函数

欧拉函数是指：大于0，小于等于x的素数个数。所以答案为：5和4

未发现欧拉函数的多项式时间算法。因为这个函数的计算涉及到对n进行分解质因数等复杂的数论计算，时间复杂度较高。目前已知的最优算法时间复杂度为O(sqrt(n))，即根号下n的时间复杂度，称为试除法。此外还有一些快速算法，如Miller-Rabin素性测试、Pollard-Rho等算法，可以用于在多项式时间内计算欧拉函数的某些特殊取值，但并不能算是对欧拉函数的多项式时间算法。

在数论中，对于正整数N,少于或等于N ([1,N]),且与N互质的正整数(包括1)的个数，记作φ(n)。 φ函数的值： φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(n)) 其中p(1),p(2)…p(n)为x的所有质因数;x是正整数; φ(1)=1(唯一和1互质的数，且小于等于1)。注意：每种质因数只有一个。

8。欧拉函数，在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目。欧拉函数为16的值是8.此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler"stotientfunction、φ函数、欧拉商数等。

ψ函数即欧拉函数。在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为φ函数、欧拉商数等。例如，因为1,3,5,7均和8互质。欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群（即环的所有单位元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起构成了欧拉定理的证明。

φ（8）= 4 (1,3,5,7与8互质)

1、首先一个正整数n可以通过分解质因数得到。2、其次n=100我们就可以写成100=2^2。3、最后，2和5分别是p1和p2，因此欧拉值φ(100。

φ(5)=4在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目。

方法一：用公式.每个数字x可以写成素数的乘积 (p1)^{a1}*(p2)^{a2}...,其中 p1,p2 ...等是不同的素数,a1,a2...等是正整数,那么 phi(x) = (p1)^{a1-1}(p1-1).举个例子,12=2……2*3,而 phi(12)=2*(2-1)*(3-1) = 4,确实 1 到 12 这12个数中,只有 4 个 (1,5,7,11) 跟 12 互素.m | n,那么 m 的每个素因子都是n的素因子,代入,展开可以知道 phi(mn)=m*phi(n). 方法二：用 phi(k)的定义：phi(k) 是 1 到 k 中与 k 互素的数的个数.如果 (a,mn)=1 ( (x,y)=1 表示 x 和 y 互素）,那么 (a,n) =1； 反过来,如果 (a,n) =1,因为 m | n,所以 (a,m)= 1,(a,mn)=1.所以 (a,n) =1 当且仅当 (a,mn) =1.(a) phi(n) 是 1 到 n 中与n 互素的数的个数.phi(mn) 是 1 到 mn 中与 mn 互素的数的个数,根据刚才的结论,(b) phi(mn) 是 1 到 mn 中与 n 互素的数的个数.比较 (a) 和 (b),phi(mn) = m*phi(n).

（小于等于1的正整数中唯一和1互质的数就是1本身）。若n是质数p的k次幂，，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。欧拉函数是积性函数，即是说若m,n互质，。证明：设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩余定理，和C可建立双射(一一对应)的关系。因此的值使用算术基本定理便知，性质n的欧拉函数 也是循环群 Cn 的生成元的个数（也是n阶分圆多项式的次数）。Cn 中每个元素都能生成 Cn 的一个子群，即必然是某个子群的生成元。而且按照定义，不同的子群不可能有相同的生成元。此外， Cn 的所有子群都具有 Cd 的形式，其中d整除n（记作d | n）。因此只要考察n的所有因数d，将 Cd 的生成元个数相加，就将得到 Cn 的元素总个数：n。也就是说：其中的d为n的正约数。运用默比乌斯反转公式来“翻转”这个和，就可以得到另一个关于的公式：其中 μ 是所谓的莫比乌斯函数，定义在正整数上。对任何两个互质的正整数a, m（即 gcd(a,m) = 1），有即欧拉定理。这个定理可以由群论中的拉格朗日定理得出，因为任意与m互质的a都属于环 的单位元组成的乘法群当m是质数p时，此式则为：即费马小定理。

对正整数n,欧拉函数φ(n)是少于或等于n的数中与n互质的数的数目与10互质的数有1,3,7,9

值是8，欧拉函数指的是是少于或等于n的数中与n互质的数的数目.

