,+∞)是非一致连续的。但是在闭区间上它是一致连续的。所以一致连续的判断还要看它所取区间。用一致连续的定义当然能解决所有函数一致连续性的判定，但是用定义证明往往需要很高的技巧，而且在本身不知道是否一致连续时，就更加困难了。因此在判定是否一致连续时，使用相关的定理会使问题变得简单的多。首先闭区间上连续的函数一定一致连续，这自不必说。对于有限开区间，也有很好的定理，由于是充要条件，所以这个定理完全解决了有限开区间上一致连续的判断问题。所以判断一致连续的困难就在于无限开区间，它也有相关的定理。注意第一条不是一致连续的必要条件，例如y=x在x趋于无穷时无有限极限，甚至无界，但也是一致连续的，另外有界也不能保证一致连续，例如y=sinx^2。用这三个定理可以很方便的解决绝大多数函数一致连续的判定问题。

摘要：函数的一致连续性是数学重要的概念，目前关于一致连续的判别方法主要是利用一致连续的定义和Cantor定理，通过判断函数一致连续性的两种方法：导数判断法和极限判断法，以及对这两种方法的相关定理的证明、实例介绍应用，使得对函数一致连续性的判断方法简单化、明了化。 关键词：一致连续；导数判断法；极限判断法 弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续理论的关键。数学分析中只给出的关于一致连续的判别方法主要是用一致连续性的定义和Cantor定理，为了使我们对函数一致连续性理论的全面掌握，作为对教材内容的适当扩充和补充，我另外归纳总结了以下两种判断函数一直连续的方法。

函数一致连续性的判别方法如下：若f(x)在区间上(a,b)（可以是闭区间，开区间，或者无限区间）上连续，且其一阶导数有界，即存在M>0，使得|f"(x)|<=M，则f(x)在区间(a,b)上一致连续。f(x)=e^x，在(0,+∞)上，f‘(x)=e^x显然是无界的，所以e^x在(0,+∞)是非一致连续的。但是在闭区间上它是一致连续的。所以一致连续的判断还要看它所取区间。用一致连续的定义当然能解决所有函数一致连续性的判定，但是用定义证明往往需要很高的技巧，而且在本身不知道是否一致连续时，就更加困难了。因此在判定是否一致连续时，使用相关的定理会使问题变得简单的多。首先闭区间上连续的函数一定一致连续，这自不必说。对于有限开区间，也有很好的定理，由于是充要条件，所以这个定理完全解决了有限开区间上一致连续的判断问题。所以判断一致连续的困难就在于无限开区间，它也有相关的定理。注意第一条不是一致连续的必要条件，例如y=x在x趋于无穷时无有限极限，甚至无界，但也是一致连续的，另外有界也不能保证一致连续，例如y=sinx^2。用这三个定理可以很方便的解决绝大多数函数一致连续的判定问题。

连续性是局部性质，一般只对单点讨论，说函数在一个集合上连续也只不过是逐点连续。一致连续性是整体性质，要对定义域上的某个子集（比如区间）来讨论，表明了整体的连续程度。一致连续可以推出连续，反之不然。

对定义域中的每一点,若左右极限都存在且相等则函数连续.所有初等函数及其复合都是连续的.可微函数是连续的.希望对你有帮助，祝你学习愉快!!亲，你的点赞或者采纳是我们回答的动力哦！

如果函数f(x)在I上一致连续，自然在I上也是连续的；证明如下：设函数f(x)在I上一致连续，那么对于I上任意一点t，即t∈I。f(x)是一致连续的，对任取的e>0，存在d>0，当I上任意两点a和b满足|a-b|<d，有 |f(a)-f(b)|<e。对I上的点x和y，当满足 |x-t|<d/2 且 |y-t|<d/2，那么 |x-y|<d/2+d/2=d。有 |f(x)-f(t)|=|f(x)-f(y)+f(y)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)| 。由于f一致连续，|x-y|<d，|y-t|<d/2<d，那么：|f(x)-f(y)|<e，|f(y)-f(t)|<e 。则 |f(x)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|<2e。也就是对任取的e>0，存在d"=d/2，当|x-t|<d"，有 |f(x)-f(t)|<2e。即f(x)在点t连续；由于点t是在I上任意选取一点，f(x)在I上连续。所以一致连续函数一定连续。相关内容解释：函数在数学上的定义：给定一个非空的数集A，对A施加对应法则f，记作f（A），得到另一数集B，也就是B=f（A），那么这个关系式就叫函数关系式，简称函数。简单来讲，对于两个变量x和y，如果每给定x的一个值，y都有唯一一个确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数。其中，x叫做自变量，y叫做因变量。

已知定义在区间A上的函数f(x)，如果 对于任意给定的正数ε>0，存在一个实数ζ>0 使得对任意A上的x1,x2且x1,x2满足|x1-x2|<ζ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε。 一致连续性表示,无论在连续区间的任何部分,只要自变量的两个数值接近到一定程度(ζ),就可使对应的函数值达到所指定的接近程度(ε) 这个接近程度ε不随自变量x的位置而变. 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,那么它在该区间上一致连续

一致连续若定义在实数区间A（注意区间A可以是闭区间，亦可以是开区间甚至是无穷区间）上的任意函数f(x)，对于任意给定的正数ε>0，总存在一个与x无关的实数ζ>0，使得当区间A上的任意两点x1，x2，满足|x1-x2|<ζ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f(x)在区间A上是一致连续的。连续假设f:X->Y是一个拓扑空间之间的映射，如果f满足下面条件，就称f是连续的：对任何Y上的开集U, U在f下的原像f^(-1)(U)必是X上的开集。若只考虑实变函数，那么要是对于一定区间上的任意一点，函数本身有定义，且其左极限与右极限均存在且相等，则称函数在这一区间上是连续的。分为左连续和右连续。在区间每一点都连续的函数，叫做函数在该区间的连续函数。

依一致连续的定义，要x0属于(0,1)时对任意ε>0,有δ>0,使得当|x-x0|<δ时都有|1/x-1/x0|<ε,然而|1/x-1/x0|=|x-x0|/(xx0)<δ/(xx0),当x0趋于0时δ/(xx0)无法小于ε。所以f(x)=1/x 在（0,1）不一致连续.

函数一致连续性的几何意义体现在哪里?如果说非一致连续性函数的斜率会有趋近于无穷的一段即会很”陡”,那么一致连续函数根号x在很接近于0时图象也极其”陡”,所以请教各路高手一致连续函数究竟有什么区别于非一致连续函数的几何意义?“很陡”强调的是“突变”,比如圆的斜率是非常非常“平滑”,也有斜率为“无穷”的时候,关键要抛开直角坐标系的限制来思考.假如在一个巨大的空间,自己爬行在曲线上测量斜率,那么斜率的“突变”会引起极大关注,一旦需要攀登陡峭的悬崖,自然说这里不光滑,就是不连续了还要注意，一致连续的话，图像一定是平滑的，即里面处处可导

因为lim(x->-∞)f(x)存在，根据柯西收敛准则对u2200ε>0，存在正数D，使对所有x1<-D，x2<-D，有|f(x1)-f(x2)|<ε即存在正数δ，是对所有x1,x2满足|x1-x2|<δ，且x1,x2∈(-∞,-D)，有|f(x1)-f(x2)|<ε所以f(x)在(-∞,-D)上一致连续因为f(x)在闭区间[-D,b]上连续，则f(x)在[-D,b]上一致连续综上所述，f(x)在(-∞,b]上一致连续

g(x）= x^(1/m), x>=0.g(x)在[0,2]上一致连续，因为[0,2]是有界闭区间，任何连续函数都在有界闭区间上一致连续。当 x1>x2>=1 时， g(x1)-g(x2) = x1^(1/m) - x^2(1/m)= (x1-x2)/ ( x1^((m-1)/m) + x1^((m-2)/m)x2^(1/m)+...+ x2^((m-1)/m)) < x1 - x2 (因为分母中每项都 >1)所以 g(x)在[1,无穷大)上一致连续. 所以 g(x) 在 x>=0 上一致连续。f在区间I上 一致连续 ==》 |f|在区间I上一致连续 ==> g(|f|) 在区间I上一致连续。

定理：有界区间 (a,b) 上的函数 f 为一致连续的充要条件是 f (a+0) 与 f (b+0) 均存在 ( 有限 ) 当 (a,b) 区间为无界区间时,充分性仍然成立,但必要性不再成立