ψ函数即欧拉函数。在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为φ函数、欧拉商数等。例如，ψ（8）=4，因为1,3,5,7均和8互质。欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群（即环的所有单位元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起构成了欧拉定理的证明。

2-100欧拉函数表n φ(n)2 13 24 25 46 27 68 49 610 411 1012 413 1214 615 816 817 1618 619 1820 821 1222 1023 2224 825 2026 1227 1828 1229 2830 831 3032 1633 2034 1635 2436 1237 3638 1839 2440 1641 4042 1243 4244 2045 2446 2247 4648 1649 4250 2051 3252 2453 5254 1855 4056 2457 3658 2859 5860 1661 6062 3063 3664 3265 4866 2067 6668 3269 4470 2471 7072 2473 7274 3675 4076 3677 6078 2479 7880 3281 5482 4083 8284 2485 6486 4287 5688 4089 8890 2491 7292 4493 6094 4695 7296 3297 9698 4299 60100 40

分解质因数1236=2^2*3*103,φ(1236)=1236*(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/103)=408

φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1,p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。设a,b,c是跟m,n,mn互质的数的集，据中国剩余定理，a*b和c可建立一一对应的关系。因此φ(n)的值使用算术基本定理便知，若n=∏p^(α（下标p）)p|n则φ(n)=∏(p-1)p^(α（下标p）-1)=n∏(1-1/p)p|np|n例如φ(72)=φ(2^3×3^2)=(2-1)2^(3-1)×(3-1)3^(2-1)=24与欧拉定理、费马小定理的关系对任何两个互质的正整数a,m,m>=2有a^φ(m)≡1(modm)即欧拉定理当m是质数p时，此式则为：a^(p-1)≡1(modm)即费马小定理。

可以。最小的偶数使得欧拉函数φ(n)=14无解。欧拉公式的推导是基于指数函数e^z和三角函数sin(x)和cos(x)的泰勒级数展开，其中z∈C，x∈R。

欧拉函数怎么算？其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。注意：每种质因数只一个。

2-100欧拉函数表n φ(n)2 13 24 25 46 27 68 49 610 411 1012 413 1214 615 816 817 1618 619 1820 821 1222 1023 2224 825 2026 1227 1828 1229 2830 831 3032 1633 2034 1635 2436 1237 3638 1839 2440 1641 4042 1243 4244 2045 2446 2247 4648 1649 4250 2051 3252 2453 5254 1855 4056 2457 3658 2859 5860 1661 6062 3063 3664 3265 4866 2067 6668 3269 4470 2471 7072 2473 7274 3675 4076 3677 6078 2479 7880 3281 5482 4083 8284 2485 6486 4287 5688 4089 8890 2491 7292 4493 6094 4695 7296 3297 9698 4299 60100 40

欧拉函数：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。所以126的欧拉函数是2

RSA算法中，欧拉函数φ（n）的定义是（）。 A.不超过n其和n互素的正整数个数(正确答案) B.不超过n其和n互素的整数个数 C.和n互素的整数个数 D.和n互素的正整数个数

35的函数值是24.φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

对正整数n,欧拉函数φ(n)是少于或等于n的数中与n互质的数的数目 与10互质的数有1,3,7,9 共4个 所以φ(10)=4 通常计算如下： 10=2*5 φ(10)=10*(1-1/2)*(1-1/5)=4

欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。例如euler(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 Euler函数表达通式：euler(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1,p2……pn为x的所有素因数，x是不为0的整数。euler(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。 欧拉公式的延伸：一个数的所有质因子之和是euler(n)*n/2。

10000的欧拉函数是4。用F表示欧拉函数，则n=p1（r1）p2（r2）。pm（rm）F（n）=n*（1-1/p1）*（1-1/p2）*（1-1/pm），所以F（12）=12*（1-1/2）*（1-1/3）=4。若n是质数p的k次幂，<math>varphi（n）=p^a-p^=（p-1）p^</math>，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

欧拉函数大于根号n/2。在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目。利用欧拉函数和它本身不同质因数的关系，用筛法计算出某个范围内所有数的欧拉函数值。在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称Euler"stotientfunction、φ函数、欧拉商数等。例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。

它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理，R+V-E=2就是欧拉公式。在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理。当R=2时。由说明1这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”。即R=2，V=2，E=2于是R+V-E=2,欧拉定理成立。

欧拉函数是数论中很重要的一个函数， 欧拉函数是指： 对于一个正整数n， 小于n且和n互质的正整数的个数， 记做：φ(n)， 其中φ(1)被定义为1， 但是并没有任何实质的意义 。定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn， 称呼这个集合为n的完全余数集合 φ(100 )= φ(25*4) =φ(25)φ(4)=φ(5^2)φ(2^2)=5φ(5)*2φ(2)=5(5-1)*2(2-1)=40

50的欧拉函数值是4。用F表示欧拉函数，则n=p1（r1）p2（r2）pm（rm）F（n）=n*（1-1/p1）*（1-1/p2）*（1-1/pm），所以F（12）=12*（1-1/2）*（1-1/3）=4。分析及过程：在数论，对正整数n，欧拉函数varphi(n)是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler"s totient function、φ函数、欧拉商数等。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

用F表示欧拉函数,则n=p1(r1)p2(r2)...pm(rm)F(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pm),所以F(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4

它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理，R+V-E=2就是欧拉公式。在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理。当R=2时。由说明1这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”。即R=2，V=2，E=2于是R+V-E=2,欧拉定理成立。

分解质因数：120=2^3*3*5欧拉函数：φ(120)=120*(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)=120*1/2*2/3*4/5=32小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（因此φ(1)=1）。设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。扩展资料：利用欧拉函数和它本身不同质因数的关系，用筛法计算出某个范围内所有数的欧拉函数值。如：ψ（10）=10×（1－1/2）×（1－1/5）=4；ψ（30）=30×（1－1/2）×（1－1/3）×（1－1/5）=8。

在数论，对正整数n，欧拉函数<math>varphi(n)</math>是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler"stotientfunction、φ函数、欧拉商数等。例如<math>varphi(8)=4</math>，因为1,3,5,7均和8互质。从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。[编辑]φ函数的值<math>varphi(1)=1</math>（唯一和1互质的数就是1本身）。若n是质数p的k次幂，<math>varphi(n)=p^a-p^=(p-1)p^</math>，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。欧拉函数是积性函数——若m,n互质，<math>varphi(mn)=varphi(m)varphi(n)</math>。证明：设A,B,C是跟m,n,mn互质的数的集，据中国剩余定理，<math>A imesB</math>和C可建立一一对应的关系。因此<math>varphi(n)</math>的值使用算术基本定理便知，若<math>n=prod_{pmidn}p^{alpha_p}</math>，则<math>varphi(n)=prod_{pmidn}p^{alpha_p-1}(p-1)=nprod_{p|n}left(1-frac ight)</math>。例如<math>varphi(72)=varphi(2^3 imes3^2)=2^(2-1) imes3^(3-1)=2^2 imes1 imes3 imes2=24</math>[编辑]与欧拉定理、费马小定理的关系对任何两个互质的正整数a,m，<math>mge2</math>，有<math>a^{varphi(m)}equiv1pmodm</math>即欧拉定理当m是质数p时，此式则为：<math>a^equiv1pmodp</math>即费马小定理。

大于根号n/2，设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。由于任何一个合数都至少有一个不大于根号n的素因子，因此欧拉函数大于根号n/2