例如f=x^2在[0，1]上是连续的，而且对于任意的s>0，只要|x-y|<s/2，就有|x^2-y^2|=|x+y||x-y|<s。因此是一致连续的。但是，开区间就不行，例如f=1/x在(0，1)上连续，但是当x、y很接近0时，即使|x-y|再小，|1/x-1/y|也可以任意地大。因此不一致连续。一致连续就是说这个函数在整个区间内震荡得不是太厉害，震荡幅度可以控制住。

连续是考察函数在一个点的性质。 而一致连续是考察函数在一个区间的性质。 所以一致连续比连续的条件要严格，在区间上一致连续的函数则一定连续，但连续的函数不一定一致连续。 通俗地讲，函数在区间上是一致连续的，说明这个函数在这个区间上，任意接近的两个自变量的函数也是任意接近的。从图形上看，就是不会产生陡然上升或下降的情况。（当然这样描述起来，至于他的“陡然”程度是模糊的） 例子: 函数x^2在区间[0，无穷大）上不一致连续。 分析： 可以取区间中两个数 s=n t=n+1/2n 此时，t-s=1/2n<1/n，他们是可以曲线接近的 那么考虑t^2-s^2 t^2-s^2=(t-s)(t+s)=(1/2n)[2n+(1/2n)]>1 这就是说它们的函数值不能无限接近。 根据一致连续的定义可知x^2在区间[0，无穷大）上不一致连续。

函数f(x)，如果是闭区间【a,b】，f(x)就不连续了~因为在a上无左极限，在b上无右极限连续你可以看成当->0时，f(x)在Δx是条直线如果不是，就不连续

任给e>0,由连续函数定义,对任意[a,b]中的x,有相应的dx>0只要y属于[a,b]且在(x-dx,x+dx)内,就有|f(y)-f(x)|对每个x,都能如上找到对应的开邻域,这些开邻域覆盖整个闭区间[a,b],由于[a,b]是紧集,存在有限开覆盖(x1-dx1,x1+dx1)...(xn-dxn,xn+dxn)令d=min(dx1,...,dxn),则对任意[a,b]中的x,只要y属于[a,b]且在(x-d,x+d)内,就有|f(y)-f(x)|所以一致连续

连续性是局部性质，一般只对单点讨论，说函数在一个集合上连续也只不过是逐点连续。 一致连续性是整体性质，要对定义域上的某个子集（比如区间）来讨论，表明了整体的连续程度。 一致连续可以推出连续，反之不然。 这个一定要搞清楚，否则等学到

摘要：函数的一致连续性是数学重要的概念,目前关于一致连续的判别方法主要是利用一致连续的定义和Cantor定理,通过判断函数一致连续性的两种方法：导数判断法和极限判断法,以及对这两种方法的相关定理的证明、实例介绍应用,使得对函数一致连续性的判断方法简单化、明了化. 关键词：一致连续；导数判断法；极限判断法 弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续理论的关键.数学分析中只给出的关于一致连续的判别方法主要是用一致连续性的定义和Cantor定理,为了使我们对函数一致连续性理论的全面掌握,作为对教材内容的适当扩充和补充,我另外归纳总结了以下两种判断函数一直连续的方法.

以下证明摘自张筑生《数学分析新讲》：

大致可以这样来理解（不严格），对于一致连续函数，在一段区间内，每一点的倾斜程度（斜率的绝对值）不会超过某个数值，对于一般的连续则没有这个要求。 y=x，y=√x，在定义域内都是一致连续的。 对于y=x^k，在容易有限区间内（上）都是一致连续的。 一般说来，在闭区间上的连续函数总是一致连续的。教科书上有很多一致连续函数的例子，上面也有证明。 很多连续函数并非一致连续。 对于函数f(x)=1/x （x∈(0, 1)）它就不是一直连续，在x接近0时，非常陡峭，其切线的斜率没有一个限度；y=tan x（x∈(-π/2, π/2)）在±π/2附近，斜率也是没有一个限度。一般说来，在有限区间取值可以到正（负）无穷的函数，肯定不是一致连续函数。但是非一致连续函数并不仅限于此，如函数y=arcsin(x)亦不是一致连续（在x接近1时，斜率越来越大，没有一个限度），但是他在定义域内取值范围有限【智慧中国】为你解答

函数的一致连续与不一致连续都是针对某个实数范围（通常是区间）而言的。如果对这个区间里的任何一个x，都有lim<Δx->0>f(x+Δx)=f(x)，则称函数f(x)在这个区间内连续。函数在区间内任一点x处连续，用分析的定义说就是：对于任意给定的正数ε，如果存在正数δ，只要|Δx|<δ，就有不等式|f(x+Δx)-f(x)|<ε成立，则称函数f(x)在x处连续。需要注意的是，正数δ不仅与ε有关，而且也与x有关的，即使ε不变，x换成了区间内另外的点，一般说δ也需要变动的。如果存在只与ε，而与x无关的δ，只要|Δx|<δ，对这个区间里的一切x，都有不等式|f(x+Δx)-f(x)|<ε成立，则称函数f(x)在这个区间内是一致连续的。如果找不到与x无关的δ（是不可能找到的意思），则f(x)在这个区间内就是不一致连续的。

如果函数f(x)在I上一致连续，自然在I上也是连续的；证明如下：设函数f(x)在I上一致连续，那么对于I上任意一点t，即t∈I。f(x)是一致连续的，对任取的e>0，存在d>0，当I上任意两点a和b满足|a-b|<d，有 |f(a)-f(b)|<e。对I上的点x和y，当满足 |x-t|<d/2 且 |y-t|<d/2，那么 |x-y|<d/2+d/2=d。有 |f(x)-f(t)|=|f(x)-f(y)+f(y)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)| 。由于f一致连续，|x-y|<d，|y-t|<d/2<d，那么：|f(x)-f(y)|<e，|f(y)-f(t)|<e 。则 |f(x)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|<2e。也就是对任取的e>0，存在d"=d/2，当|x-t|<d"，有 |f(x)-f(t)|<2e。即f(x)在点t连续；由于点t是在I上任意选取一点，f(x)在I上连续。所以一致连续函数一定连续。相关内容解释：函数在数学上的定义：给定一个非空的数集A，对A施加对应法则f，记作f（A），得到另一数集B，也就是B=f（A），那么这个关系式就叫函数关系式，简称函数。简单来讲，对于两个变量x和y，如果每给定x的一个值，y都有唯一一个确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数。其中，x叫做自变量，y叫做因变量。

函数一致连续性的判别方法如下：若f(x)在区间上(a,b)（可以是闭区间，开区间，或者无限区间）上连续，且其一阶导数有界，即存在M>0，使得|f"(x)|<=M，则f(x)在区间(a,b)上一致连续。f(x)=e^x，在(0,+∞)上，f‘(x)=e^x显然是无界的，所以e^x在(0,+∞)是非一致连续的。但是在闭区间上它是一致连续的。所以一致连续的判断还要看它所取区间。用一致连续的定义当然能解决所有函数一致连续性的判定，但是用定义证明往往需要很高的技巧，而且在本身不知道是否一致连续时，就更加困难了。因此在判定是否一致连续时，使用相关的定理会使问题变得简单的多。首先闭区间上连续的函数一定一致连续，这自不必说。对于有限开区间，也有很好的定理，由于是充要条件，所以这个定理完全解决了有限开区间上一致连续的判断问题。所以判断一致连续的困难就在于无限开区间，它也有相关的定理。注意第一条不是一致连续的必要条件，例如y=x在x趋于无穷时无有限极限，甚至无界，但也是一致连续的，另外有界也不能保证一致连续，例如y=sinx^2。用这三个定理可以很方便的解决绝大多数函数一致连续的判定问题。