一.欧拉函数1.算法描述1u223cN 中与 N 互质的数的个数被称为欧拉函数，也就是说，1~N中与N的最大公约数是1的数的个数，记作phi left ( N ight )。在算术基本定理中，若N=p_{1}^{alpha _{1}}p_{2}^{alpha _{2 }}cdot cdot cdot p_{n}^{alpha _{n}}则： phi left ( N ight )=Nleft ( 1-frac{1}{p_{1}} ight )left ( 1-frac{1}{p_{2}} ight )cdot cdot cdot left ( 1-frac{1}{p_{n}} ight )证明如下：我们可以分以下几步求出N的互质的数1.在1~N这些数中，将p1、p2、……pn的倍数剔除，很显然，pi的倍数和N的最大公约数是不是1.N-frac{N}{p_{1}}-frac{N}{p_{2}}-cdot cdot cdot -frac{N}{p_{n}}2.但需要注意是，在1~N这些数中，pi*pj的倍数倍剔除了两次，因此要把他们加上frac{N}{p_{1}p_{2}}+frac{N}{p_{1}p_{3}}+cdot cdot cdot +frac{N}{p_{n-1}p_{n}}3.但是，对于pi*pj*pk的倍数，在第1步时，被剔除了三次，在第2步时，被pi*pj、pi*pk、pj*pk加上了三次，因而我们需要把pi*pj*pk的倍数再剔除一次：-frac{N}{p_{1}p_{2}p_{3}}-frac{N}{p_{1}p_{2}p_{4}}-cdot cdot cdot -frac{N}{p_{n-2}p_{n-1}p_{n}}4.那么可以想到，接下来就是所有N除以四项乘积的和，减去N除以五项乘积的和……事实上，将所有的这些式子加起来，得到的就是 phi left ( N ight )=Nleft ( 1-frac{1}{p_{1}} ight )left ( 1-frac{1}{p_{2}} ight )cdot cdot cdot left ( 1-frac{1}{p_{n}} ight )首先，当分母为奇数个乘积时，那每一项的符号都是-1的奇数次方，还是-1；当分母为偶数个乘积时，每一项的符号都是-1的偶数次方，为正。这个公式可以类比于约数的个数,道理是一样的。left ( p_{1}^{0}+p_{1}^{1} +cdot cdot cdot + p_{1}^{alpha _{1}} ight )left ( p_{2}^{0}+p_{2}^{1} +cdot cdot cdot + p_{2}^{alpha _{2}} ight )cdot cdot cdot left ( p_{n}^{0}+p_{n}^{1} +cdot cdot cdot + p_{n}^{alpha _{n}} ight )2.代码实现可以发现，欧拉函数并不关心每个质因子的指数是什么，因而我们不用s来存储指数，也不用map来存储质因子，每当我们发现一个质数i时，让结果乘以(1-1/i)。但需要注意两点：1.对于(1-1/i)，1/i是小数，就这么写的话，那每一项都是1了，所以要×i再÷i，即：res=res/i*(i-1)。2.一定要记得在循环结束后，判断x是否会大于1，如果大于1，说明还存在x这个质因子，再执行一步：res=res/x*(x-1)。具体代码：#include<iostream>using namespace std;int n;int main(){ cin>>n; while(n--){ int x; cin>>x; int res=x; for(int i=2;i<=x/i;i++){ if(x%i==0){ while(x%i==0){ x=x/i;//i是我的一个质数 } res=res/i*(i-1); } } if(x>1) res=res/x*(x-1);//注意 cout<<res<<endl; }}二.筛法求欧拉函数1.算法描述第一部分中的算法适合于求单个给定数字对应的欧拉函数的值，但是当题目要求求1~N所有数字的欧拉值之和时，用第一部分中的算法就会花费很多时间，下介绍用筛法求欧拉函数：首先我们回顾筛法求质数的过程，对于给定的正整数N：for(int i=2;i<=n;i++){ if(!str[i]){ primes[cnt++]=i; } else{ for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++){ str[i*primes[j]]=true; if(i%primes[j]==0) break; } }}通过筛法，所有的质数，合数我们都可以遍历到，把所有的质数加入数组primes中，并且str[i*primes[j]]保证了每一个数都会被它的最小质因子筛掉，而if(i%primes[j]==0)保证了不会被重复标记，详细介绍可以参考：https://blog.csdn.net/qq_64637770/article/details/127200421?spm=1001.2014.3001.5501那如何做出修改让筛法求欧拉函数？1.首先，对于质数i，那么1~i-1都与i互质，那么phi left (i ight )=i-12.对于合数，即我用str[i*primes[j]]将一个合数筛掉时，我必须同时把它的欧拉值求出来，我们分为以下两种情况：A.若i可以整除primes[j]，那么primes[j]*i和i有共同的质因子，这是因为primes[j]是i的质因子，那么phi left ( i ight )已经包括了1-frac{1}{primes[j]}这一项，而欧拉函数的值与指数无关，因而：phi left ( i*primes[j] ight )=primes[j]*phi left ( i ight )B.若i不能够整除primes[j]，那么primes[j]*i比i多一个质因子primes[j]，这是因为i本身不包含质因子primes[j]，而primes[j]本身是质数，不会再有质因子，因而：phi left ( i*primes[j] ight )=primes[j]left ( 1-frac{1}{primes[j]} ight )phi left ( i ight )=left ( primes[j] -1 ight )phi left ( i ight )因而，每一个数的欧拉值都可以通过该种方法求出来。2.代码实现关于代码实现需要注意的是，res的值可能会很大，所以要定义成long long类型。具体代码：#include<iostream>using namespace std;int x;const int N=1000010;long long res;//最后的欧拉函数的值的和，有可能会非常大，要用long longbool str[N];//是否被标记过int primes[N];//存放质因子int cnt;int phi[N];//各个N的函数值int main(){ phi[1]=1;//1的欧拉值为1捏 cin>>x; for(int i=2;i<=x;i++){ if(!str[i]){//如果没有被标记过，那么是质数 phi[i]=i-1;//质数的欧拉值就是i-1 primes[cnt++]=i; } for(int j=0;primes[j]<=x/i;j++){ str[i*primes[j]]=true;//首先我一定能把所有的合数遍历到，这是肯定的 if(i%primes[j]==0){ //如果i可以整除primes[j]的话,那么i和primes[j]*i的最小质因子是相同的 phi[i*primes[j]]=primes[j]*phi[i]; break; } else{ //如果i不可整除primes[j]的话，那么i和primes[j]*i就相差一个primes[j]这个最小质因子 phi[i*primes[j]]=primes[j]*phi[i]*(primes[j]-1)/primes[j]; //那这样就把所有数的欧拉值都存在phi中 } } } for(int i=1;i<=x;i++){ res=res+phi[i]; } cout<<res;}