1、 通达信函数是公式系统对数据的操作。它是基于许多函数组成的。该函数必须满足时不变性，即时间后的数据不影响时间前的结果。2、 行情函数：HIGH（H）是返回最高价；LOW（L）是返回周期最低价；CLOSE（C）是返回周期收盘价；VOL（V） 是返回周期成交量；OPEN（O）是返回周期开盘价；ADVANCE 是返回周期上涨家数；DECLINE是返回周期下跌家数；AMOUNT是返回周期成交额；VOLINSTK是返回周期持仓量；QHJSJ是返回周期期货结算价；BUYVOL是即时行情数据；SELVOL是返回外盘；ISBUYORDER是主动性买单。DHIGH是返回不定周期最高价；DOPEN是返回不定周期开盘价；DLOW是返回不定周期最低价；DCLOSE是返回不定周期收盘价；DVOL是返回不定周期成交量价；NAMELIKE是模糊股票名称。3、 时间函数：PERIOD是取得的周期类型；DATE是取得的周期的年月日；TIME是取得的周期的时分秒；YEAR是取得的周期的年份；MONTH是取得的周期的月份；WEEKDAY是取得的周期的星期数；DAY是取得的周期的日期；HOUR是取得的周期的小时数；MINUTE是取得的周期的分钟数；FROMOPEN是用来求当前时刻距开盘有多长时间的；TFILT过滤特定的指定的时间段；DATETODAY；DATETODAY返回天数；DAYTODATE是指转换日期；DAYTODATE(N)是指返回后第N天的日期；TIMETOSEC指的是当日秒数；TIMETOSEC指的是返回time时刻距0时有多长时间，以秒作为单位；SECTOTIME指的是转换时间；SECTOTIME(N)指的是返回0时后N秒是多少时间。4、 引用函数：DRAWNULL指的是无效数；BACKSET代表着向前赋值；BARSCOUNT指的是有效数据周期数；CURRBARSCOUNT 到最后交易日的周期数 求到最后交易日的周期数.用法: CURRBARSCOUNT 求到最后交易日的周期数；TOTALBARSCOUNT；BARSLAST；BARSSINCEN；COUNT(X，N)；DMA；HHVBARS5、 逻辑函数：CROSS；UPNDAY；EXIST；LAST6、 算术函数：NOT；IF；IFF；MAX；MIN7、 数学函数：ACOS；ASIN；ATAN；COS；SIN；TAN；EXP；LN；LOG；SQRT；ABS；POW；CEILING；FLOOR；INTPART；BETWEEN；FRACPART；ROUND；SIGN；MOD；RAND8、 统计函数：AVEDEV；DEVSQ；FORCAST；SLOPE；STD；STDP；VAR；VARP；RELATE；BETAEX9、 横向统计：BLOCKSETNUM；HORCALC；INSORT；INSUM10、 形态函数：COST；PEAK；PEAKBARS；SARTURN；TROUGHBARS；WINNER11、 大盘函数：INDEXA；INDEXADV；INDEXDEC；INDEXC；INDEXH；INDEXL；INDEXO；INDEXV12、 日线统计函数：TRADENUM；TRADEINNUM；TRADEOUTNUM；LARGETRDINNUM；LARGETRDOUTNUM；TICKCOUNT；TICKINCOUNT；TICKOUTCOUNT；LARGETICKCOUNT；LARGETICKINCOUNT；LARGETICKOUTCOUNT13、 绘图函数：PLOYLINE；DRAWLINE；DRAWKLINE；DRAWICON；DRAWTEXT；DRAWNUMBER；RGB14、 财务函数：FINANCE(1) ；FINANCE(2) ；FINANCE(3)；FINANCE(4)；FINANCE(5)；FINANCE(6)；FINANCE(7)15、 即时行情函数：DYNAINFO；DYNAINFO(4)；DYNAINFO(5)；DYNAINFO(6)；DYNAINFO(7)；DYNAINFO(8)；DYNAINFO(21)；DYNAI16、 交易函数：+；-；* ；/；<；>；<=；>=；=；!=；{；AND；OR；&&；||；$17、 线形和颜色：COLOR；COLORBLACK；COLORBLUE；COLORGREEN；COLORCYAN；COLORRED

#include<string.h>main(){char s[]="asdfghjklqwertyui";printf("字符串%s的最后一个有效字符是%c ",s,s[strlen(s)-1]);}

Len的操作对象是字符型，返回值是数值型，返回值就是操作对象的字符串长度。比如：data1为字符型变量，data为数值型变量，执行指令data=!Len(data1)后，data的值就是data1的字符串的长度。如果这里给data1赋值为“asdfg”，则data=5。如果给data1赋值为“qwertyui”，则data=8。望采纳。。。。

西安瑞德教育中心招生：举办日期:2007-10-20地点:陕西费用:300推荐度： ★☆☆☆☆浏览次数：86免费咨询热线：86-029-82083999 报名享受优惠折扣价格！红旗linux认证培训① 参加对象－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－有任何包括鼠标、菜单和图形用户界面计算机操作系统使用经验的用户② 课程目的－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－学习目标（Goal）1、熟练掌握红旗Linux Desktop的基本操作2、掌握资源的基本管理3、熟悉系统的Internet功能及使用4、能利用计算机完成一般的家庭及办公工作③ 课程内容－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－瑞德计算机教育中心是红旗Linux培训中心是经中科红旗软件技术有限公司授权的以红旗Linux培训认证考试服务一条龙为特色的培训中心和考试中心。红旗教育目的：是建立具有红旗品牌的认证教育体系。红旗的培训服务将面向广大使用红旗Linux的用户。红旗教育方向：提供高品质的应用技能培训与全面的后期技术支持，实现从用户出发面向客户，服务于客户的原则，使通过红旗培训的用户成为更容易、更高效的使用和掌握红旗产品的受益者。培训体系品质：全部课程均由中科红旗软件公司特派高级讲师任教；完善有效的教学管理，职业的教学方法，高品质的师资队伍和统一权威的教材、评测系统及实力雄厚的技术支持队伍，给你一个全新的感受。红旗Linux认证基本课程：1、课程RL001：红旗Linux桌面应用Red Flag Linux Desktop Application针对初次使用红旗Linux desktop的学员而编制，注重实用性，是Linux的一门入门课程。以常用的计算机功能为目标，主要介绍了桌面窗口的基本操作，简单的系统配置，文件及简单的文件系统管理，桌面窗口下的实用程序，Koffice的基本应用，以及Internet功能介绍。学习目标（Goal）1、熟练掌握红旗Linux Desktop的基本操作2、掌握资源的基本管理3、熟悉系统的Internet功能及使用4、能利用计算机完成一般的家庭及办公工作学员要求（）有任何包括鼠标、菜单和图形用户界面计算机操作系统使用经验的用户。2、课程RL002：红旗Linux用户基础Rex Flag Linux 针对从未使用过Linux或者UNIX 而且在任何在任何操作系统也没有命令系统使用经验并且想学会GUI和命令系统使用和定制自己的红旗Linux工作站的用户。本课程是系统管理员和网络管理员课程的基础课程。学习目标（Goal）1、能够定制个人的Red flag Linux2、熟悉常见的命令3、理解红旗Linux系统学员要求（P ）通过RL001红旗Linux桌面应用课程，或有任何包括鼠标、菜单和图形用户界面计算机操作系统使用经验的用户。3、课程式RL003：红旗Linux系统管理Red flag Linux System 本课程式针对于那些想在Red flag Linux上学习系统管理技术，掌握操作系统的定制，并达到会在现有网络上配属和设定网络的Linux用户。安装、维护、Shell 高级编程、系统优化、Samba 、Xwinkows(GNOME/KDE)、 Kernel、本地系统安全管理等学习目标（Goal）1、能够够执行系统管理任务诸如设备的安装；2、安装配置并链接一个新的Red flag Linux要作站到现有网络。课程对象（Audience）懂得Red flag Linux基础知识并期望接受进一步培训成为系统管理者的Linux或UNIX用户。学员要求（）通过红旗Linux用户基础课程或具备使用红旗Linux相等经验。4、课程RL004：红旗Linux网络管理Red flag Linux Network 本课程针对想要使用Red flag Linux学习设定常用网络服务管理的Linux-和/或UNIX-网络管理员。配置TCP/IP、LAN、Ethernet、路由及其协议、DNS、Apache&92;NFSamba Sedmail&92;PPP DHCP、MQXTTPGJEY PVWG、IPChains等学习目标（Goal）1、能够设置Red flag Linux服务器和配置基本网络服务，2、维护系统的安全性3、管理网络系统的正常运行课程对象（Audience）在Red flag Linux系统管理上已有一些实际经验并期望在网络服务和安全性上达到高等水平的Linux或UNIX系统管理人员。学员要求（）完成RL003红旗Linux系统管理课程或具备同等水平，LAN/WAN基础或同等水平。认证项目 考试认证费（参加培训）考试认证费（不参加培训）基础技能（RFSP）200元/人300元/人系统管理员（RCSA） 200元/人300元/人网络管理员（RCNA） 200元/人300元/人成绩合格者由红旗软件公司直接寄发相关证书及资料，并记入红旗人才信息库。指定的课程考试组都通过后，红旗软件公司直接寄发对应资格认证证书RAP或REC。