4与1.3互质所以它的欧拉函数为2。欧拉函数φ(x)表示小于等于x的正整数中与x互质的数的个数。比如φ(4)=2，因为4与1，3互质。

10的欧拉函数：varphi(8)=4分析及过程：在数论，对正整数n，欧拉函数varphi(n)是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler"s totient function、φ函数、欧拉商数等。varphi(10)=4，因为1,3，7，9均和10互质。

φ(30) = 8。欧拉函数定义: 对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目; 例如: φ(8) = 4, 因为1，3，5，7均和8互质。

设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩余定理，A*B和C可建立一一对应的关系。因此φ(n)的值使用算术基本定理便知，若则例如与欧拉定理、费马小定理的关系对任何两个互质的正整数a, m(m>=2)有即欧拉定理当m是质数p时，此式则为：a^(p-1)≡1(mod m)即费马小定理。

2^2*5^2的欧拉函数等于100。（2^2-2*1）*（5^2-5^1）=2*20=40个。φ(100)=φ(25*4)=φ(25)φ(4)=φ(5^2)φ(2^2)=5φ(5)*2φ(2)=5(5-1)*2(2-1)=40。φ函数的值<math>varphi(1)=1</math>（唯一和1互质的数就是1本身）。若n是质数p的k次幂，<math>varphi(n)=p^a-p^=(p-1)p^</math>，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。通式：其中p1，p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ（1）=1（唯一和1互质的数（小于等于1）就是1本身）。（注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*（1-1/3）=4。若n是质数p的k次幂，，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。设n为正整数，以φ（n）表示不超过n且与n互。素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数。φ：N→N，n→φ（n）称为欧拉函数。欧拉函数是积性函数——若m，n互质。

　　该算法在可在线性时间内筛素数的同时求出所有数的欧拉函数。　　需要用到如下性质( p为质数 )：　　1. phi(p)=p-1 因为质数p除了1以外的因数只有p，故1至p的整数只有p与p不互质　　2. 如果i mod p = 0, 那么 phi(i * p)=p * phi(i) 证明如下　　　　( 上述证明存在bug。。感谢@PrimaryOIer指教)　　上面的过程证明了从区间[1,i]->[i+1,i+i]，若整数n 不与i互质，n+i依然与i不互质。下面给出另一个证明：若整数n与i互质，n+i与i依然互质　　3.若i mod p ≠0, 那么 phi( i * p )=phi(i) * ( p-1 )　　i mod p 不为0且p为质数, 所以i与p互质, 那么根据欧拉函数的积性 phi(i * p)=phi(i) * phi(p) 其中phi(p)=p-1即第一条性质

n=p1^a1*p2^a2*……*pk^ak 则φ(n)=p1^(a1-1)*(p1-1)*p2^(a2-1)*(p2-1)*……*pk^(ak-1)*(pk-1)=n/3 显然n=3^a2^k,可以 因为φ(n)=3^(a-1)*(3-1)*2^(k-1)*(2-1)=3^(a-1)*2^k=n/3 若还有其他的因数 则φ(n)=3^(a-1)*(3-1)*2^(k-1)*(2-1)p3^(a3-1)*(p3-1)*p4^(a4-1)*(p4-1)*……*pk^(ak-1)*(pk-1) =n/3*p3^(a3-1)*(p3-1)*p4^(a4-1)*(p4-1)*……*pk^(ak-1)*(pk-1) 因为p3〉=5 所以p3^(a3-1)*(p3-1)*p4^(a4-1)*(p4-1)*……*pk^(ak-1)*(pk-1)不等于1,所以φ(n)>n/3 若不含有3^a 则n/3不是整数 若没有2^k,则n是奇数 而φ(n)=3^(a-1)*(3-1)*p3^(a3-1)*(p3-1)*p4^(a4-1)*(p4-1)*……*pk^(ak-1)*(pk-1)是偶数 所以 n=3^a2^k

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（因此φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler"s totient function)，它又称为Euler"s totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。

其中pi是x的所有质因数还可以利用下列公式：φ(p)=p-1（其中p是素数）得知φ(100)=φ(25*4)=φ(25)φ(4)=φ(5^2)φ(2^2)=5φ(5)*2φ(2)=5(5-1)*2(2-1)=40