下面我写的程序成功画出了图形 效果图： 不过要用Turbo C 如果没有Turbo C 去这个链接看看 http://zhidao.baidu.com/question/152838487.html #include #include int isFilled(int x,int y,int width,int height) { if(x return 0; int x2 = x*3/width; int y2 = y*3/height; if(x2 == 1&&y2 == 1) return 1; x -= x2*width/3; y -= y2*height/3; return isFilled(x,y,width/3,height/3); } int main() { int gdriver = VGA, gmode = VGAHI; initgraph(&gdriver, &gmode, "C:\TC30\BGI"); int i,j; for(i = 1;i { for(j = 1;j { if(isFilled(i,j,300,300)) putpixel(i,j,BLACK); else putpixel(i,j,WHITE); } } getch(); }

ProviderManager去注册一下。IQProvider和ExtensionProvider

如果在父类的非默认构造函数初始化m_pSon=new Cson();在默认构造函数初始化：m_pSon=0；那就 可以正常调用了。如果在父类默认构造函数这样初始化：m_pSon=new Cson();按理来说是应该编译错误，就算编译不报错也应该运行出错，因为会进入一个死循环，不停的申请内存，直到系统崩溃，如果楼主是在默认函数里面这样写的，那么你运行1分钟看看，是不是死机。

函数共4个参数，格式是：=VLOOKUP(需要查找的值,被查找的区域,返回被查找区域的第几列数据,以精确还是模糊方式查找)如公式：=VLOOKUP(A1,B:C,2,0)该公式的意思就是以A1的值到被查找区域B:C的第一列即B列中查找(注意：A1的值必须要存在于第一列中)，找到后返回对应的C列的值，那个数字2就是代表B:C这个区域的第2列，也就是C列了。公式中最后的0代表精确查找的意思，就是要找到完全相同的，才算找到。如果把0改为1，则代表模糊查找。这个0其实可以省略，省略时默认就是0，但0前面的逗号不能省略。更为详细的解释可以百度：excel vlookup函数有一大堆相关的视频教程，比用文字的描述方式要容易理解得多。

具体步骤如下：首先在B2单元格中输入“=vlookup”即可启用vlookup函数。使用时需要按顺序输入四个数值，中间用英文逗号隔开。第一个是需要查找的值，这里填A2。第二个是被查找的数据表，这里填I:M。第三个是填充的列序数，输入2，第四个输入0即可精确匹配。这样即可填充需要的数据，通过拖动单元格右下角的“十字标”即可整列或整行填充。完成上述步骤即可学会使用vlookup函数。

vlookup函数：使用方法，以下便是vlookup函数，功能、语法和参数用法：excel函数vlookup。vlookup函数：查询参数。首先，选中F2单元格，然后在编辑栏输入函数公式：=VLOOKUP(E2，B：C)，第1个参数：E2，为要查询的值；第2个参数：B：C，为要查询的单元格区域；excel函数vlookup。vlookup函数：匹配参数。然后，输入VLOOKUP函数第3个参数：2，为查询区域的第2列；第4个参数：0，为匹配方式；并按回车键，即可返回【诸葛亮】的【身份证号码】。

VLOOKUP请参阅在表格或数值数组的首列查找指定的数值，并由此返回表格或数组当前行中指定列处的数值。当比较值位于数据表首列时，可以使用函数 VLOOKUP 代替函数 HLOOKUP。在 VLOOKUP 中的 V 代表垂直。语法VLOOKUP(lookup_value,table_array,col_index_num,range_lookup)Lookup_value 为需要在数组第一列中查找的数值。Lookup_value 可以为数值、引用或文本字符串。Table_array 为需要在其中查找数据的数据表。可以使用对区域或区域名称的引用，例如数据库或列表。如果 range_lookup 为 TRUE，则 table_array 的第一列中的数值必须按升序排列：…、-2、-1、0、1、2、…、-Z、FALSE、TRUE；否则，函数 VLOOKUP 不能返回正确的数值。如果 range_lookup 为 FALSE，table_array 不必进行排序。通过在“数据”菜单中的“排序”中选择“升序”，可将数值按升序排列。Table_array 的第一列中的数值可以为文本、数字或逻辑值。文本不区分大小写。Col_index_num 为 table_array 中待返回的匹配值的列序号。Col_index_num 为 1 时，返回 table_array 第一列中的数值；col_index_num 为 2，返回 table_array 第二列中的数值，以此类推。如果 col_index_num 小于 1，函数 VLOOKUP 返回错误值值 #VALUE!；如果 col_index_num 大于 table_array 的列数，函数 VLOOKUP 返回错误值 #REF!。Range_lookup 为一逻辑值，指明函数 VLOOKUP 返回时是精确匹配还是近似匹配。如果为 TRUE 或省略，则返回近似匹配值，也就是说，如果找不到精确匹配值，则返回小于 lookup_value 的最大数值；如果 range_value 为 FALSE，函数 VLOOKUP 将返回精确匹配值。如果找不到，则返回错误值 #N/A。说明如果函数 VLOOKUP 找不到 lookup_value，且 range_lookup 为 TRUE，则使用小于等于 lookup_value 的最大值。如果 lookup_value 小于 table_array 第一列中的最小数值，函数 VLOOKUP 返回错误值 #N/A。如果函数 VLOOKUP 找不到 lookup_value 且 range_lookup 为 FALSE，函数 VLOOKUP 返回错误值 #N/A。示例如果您将示例复制到空白工作表中，可能会更易于理解该示例。操作方法创建空白工作簿或工作表。请在“帮助”主题中选取示例。不要选取行或列标题。从帮助中选取示例。按 Ctrl+C。在工作表中，选中单元格 A1，再按 Ctrl+V。若要在查看结果和查看返回结果的公式之间切换，请按 Ctrl+`（重音符），或在“工具”菜单上，指向“公式审核”，再单击“公式审核模式”。该示例使用 1 个大气压的空气值。12345678910ABC密度粘度温度.457 3.55 500 .525 3.25 400 .616 2.93 300 .675 2.75 250 .746 2.57 200 .835 2.38 150 .946 2.17 100 1.09 1.95 50 1.29 1.71 0 公式说明（结果）=VLOOKUP(1,A2:C10,2) 在 A 列中查找 1，并从相同行的 B 列中返回值 (2.17) =VLOOKUP(1,A2:C10,3,TRUE) 在 A 列中查找 1，并从相同行的 C 列中返回值 (100) =VLOOKUP(.7,A2:C10,3,FALSE) 在 A 列中查找 0.746。因为 A 列中没有精确地匹配，所以返回了一个错误值 (#N/A) =VLOOKUP(0.1,A2:C10,2,TRUE) 在 A 列中查找 0.1。因为 0.1 小于 A 列的最小值，所以返回了一个错误值 (#N/A) =VLOOKUP(2,A2:C10,2,TRUE) 在 A 列中查找 2，并从相同行的 B 列中返回值 (1.71)

1、首先需要在单元格中先输入=，再输入VLOOKUP函数。2、然后选择函数的第一个数据，直接用鼠标左键选择前面的一个单元格。3、第一个数值选择完成之后，开始选择第二个数值，然后用鼠标直接选中这个区域。4、接着填写第三个数值，因为我们要查询第三列数据，所以我们输入数字3。5、最后一个数值让我们选择是近似匹配，选择精确匹配。6、函数输入完成之后，通过点击键盘上面的回车键，就可以看到精确的匹配苹果的数量。

具体步骤如下：首先在B2单元格中输入“=vlookup”即可启用vlookup函数。使用时需要按顺序输入四个数值，中间用英文逗号隔开。第一个是需要查找的值，这里填A2。第二个是被查找的数据表，这里填I:M。第三个是填充的列序数，输入2，第四个输入0即可精确匹配。这样即可填充需要的数据，通过拖动单元格右下角的“十字标”即可整列或整行填充。完成上述步骤即可学会使用vlookup函数。

vlookup函数的使用方法及实例，操作如下：操作环境：戴尔灵越5000、Windows10、WPS Office 11.1.0.11045等。1、VLOOKUP函数【一对多查询】：查询员工职务。函数公式：=VLOOKUP（E2，A：B，2，0）。使用方法：先选中F2单元格，并在编辑栏输入函数公式：=VLOOKUP；然后输入VLOOKUP函数第1个参数：E2，为员工的姓名；第2个参数：A：B单元格区域，为查询区域；第3个参数：2，代表查询区域第2列；第4个参数：0，代表精确匹配；最后按回车键结束确认，即可用VLOOKUP函数，查询出员工【貂蝉】的职务：【员工】。2、VLOOKUP函数【正序查询】：查询员工月薪。函数公式：=VLOOKUP（E2，A：B，3，0）。使用方法：按照上述方法，只需要把VLOOKUP函数：第3个参数改为3；因为月薪在查询区域的第3列，而不是第2列。3、VLOOKUP函数【逆序查询】：从右至左查询。函数公式：=VLOOKUP（E2，IF，1，0，B2：B9，A2：A9，2，0）。使用方法：VLOOKUP函数虽然只支持正序查询，但是可以借助：IF函数，重置查询区域，即可实现逆序查询的效果。4、VLOOKUP函数【通配符查询】：查询吕姓员工的职务。函数公式：=VLOOKUP（E2，A：C，2，0）。使用方法：E2单元格中的？是通配符，代表任意一个字符；配合VLOOKUP函数，便可查询出A列姓氏为吕的职务。5、VLOOKUP函数【错误值查询】：无员工信息时提示错误信息。函数公式：=IFERROR（VLOOKUP（E2，A2:C9，2，0），“未查询到此员工，请确认！”）使用方法：公式中的IFERROR函数，作用是姓名不在查询范围时，输出提示文本：未查询到此员工，请确认！

查找函数vlookup用法如下：首先需打开表格，在A1、B9输入需要查找的区间(公式中的table_array)，在D1-D4中输入表示要查找的对象（公式中的lookup_value)，现要我们查找D1对应的数值。然后依次点击上方菜单栏的公式-查找与运用-vlookup等选项功能。在vlookup界面中第一栏选D1，第二栏选中A1、B9，第三栏输入2(表示引用的是A1、B9区域的第2列)，第四栏输入1，设置好之后点击确定。这时在E1中，就可以看到D1中的I对应的18被引用出来了。

VLOOKUP是一个查找函数，给定一个查找的目标，它就能从指定的查找区域中查找返回想要查找到的值。它的基本语法为：VLOOKUP（查找目标，查找范围，返回值的列数，精确OR模糊查找)下面以一个实例来介绍一下这四个参数的使用 例1：如下图所示，要求根据表二中的姓名，查找姓名所对应的年龄。 公式：B13 =VLOOKUP(A13,$B$2:$D$8,3,0) 参数说明：1 查找目标：就是你指定的查找的内容或单元格引用。本例中表二A列的姓名就是查找目标。要根据表二的“姓名”在表一中A列进行查找。 公式：B13 =VLOOKUP(A13,$B$2:$D$8,3,0) 2 查找范围（VLOOKUP(A13,$B$2:$D$8,3,0) ）：指定了查找目标，如果没有说从哪里查找，EXCEL肯定会很为难。所以下一步就要指定从哪个范围中进行查找。VLOOKUP的这第二个参数可以从一个单元格区域中查找，也可以从一个常量数组或内存数组中查找。本例中要从表一中进行查找，那么范围要怎么指定呢？这里也是极易出错的地方。大家一定要注意，给定的第二个参数查找范围要符合以下条件才不会出错： A 查找目标一定要在该区域的第一列。本例中查找表二的姓名，那么姓名所对应的表一的姓名列，那么表一的姓名列（列）一定要是查找区域的第一列。象本例中，给定的区域要从第二列开始，即$B$2:$D$8，而不能是$A$2:$D$8。因为查找的“姓名”不在$A$2:$D$8区域的第一列。 B 该区域中一定要包含要返回值所在的列，本例中要返回的值是年龄。年龄列（表一的D列）一定要包括在这个范围内，即：$B$2:$D$8，如果写成$B$2:$C$8就是错的。3 返回值的列数（B13 =VLOOKUP(A13,$B$2:$D$8,3,0)）。这是VLOOKUP第3个参数。它是一个整数值。它怎么得来的呢。它是“返回值”在第二个参数给定的区域中的列数。本例中要返回的是“年龄”，它是第二个参数查找范围$B$2:$D$8的第3列。这里一定要注意，列数不是在工作表中的列数（不是第4列），而是在查找范围区域的第几列。如果本例中要是查找姓名所对应的性别，第3个参数的值应该设置为多少呢。答案是2。因为性别在$B$2:$D$8的第2列中。

VLOOKUP函数在表格或数值数组的首列查找指定的数值，并由此返回表格或数组中该数值所在行中指定列处的数值。这里所说的“数组”，可以理解为表格中的一个区域。数组的列序号：数组的“首列”，就是这个区域的第一纵列，此列右边依次为第2列、3列……。假定某数组区域为B2:E10，那么，B2:B10为第1列、C2:C10为第2列……。语法：VLOOKUP（查找值，区域，列序号，逻辑值）“查找值”：为需要在数组第一列中查找的数值，它可以是数值、引用或文字符串。“区域”：数组所在的区域，如“B2:E10”，也可以使用对区域或区域名称的引用，例如数据库或数据清单。“列序号”：即希望区域（数组）中待返回的匹配值的列序号，为1时，返回第一列中的数值，为2时，返回第二列中的数值，以此类推；若列序号小于1，函数VLOOKUP 返回错误值 #VALUE!；如果大于区域的列数，函数VLOOKUP返回错误值 #REF!。“逻辑值”：为TRUE或FALSE。它指明函数 VLOOKUP 返回时是精确匹配还是近似匹配。如果为 TRUE 或省略，则返回近似匹配值，也就是说，如果找不到精确匹配值，则返回小于“查找值”的最大数值；如果“逻辑值”为FALSE，函数 VLOOKUP 将返回精确匹配值。如果找不到，则返回错误值 #N/A。如果“查找值”为文本时，“逻辑值”一般应为 FALSE 。另外：·如果“查找值”小于“区域”第一列中的最小数值，函数 VLOOKUP 返回错误值 #N/A。·如果函数 VLOOKUP 找不到“查找值” 且“逻辑值”为 FALSE，函数 VLOOKUP 返回错误值 #N/A。下面举例说明VLOOKUP函数的使用方法。假设在Sheet1中存放小麦、水稻、玉米、花生等若干农产品的销售单价： A B1 农产品名称 单价2 小麦 0.563 水稻 0.484 玉米 0.395 花生 0.51…………………………………100 大豆 0.45Sheet2为销售清单，每次填写的清单内容不尽相同：要求在Sheet2中输入农产品名称、数量后，根据Sheet1的数据，自动生成单价和销售额。设下表为Sheet2： A B C D 1 农产品名称 数量 单价 金额 2 水稻 1000 0.48 480 3 玉米 2000 0.39 780 ………………………………………………… 在D2单元格里输入公式：=C2*B2 ；在C2单元格里输入公式：=VLOOKUP（A2，Sheet1!A2:B100，2，FALSE） 。如用语言来表述，就是：在Sheet1表A2:B100区域的第一列查找Sheet2表单元格A2的值，查到后，返回这一行第2列的值。这样，当Sheet2表A2单元格里输入的名称改变后，C2里的单价就会自动跟着变化。当然，如Sheet1中的单价值发生变化，Sheet2中相应的数值也会跟着变化。其他单元格的公式，可采用填充的办法写入。VLOOKUP函数使用注意事项说到VLOOKUP函数，相信大家都会使用，而且都使用得很熟练了。不过，有几个细节问题，大家在使用时还是留心一下的好。一．VLOOKUP的语法VLOOKUP函数的完整语法是这样的：VLOOKUP(lookup_value,table_array,col_index_num,range_lookup)1．括号里有四个参数，是必需的。最后一个参数range_lookup是个逻辑值，我们常常输入一个0字，或者False;其实也可以输入一个1字，或者true。两者有什么区别呢？前者表示的是完整寻找，找不到就传回错误值＃N/A；后者先是找一模一样的，找不到再去找很接近的值，还找不到也只好传回错误值＃N/A。这对我们其实也没有什么实际意义，只是满足好奇而已，有兴趣的朋友可以去体验体验。2．Lookup_value是一个很重要的参数，它可以是数值、文字字符串、或参照地址。我们常常用的是参照地址。用这个参数时，有两点要特别提醒：A）参照地址的单元格格式类别与去搜寻的单元格格式的类别要一致，否则的话有时明明看到有资料，就是抓不过来。特别是参照地址的值是数字时，最为明显，若搜寻的单元格格式类别为文字，虽然看起来都是123，但是就是抓不出东西来的。而且格式类别在未输入数据时就要先确定好，如果数据都输入进去了，发现格式不符，已为时已晚，若还想去抓，则需重新输入。B）第二点提醒的，是使用时一个方便实用的小技巧，相信不少人早就知道了的。我们在使用参照地址时，有时需要将lookup_value的值固定在一个格子内，而又要使用下拉方式（或复制）将函数添加到新的单元格中去，这里就要用到“$”这个符号了，这是一个起固定作用的符号。比如说我始终想以D5格式来抓数据，则可以把D5弄成这样：$D$5，则不论你如何拉、复制，函数始终都会以D5的值来抓数据。3．Table_array是搜寻的范围，col_index_num是范围内的栏数。Col_index_num 不能小于1，其实等于1也没有什么实际用的。如果出现一个这样的错误的值#REF!，则可能是col_index_num的值超过范围的总字段数。二．VLOOKUP的错误值处理。我们都知道，如果找不到数据，函数总会传回一个这样的错误值#N/A，这错误值其实也很有用的。比方说，如果我们想这样来作处理：如果找到的话，就传回相应的值，如果找不到的话，我就自动设定它的值等于0，那函数就可以写成这样：=if(iserror(vlookup(1,2,3,0))=true,0,vlookup(1,2,3,0))这句话的意思是这样的：如果VLOOKUP函数返回的值是个错误值的话（找不到数据），就等于0，否则，就等于VLOOKUP函数返回的值（即找到的相应的值）。这里面又用了两个函数。第一个是iserror函数。它的语法是iserror(value)，即判断括号内的值是否为错误值，如果是，就等于true，不是，就等于false。第二个是if函数，这也是一个常用的函数的，后面有机会再跟大家详细讲解。它的语法是if(条件判断式，结果1，结果2)。如果条件判断式是对的，就执行结果1，否则就执行结果2。举个例子：=if(D2="","空的","有东西")，意思是如D2这个格子里是空的值，就显示文字“空的”，否则，就显示“有东西”。（看起来简单吧？其实编程序，也就是这样子判断来判断去的。）三．含有VLOOKUP函数的工作表档案的处理。一般来说，含有VLOOKUP函数的工作表，如果又是在别的档案里抓取数据的话，档案往往是比较大的。尤其是当你使用的档案本身就很大的时候，那每次开启和存盘都是很受伤的事情。有没有办法把文件压缩一下，加快开启和存盘的速度呢。这里提供一个小小的经验。在工作表里，点击工具——选项——计算，把上面的更新远程参照和储存外部连结的勾去掉，再保存档案，则会加速不少，不信你可以试试。下面详细的说一下它的原理。1．含有VLOOKUP函数的工作表，每次在保存档案时，会同时保存一份其外部连结的档案。这样即使在单独打开这个工作表时，VLOOKUP函数一样可以抓取到数值。2．在工作表打开时，微软会提示你，是否要更新远程参照。意思是说，你要不要连接最新的外部档案，好让你的VLOOKUP函数抓到最新的值。如果你有足够的耐心，不妨试试。3．了解到这点，我们应该知道，每次单独打开含有VLOOKUP函数的工作表时，里面抓取外部档案的数值，只是上次我们存盘时保存的值。若要连结最新的值，必须要把外部档案同时打开。