分解200=2^3*5^2，欧拉函数φ(200)=200*（1-1/2）*(1-1/5)=80

E(x)表示比x小的且与x互质的正整数的个数。*若p是素数，E(p)=p-1。*E(p^k)=p^k-p^(k-1)=(p-1)*P^(k-1)证：令n=p^k,小于n的正整数数共有n-1即(p^k-1)个,其中与p不质的数共[p^(k-1)-1]个(分别为1*p,2*p,3*p...p(p^(k-1)-1))。所以E(p^k)=(p^k-1)-(p^(k-1)-1)=p^k-p^(k-1).得证。*若ab互质，则E(a*b)=E(a)*E(b)，欧拉函数是积性函数.*对任意数n都可以唯一分解成n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*...*pn^an(pi为素数).则E(n)=E(p1^a1)*E(p2^a2)*E(p3^a3)*...*E(pn^an) =(p1-1)*p1^(a1-1)*(p2-1)*p2^(a2-1)*...*(pn-1)*pn^(an-1) =(p1^a1*p2^a2*p3^a3*...*pn^an)*[(p1-1)*(p2-1)*(p3-1)*...*(pn-1)]/(p1*p2*p3*...*pn) =n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn)* E(p^k) =(p-1)*p^(k-1)=(p-1)*p^(k-2)*p E(p^(k-1))=(p-1)*p^(k-2)->当k>1时，E(p^k)=E(p*p^(k-1))=E(p^(k-1))*p. (当k=1时，E(p)=p-1.)由上式: 设P是素数， 若p是x的约数，则E(x*p)=E(x)*p. 若p不是x的约数，则E(x*p)=E(x)*E(p)=E(x)*(p-1). *快速求欧拉函数方法： 首先来回顾一下线性筛选素数方法：

φ（8）= 4 (1,3,5,7与8互质)φ（12）= 4 (1,5,7,11与12互质)

刚做过，等于 300 。不知是不是你的提问。如果有疑问请追问。

对正整数n,欧拉函数φ(n)是少于或等于n的数中与n互质的数的数目 与10互质的数有1,3,7,9 共4个 所以φ(10)=4 通常计算如下： 10=2*5 φ(10)=10*(1-1/2)*(1-1/5)=4

int eular(int n){ int ret=1,i; //定义变量 for(i=2;i*i<=n;i++) //从i=2开始循环，判定条件为i*i小于等于n，循环一次i增加1 if(n%i==0) //判定条件为n除以i的余数等于0 { n/=i,ret*=i-1; //n=n/i，ret = ret*(i-1) while(n%i==0) //当n除以i的余数等于0时执行下面的语句，否则跳过 n/=i,ret*=i; } if(n>1) //如果n>1执行下面语句，否则跳过 ret*=n-1; //ret = ret*(n-1) return ret;}直接复制的百度百科的，没具体看是什么功能

7的欧拉函数值等于4。欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目，若n是质数p的k次幂，，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。欧拉函数是积性函数，即是说若m，n互质，。证明：设A，B，C是跟m，n，mn互质的数的集，据中国剩余定理，和C可建立双射的关系。因此的值使用算术基本定理便知。应用首先看一个基本的例子。令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以φ(5)=4（详情见[欧拉函数]）。计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ 1 （mod 5）。与定理结果相符。这个定理可以用来简化幂的模运算。比如计算7^{222}的个位数，实际是求7^{222}被10除的余数。7和10[[互素]]，且φ(10)=4。由欧拉定理知7^4Ξ1(mod 10)。所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。

欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数的个数，记做：φ(n)，其中φ(1)被定义为1，但是并没有任何实质的意义。定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。显然，对于素数p，φ(p)= p -1.对于两个素数p、q，他们的乘积n = pq 满足φ(n) =(p-1)(q-1)证明：对于质数p,q，满足φ(n) =(p-1)(q-1)考虑n的完全余数集Zn = { 1,2,....,pq -1}而不和n互质的集合由下面三个集合的并构成：1) 能够被p整除的集合{p,2p,3p,....,(q-1)p} 共计q-1个2) 能够被q整除的集合{q,2q,3q,....,(p-1)q} 共计p-1个3)很显然，1、2集合中没有共同的元素，因此Zn中元素个数 = pq - (p-1 + q- 1 + 1) = (p-1)(q-1)</PRE>