具体步骤如下：首先在B2单元格中输入“=vlookup”即可启用vlookup函数。使用时需要按顺序输入四个数值，中间用英文逗号隔开。第一个是需要查找的值，这里填A2。第二个是被查找的数据表，这里填I:M。第三个是填充的列序数，输入2，第四个输入0即可精确匹配。这样即可填充需要的数据，通过拖动单元格右下角的“十字标”即可整列或整行填充。完成上述步骤即可学会使用vlookup函数。

VLOOKUP是一个查找函数，给定一个查找的目标，它就能从指定的查找区域中查找返回想要查找到的值。它的基本语法为：VLOOKUP（查找目标，查找范围，返回值的列数，精确OR模糊查找)下面以一个实例来介绍一下这四个参数的使用例1：如下图所示，要求根据表二中的姓名，查找姓名所对应的年龄。公式：B13 =VLOOKUP(A13,$B$2:$D$8,3,0)参数说明：1、查找目标：就是你指定的查找的内容或单元格引用。本例中表二A列的姓名就是查找目标。要根据表二的“姓名”在表一中A列进行查找。公式：B13 =VLOOKUP(A13,$B$2:$D$8,3,0) 2、查找范围（VLOOKUP(A13,$B$2:$D$8,3,0) ）：指定了查找目标，如果没有说从哪里查找，EXCEL肯定会很为难。所以下一步就要指定从哪个范围中进行查找。VLOOKUP的这第二个参数可以从一个单元格区域中查找，也可以从一个常量数组或内存数组中查找。本例中要从表一中进行查找，那么范围要怎么指定呢？这里也是极易出错的地方。大家一定要注意，给定的第二个参数查找范围要符合以下条件才不会出错：A 查找目标一定要在该区域的第一列。本例中查找表二的姓名，那么姓名所对应的表一的姓名列，那么表一的姓名列（列）一定要是查找区域的第一列。象本例中，给定的区域要从第二列开始，即$B$2:$D$8，而不能是$A$2:$D$8。因为查找的“姓名”不在$A$2:$D$8区域的第一列。B 该区域中一定要包含要返回值所在的列，本例中要返回的值是年龄。年龄列（表一的D列）一定要包括在这个范围内，即：$B$2:$D$8，如果写成$B$2:$C$8就是错的。3、返回值的列数（B13 =VLOOKUP(A13,$B$2:$D$8,3,0)）。这是VLOOKUP第3个参数。它是一个整数值。它怎么得来的呢。它是“返回值”在第二个参数给定的区域中的列数。本例中要返回的是“年龄”，它是第二个参数查找范围$B$2:$D$8的第3列。这里一定要注意，列数不是在工作表中的列数（不是第4列），而是在查找范围区域的第几列。如果本例中要是查找姓名所对应的性别，第3个参数的值应该设置为多少呢。答案是2。因为性别在$B$2:$D$8的第2列中。

公式：=VLOOKUP(条件1：条件2,IF({1,0},$条件1区域$：$条件2区域$,返回列),2,0)。注意：最后一定要同时按住ctrl shift 回车 三键。具体操作方法如下：1、VLOOKUP公式中的条件1：条件2,意思是将两个单元格连在一起作为整体进行查找。图中即为：F2:G2。2、VLOOKUP公式中的$条件1区域$：$条件2区域$，意思是将业务类型和订单编号作为整体。即图中：$A$2:$B$9（使用$锁定区域-绝对引用）。3、VLOOKUP公式中的IF({1,0},$条件1区域$：$条件2区域$,返回列)，意思是将业务类型和订单编号作为整体和计划到货日期并为两列。即为：IF({1,0},$A$2:$B$9,$C$2:$C$9)4、然后我们根据公式VLOOKUP(条件1：条件2,IF({1,0},$条件1区域$：$条件2区域$,返回列),2,0)。在H2单元格内录入此公式=VLOOKUP(F2：G2,IF({1,0},$A2$：$B9$,$C$2:$C$9),2,0)。5、最后同时按住ctrl、shift、回车三键，OK。

首先在B2单元格中输入“=vlookup”即可启用vlookup函数。使用时需要按顺序输入四个数值，中间用英文逗号隔开。第一个是需要查找的值，这里填A2。第二个是被查找的数据表，这里填I:M。第三个是填充的列序数，输入2，第四个输入0即可精确匹配。这样即可填充需要的数据，通过拖动单元格右下角的“十字标”即可整列或整行填充。完成上述步骤即可学会使用vlookup函数。vlookup函数的使用方法及实例（一）vlookup 的作用：vlookup 用于查找指定值所对应的另一个值。例如：查找某件产品的价格，某个同学的某科成绩等。（二）vlookup 函数表示：=vlookup（要查找的值，查找区域，返回值所在列号，精确匹配或近似匹配）参数说明：1、要查找的值：可以引用单元格的值，例如 B6;也可以直接输入，例如“红色T恤”。2、查找区域：用于指定查找范围，例如 A2:D10。3、返回值所在列号：用于指定返回值在哪列，列号开始必须从指定范围算起;例如指定范围为 B2:E8，则 B 列为第一列，若返回值所在列号为 3，则从 D列中返回值。4、精确匹配或近似匹配：精确匹配用 0 或 False 表示;近似匹配用 1 或 True 表示;为“可选”项，即可填可不填;若不填，则默认值为近似匹配。（三）vlookup 函数使用方法：1、基本用法参数介绍VLOOKUP（找什么，在哪找，找到后返回其右侧对应的第几列数据，精确还是模糊查找）vlookup函数的使用方法及实例（一）vlookup 的作用：vlookup 用于查找指定值所对应的另一个值。例如：查找某件产品的价格，某个同学的某科成绩等。（二）vlookup 函数表示：=vlookup（要查找的值，查找区域，返回值所在列号，精确匹配或近似匹配）参数说明：1、要查找的值：可以引用单元格的值，例如 B6;也可以直接输入，例如“红色T恤”。2、查找区域：用于指定查找范围，例如 A2:D10。3、返回值所在列号：用于指定返回值在哪列，列号开始必须从指定范围算起;例如指定范围为 B2:E8，则 B 列为第一列，若返回值所在列号为 3，则从 D列中返回值。4、精确匹配或近似匹配：精确匹配用 0 或 False 表示;近似匹配用 1 或 True 表示;为“可选”项，即可填可不填;若不填，则默认值为近似匹配。（三）vlookup 函数使用方法：1、基本用法参数介绍VLOOKUP（找什么，在哪找，找到后返回其右侧对应的第几列数据，精确还是模糊查找）

具体步骤如下：首先在B2单元格中输入“=vlookup”即可启用vlookup函数。使用时需要按顺序输入四个数值，中间用英文逗号隔开。第一个是需要查找的值，这里填A2。第二个是被查找的数据表，这里填I:M。第三个是填充的列序数，输入2，第四个输入0即可精确匹配。这样即可填充需要的数据，通过拖动单元格右下角的“十字标”即可整列或整行填充。完成上述步骤即可学会使用vlookup函数。

查找一个品名在另一个表里对应的值。可以看下图：公式：=VLOOKUP(D6,G:I,3,0)要查找D6单元格“李四”在右边表的值，引用的区域是：G：I，取这个区域第三列中李四的值。如果列数变了，区域和数字3要随着变。如下图：公式 ：=VLOOKUP(D6,G:M,7,0)

关于VLOOKUP函数的用法“Lookup”的汉语意思是“查找”，在Excel中与“Lookup”相关的函数有三个：VLOOKUP、HLOOKUO和LOOKUP。下面介绍VLOOKUP函数的用法。一、功能在表格的首列查找指定的数据，并返回指定的数据所在行中的指定列处的数据。二、语法标准格式：VLOOKUP(lookup_value,table_array,col_index_num , range_lookup)三、语法解释VLOOKUP(lookup_value,table_array,col_index_num,range_lookup)可以写为：VLOOKUP(需在第一列中查找的数据,需要在其中查找数据的数据表,需返回某列值的列号,逻辑值True或False)1.Lookup_value为“需在数据表第一列中查找的数据”，可以是数值、文本字符串或引用。2.Table_array 为“需要在其中查找数据的数据表”，可以使用单元格区域或区域名称等。⑴如果 range_lookup 为 TRUE或省略，则 table_array 的第一列中的数值必须按升序排列，否则，函数 VLOOKUP 不能返回正确的数值。如果 range_lookup 为 FALSE，table_array 不必进行排序。⑵Table_array 的第一列中的数值可以为文本、数字或逻辑值。若为文本时，不区分文本的大小写。3.Col_index_num 为table_array 中待返回的匹配值的列序号。Col_index_num 为 1 时，返回 table_array 第一列中的数值；Col_index_num 为 2 时，返回 table_array 第二列中的数值，以此类推。如果Col_index_num 小于 1，函数 VLOOKUP 返回错误值 #VALUE!；如果Col_index_num 大于 table_array 的列数，函数 VLOOKUP 返回错误值 #REF!。4.Range_lookup 为一逻辑值，指明函数 VLOOKUP 返回时是精确匹配还是近似匹配。如果为 TRUE 或省略，则返回近似匹配值，也就是说，如果找不到精确匹配值，则返回小于lookup_value 的最大数值；如果 range_value 为 FALSE，函数 VLOOKUP 将返回精确匹配值。如果找不到，则返回错误值 #N/A。四、应用例子 A B C D1 编号 姓名 工资 科室2 2005001 周杰伦 2870 办公室3 2005002 萧亚轩 2750 人事科4 2005006 郑智化 2680 供应科5 2005010 屠洪刚 2980 销售科6 2005019 孙楠 2530 财务科7 2005036 孟庭苇 2200 工 会A列已排序（第四个参数缺省或用TRUE）VLOOKUP(2005001,A1:D7,2,TRUE) 等于“周杰伦” VLOOKUP(2005001,A1:D7,3,TRUE) 等于“2870” VLOOKUP(2005001,A1:D7,4,TRUE) 等于“办公室” VLOOKUP(2005019,A1:D7,2,TRUE) 等于“孙楠” VLOOKUP(2005036,A1:D7,3,TRUE) 等于“2200” VLOOKUP(2005036,A1:D7,4,TRUE) 等于“工 会” VLOOKUP(2005036,A1:D7,4) 等于“工 会” 若A列没有排序，要得出正确的结果，第四个参数必须用FALAEVLOOKUP(2005001,A1:D7,2,FALSE) 等于“周杰伦” VLOOKUP(2005001,A1:D7,3,FALSE) 等于“2870” VLOOKUP(2005001,A1:D7,4,FALSE) 等于“办公室” VLOOKUP(2005019,A1:D7,2,FALSE) 等于“孙楠” VLOOKUP(2005036,A1:D7,3,FALSE) 等于“2200” VLOOKUP(2005036,A1:D7,4,FALSE) 等于“工 会” 五、关于TRUE和FALSE的应用先举个例子，假如让你在数万条记录的表格中查找给定编号的某个人，假如编号已按由小到大的顺序排序，你会很轻松地找到这个人；假如编号没有排序，你只好从上到下一条一条地查找，很费事。用VLOOKUP查找数据也是这样，当第一列已排序，第四个参数用TRUE（或确省），Excel会很轻松地找到数据，效率较高。当第一列没有排序，第四个参数用FALSE，Excel会从上到下一条一条地查找，效率较低。笔者觉得，若要精确查找数据，由于计算机运算速度很快，可省略排序操作，直接用第四个参数用FALSE即可。

方法如下：操作设备：戴尔笔记本电脑操作系统：win10操作程序：表格 2.0121、打开表格，这是表1的数据。如图所示：2、需要使用vlookup函数匹配表2中的年龄。如图所示：3、接着，输入公式special ＝ VLOOKUP（A18，Sheet1！is ＄ A ＄ 19：＄ B ＄ 23，2，0）。如图所示：4、最后，下拉并复制公式即可得出相应的结果。如图所示：

具体步骤如下：首先在B2单元格中输入“=vlookup”即可启用vlookup函数。使用时需要按顺序输入四个数值，中间用英文逗号隔开。第一个是需要查找的值，这里填A2。第二个是被查找的数据表，这里填I:M。第三个是填充的列序数，输入2，第四个输入0即可精确匹配。这样即可填充需要的数据，通过拖动单元格右下角的“十字标”即可整列或整行填充。完成上述步骤即可学会使用vlookup函数。

具体步骤如下：首先在B2单元格中输入“=vlookup”即可启用vlookup函数。使用时需要按顺序输入四个数值，中间用英文逗号隔开。第一个是需要查找的值，这里填A2。第二个是被查找的数据表，这里填I:M。第三个是填充的列序数，输入2，第四个输入0即可精确匹配。这样即可填充需要的数据，通过拖动单元格右下角的“十字标”即可整列或整行填充。完成上述步骤即可学会使用vlookup函数。

具体步骤如下：首先在B2单元格中输入“=vlookup”即可启用vlookup函数。使用时需要按顺序输入四个数值，中间用英文逗号隔开。第一个是需要查找的值，这里填A2。第二个是被查找的数据表，这里填I:M。第三个是填充的列序数，输入2，第四个输入0即可精确匹配。这样即可填充需要的数据，通过拖动单元格右下角的“十字标”即可整列或整行填充。完成上述步骤即可学会使用vlookup函数。

说明为什么绝对值的极限是0，原函数极限就是0.设原函数为f（x，y）（实在不想写那么复杂的式子。）方法2证明出来了当x→0，y→0时，|f（x，y）|的极限是0那么lim（x→0，y→0）（-|f（x，y）|）=-lim（x→0，y→0）|f（x，y）|=-0=0而-|f（x，y）|≤f（x，y）≤|f（x，y）|所以再次根据夹逼定理，得到lim（x→0，y→0）f（x，y）=0

夹逼定理应用原理是不等号两边趋于极限点时极限存在有限，那么这个极限值就是不等号中间部分在极限点的极值应用要求首先就是这个多元函数的极限是存在有限的，其次就是能够找到两个夹逼函数