54的欧拉函数是81，因为欧拉函数(81)=54。在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为φ函数（由高斯所命名）或是欧拉总计函数（totient function，由西尔维斯特所命名）。例如，欧拉函数（8）=4因为1，3，5，7均和8互质。欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群（即环的所有可逆元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起构成了欧拉定理的证明。

1的欧拉函数是1.欧拉函数是定义在正整数集合上的函数. φ(n)为小于n 并且与n 互素的非负整数的个数. 欧拉函数定义：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数的个数，记做φ(n)，φ(1)被定义为1

欧拉函数数列的前10项：1、2、2、4、3、6 、4、6、4 、10在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目。数列（sequence of number），是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示，前n项和用Sn表示。等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。数列递推公式特点：有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。有些数列没有递推公式，即有递推公式不一定有通项公式。

通式：,其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4若n是质数p的k次幂，，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。欧拉函数是积性函数——若m,n互质，特殊性质：当n为奇数时，, 证明与上述类似。若n为质数则

分解质因数：120=2^3*3*5欧拉函数：φ(120)=120*(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)=120*1/2*2/3*4/5=32小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（因此φ(1)=1）。设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。扩展资料：利用欧拉函数和它本身不同质因数的关系，用筛法计算出某个范围内所有数的欧拉函数值。如：ψ（10）=10×（1－1/2）×（1－1/5）=4；ψ（30）=30×（1－1/2）×（1－1/3）×（1－1/5）=8。

4.3 欧拉函数详解】 - 浪漫主义狗的博客 - CSDN博客 - 欧拉函数4417月13日1 u223c N 1u223cN1u223cN中与N NN互质的数的个数被称为欧拉函数,记为u03d5 ( N ) phi(N)u03d5(N),特别的u03d5 ( 1 ) = 1 phi(...CSDN编程社区ue63c欧拉函数最全总结 - jiet07的博客 - CSDN博客 - 欧拉函数1. 素数分解法1.对于一个正整数N的素数幂分解N=P1q1P2q2…Pnqn,其中,Pi为素数(1≤i≤n)。根据第二条性质得到:φ(2. 编程思维利用欧拉函数和它本身不同质因数的关系,用筛法计算出某个范围内所有数的欧拉函数值。欧拉函数和它本身不同质因数的关系:欧拉函数: φCSDN编程社区ue63c欧拉函数第441项是什么 - 资深教育答主答疑 - 百度问一问在线2119位教育培训答主在线答已服务超1.5亿人5分钟内回复Hi，为您实时解答教育类升学、学科答疑等问题，与高校名师、专家1对1在线沟通欧拉函数第441项是什么马上提问ue734欧拉函数值怎么计算的120人正在咨询1到10的欧拉函数110人正在咨询求欧拉函数3628800的值101人正在咨询欧拉函数值怎么计算的120人正在咨询百度问一问ue63c欧拉函数知识点总结及代码模板及欧拉函数表 - 20172674的博客 - CSDN...1. boolboo[50000];2. intp[20000];3. voidprim()CSDN博客ue63c大家还在搜ue63c欧拉函数值怎么计算的1到10的欧拉函数求欧拉函数3628800的值100以内的欧拉函数欧拉函数计算器欧拉函数包括1吗欧拉函数前100项列昂纳多·斐波那契数列欧拉函数(详解) - 数论 - 落春只在无意间的博客 - CSDN博客 - 欧拉函数数列2021年7月31日欧拉函数:对正整数n,欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。例如euler(8)=4,因为1,3,5,7均和8互质。 Euler函数表达通式:euler...CSDN编程社区ue63c欧拉函数(转) -

它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理，R+V-E=2就是欧拉公式。在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理。当R=2时。由说明1这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”。即R=2，V=2，E=2于是R+V-E=2,欧拉定理成立。

欧拉函数21计算：分解质因数：21=2^3*3*5。欧拉函数：φ(21)=21*(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)=120*1/2*2/3*4/5=32。小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（因此φ(1)=1）。设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理，R+V-E=2就是欧拉公式。在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理。当R=2时。由说明1这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”。即R=2，V=2，E=2于是R+V-E=2,欧拉定理成立。