1、参考代码 String s = "sssfdewsgtrejyee"; char f = "s"; AtomicInteger sum = new AtomicInteger(); IntStream.range(0,s.length()) .forEach(i->{ if (s.charAt(i) == "s") sum.addAndGet(1); }); System.out.println(sum.get());

#include <string.h>#include <stdio.h>#define M 81int fun( char *ss, char *s ){ int count=0;//计数 int f=1; for(int i=0;i<strlen(ss);i++) if(strlen(ss)-i<strlen(s))//到最后，剩余的长度不够子串s的长度了，肯定不相同，退出循环 break; else { f=1; for(int j=i,k=0;j<i+strlen(s);j++,k++)//每次循环母串ss截取子串s的长的字符 ，与子串s比较 if(ss[j]!=s[k])//有一个不相同的 f=0;//f赋值0； if(f==1)//f==1说明截取的字符串与子串相同 count++;//计数器加1 } return count;}int main(){char a[M]="1231231", s[M]="12";printf( " Please enter a string:" );gets(a);printf( " Please enter a substring:" );gets(s);printf( " The counts is: %d ", fun( a, s ) );}

《现代密码学》流密码的流密钥产生器可以通过线性驱动和非线性组合两部分来实现。而线性驱动部分可以由线性反馈移位寄存器（LFSR）来实现。一、线性反馈移位寄存器（LFSR）引入1、移位寄存器：移位寄存器（Shift Register，SR）曾在SM4中提到过，是指有若干个寄存器排成一行，每个寄存器中都存储着一个二进制数（0或1）。移位寄存器每次把最右端（末端）的数字输出，然后整体向右移动一位。假设一个5位移位寄存器中存储着数据10110，则不断移位、输出的效果如图所示：图9-1 移位寄存器示意图2、反馈移位寄存器：在移位寄存器向右移位一位以后，左边就会空出一位（如上图所示），这时如果采用一个反馈函数，以寄存器中已有的某些序列作为反馈函数的输入，在函数中经过一定的运算后，将反馈函数输出的结果填充到移位寄存器的最左端，那么这样的移位寄存器就会有源源不断的输出。这样的，拥有反馈函数的移位寄存器称为反馈移位寄存器（Feedback Shift Register，FSR）图9-2 反馈移位寄存器示意图3、线性反馈移位寄存器：如果反馈移位寄存器的反馈函数是线性函数（即只进行简单线性运算的函数），那么这种寄存器就被称为线性反馈移位寄存器（Linear Feedback Shift Register，LFSR）。二、线性反馈移位寄存器（LFSR）、m序列1、LFSR的反馈函数：LFSR的反馈函数就是简单地对移位寄存器中的某些位进行异或，并将异或的结果填充到LFSR的最左端，如图所示。对于LFSR中每一位的数据，可以参与异或，也可以不参与异或。其中，我们把参与异或的位称为抽头。图9-3 线性反馈移位寄存器示意图如果移位寄存器中的值为 ，则第n+1位的值可以表示为 ，其中 表示移位寄存器中的数据（0或1）； 表示第i位是否是抽头，如果是，则 ，表示该位将参与运算；如果不是，则 ，表示该位将不参与运算。上式表示了LFSR的一种递推关系，在这个式子中，可以明显看出， 将抽头位选出并留下来参与运算，并且将不是抽头的位剔除掉。2、LFSR的级数：我们通常把LFSR中的寄存器个数称为LFSR的级数。一个3级的LFSR最多同时存放3位的数据，如下图所示：图9-4 一个3级LFSR补充：状态的概念：一个LFSR寄存器中当前存储的序列被称为一个状态。在LFSR输出一位，由反馈函数补充一位后，LFSR就移动到了下一个状态。一个n级的LFSR最多只能存储 种状态（为什么要减1？这里是减去了LFSR中全为0的情况。因为当LFSR中只有000时，这是反馈函数反馈回的值也永远是0，输出序列将一直是0。这是不可用的，因此要减1）例如，一个3级LFSR最多可以遍历001，010，011，100，101，110，111共7种状态。3、LFSR的特征多项式：如果一个LFSR的第n+1位可以表示为 （即上文提到的递推关系），则这个递推关系可以对应一个特征多项式 ，（这里的 与上文的 相同），即只保留抽头位次项，最后还要加1.例：对于上图9-4中的3级LFSR，其反馈函数为 ，则其特征多项式为 4、LFSR的周期：同大多数密钥流产生器一样，LFSR也具有周期。由于一个n级LFSR最多只能遍历 种状态，因此，当LFSR移位到一定程度时，一定会出现重复的状态。而相同状态生成的反馈函数结果总是相同的，因此，LFSR会陷入一种循环，即LFSR存在周期。可以明显看出，LFSR的周期与其反馈函数有很密切的关系，反馈函数决定了LFSR的循环序列。我们先引入阶的概念：假设 是 上的多项式，使 成立的最小的n即为这个多项式的阶。（这里的n与上文提到的级数n不是一回事）阶往往也被称为周期。如下图所示，有 ，故 的周期为5.图9-5 特征多项式的阶反馈函数特征多项式的阶，就是LFSR产生序列的周期（证明略）。例如：对于图9-5中的特征多项式，其对应的LFSR和反馈函数如图9-6所示。图9-5说明了该特征多项式的阶为5，则可以验证发现，图9-6中LFSR的周期也为5（假设初始状态为0001）。（可以看出，图中状态的周期为5，输出的周期也为5）图9-6 LFSR的周期5、m序列：为了能够产生足够安全的密钥，我们通常要求LFSR的周期能够足够大。上文提到，一个n级LFSR最多只能遍历 个状态，这也就是说，一个n级LFSR的最大周期就是 。我们把周期为 的LFSR所生成的序列称为m序列。6、本原多项式：m序列LFSR反馈函数对应的特征多项式被称为本原多项式。很明显，n级m序列LFSR的本原多项式的阶一定为 。同理，如果一个n级LFSR的特征多项式的阶为 ，则这个多项式为本源多项式，并且这个LFSR生成的序列为m序列。例如，对于一个3级LFSR，如果其反馈函数为 ，特征多项式为 ，则有 ，其阶为7，与 相等。因此这个LFSR的周期为7，其特征多项式为本原多项式，其生成的序列为m序列。如图所示：图9-7 m序列举例三、对线性反馈移位寄存器（LFSR）的密钥流攻击只使用LFSR来产生密钥是非常不安全的。下文将在几种情况下说明LFSR的易攻破性。1、已知LFSR的反馈函数和级数n：在这种情况下，如果破译者已知连续n位明文 ，和其对应的n位密文 ，则可以计算得出n位密钥 。这时，就已知了LFSR的一个状态，再根据反馈函数，即可计算出LFSR的全部密钥流，从而破解LFSR。2、未知LFSR的反馈函数，但已知其级数n：尽管这时我们失去了反馈函数的信息，但我们仍然可以拦截其连续2n位的明文 ，和其对应的2n位的密文 ，得到2n位的密钥 。在这2n个密钥中，蕴含着LFSR的n+1种状态，分别为 ， ， ，......， 。这些状态之间存在着相互的递推关系，例如 就是由 计算出来的。以此类推， 是由 计算出来的。由此，我们可以得出n个线性方程，构成一个线性方程组，如下图所示。其中 表示LFSR中该位是否是抽头，如果是抽头，则 ；如果不是抽头，则 。图9-8 状态之间的线性方程组由这个线性方程组（n个方程，n个未知数），可以唯一解出n个 的值。由此，我们可以得知LFSR中哪些位是抽头，也就可以确定LFSR的反馈函数了。从而，我们可以使用1中的方法，攻破LFSR。3、未知LFSR的反馈函数，也未知LFSR的级数n：这时，我们不知道具体的反馈函数，也不知道其级数n，这就需要我们对截获的明密文序列获得的密钥序列进行分析。如果求得的密钥序列有明显的周期，那么这个密钥序列一定是LFSR的生成序列，并且由周期，我们可以得出其级数n，并且确定其反馈函数。我们把一个序列的最小周期称为它的线性复杂度。我们对序列密码的分析，即为求其线性复杂度和极小多项式。通常把线性复杂度和极小多项式称为这个序列的线性综合解。一般来说，LFSR的线性复杂度越大，越不容易破解。但是LFSR的线性复杂度也不能太大，否则影响计算速度。另外，还要求LFSR生成的序列符合伪随机序列的条件。受此限制，只使用LFSR来生成密钥流是不安全的，因此还需要使用非线性的生成方式。