欧拉函数就是指:对于一个正整数n,小于或等于n的正整数中与n互质的正整数个数(包括1)的个数,记作 φ ( n ) 。在数论，对正整数 n，欧拉函数是小于或等于 n 的正整数中与 n 互质的数的数目（因此φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler"s totient function)，它又称为 Euler"s totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为 1,3,5,7 均和 8 互质。从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。通式：(其中 p1, p2……pn 为 x 的所有质因数，x 是不为 0 的整数)定义 φ(1)=1（和 1 互质的数(小于等于 1)就是 1 本身）。注意：每种质因数只有一个。比如 12=2*2*3 那么φ（12）=φ（4*3）=φ（2^2*3^1）=（2^2-2^1）*（3^1-3^0）=4若 n 是质数 p 的 k 次幂，，因为除了 p 的倍数外，其他数都跟 n 互质。设 n 为正整数，以 φ(n)表示不超过 n 且与 n 互素的正整数的个数，称为 n 的欧拉函数值φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。欧拉函数是积性函数——若 m,n 互质，特殊性质：当 n 为奇质数时，, 证明与上述类似。

如果楼主是指输入一个整数求其二进制数的话，可参考以下三种解法：#include <iostream>#include <stdlib.h>using namespace std;//解法1// int Count(unsigned int value)// {// int num=0;// // while(0!=value)// {// if(1==value%2)// {// num++;// }// value/=2;// }// return num;// }//解法2//int Count(unsigned int value)//{// int num=0;//// while(0!=value)// {// num+=value&0x01;// value>>=1;// }// return num;//}//解法3int Count(unsigned int value){ int num=0; while(0!=value) { value&=(value-1); num++; } return num;}void main(){ int value; cout<<"请输入一个整数："; cin>>value; cout<<"整数"<<value<<"的二进制中的1的个数为："<<Count(value)<<endl; system("pause");}注：虽然输入的值可为有符号或无符号整数，但函数Count的参数必须为无符号类型，否则输入负数时，若不转换为无符号类型，则会造成求余和位运算出错，而使得结果不是期望的值。

你点错了。不是点网际网路。是点第3个的网络选项。还要做到以下设置打开 本地连接 -> 属性 -> 常规 -> 安装 -> 协议 -> 添加 -> 选择 NWLink IPX/SPX/NetBIOS Compatible Transpor (最长那个)如果不行还要装上客户端里的netware。同上方法。然后改序列号游戏文件夹中有一个叫“Woldata.key”的文件.(提示.按W可以找到).打开了会发现10991478310537297561649622401880764126419840913672270792188169491608197372711325057266741593997146213246811979244021552319061240SETUP.INI 把最后的两位数改任意数值.(即40).例如改39.38.37.都行.只要是两位数.进入游戏后，点选项，网络设置，在“目标网络”上填写好，如：“00.00.00.00”或“56.78.12.34”等等，八位数字三个点.进入游戏目录里的RA2MD.INI 文件.找到[Network] Socket=65535 NetCard=0 NetID=ffc7,ffdf,ffc7, 注意.当时如果NetCard的值是0.也就是关闭了联网功能.因此改为1.即可用平台则netcard改为0 浩方要把模式改为特殊模式共和国之辉应该是改ra2.ini

Python编码下面的三角函数包括以下种类：acos(x)//返回x的反余弦弧度值。asin(x)//返回x的反正弦弧度值。atan(x)//返回x的反正切弧度值。atan2(y,x)//返回给定的X及Y坐标值的反正切值。cos(x)//返回x的弧度的余弦值。hypot(x,y描述sin()返回的x弧度的正弦值。语法以下是sin()方法的语法:importmath math.sin(x)注意：sin()是不能直接访问的，需要导入math模块，然后通过math静态对象调用该方法。参数x--一个数值。返回值返回的x弧度的正弦值，数值在-1到1之间。实例以下展示了使用sin()方法的实例：#!/usr/bin/pythonimport mathprint "sin(3) : ", math.sin(3)print "sin(-3) : ", math.sin(-3)print "sin(0) : ", math.sin(0)print "sin(math.pi) : ", math.sin(math.pi)print "sin(math.pi/2) : ", math.sin(math.pi/2)以上实例运行后输出结果为：sin(3) : 0.14112000806sin(-3) : -0.14112000806sin(0) : 0.0sin(math.pi) : 1.22460635382e-16sin(math.pi/2) : 1总结以上就是本文关于Python入门之三角函数sin()函数实例详解的全部内容，希望对大家有所帮助。感兴趣的朋友可以继续参阅本站：python正则表达式re之compile函数解析、Python中enumerate函数代码解析、简单了解Python中的几种函数等，有什么问题可以随时留言，小编会及时回复大家的。感谢朋友们对本站的支持！

注：文章首发I.S.T.O信息安全团队，后由原创作者友情提交到邪恶八进制信息安全团队技术讨论组。I.S.T.O版权所有，转载需注明作者。请看附件!或者导入C:Program FilesMicrosoft Visual StudioVC98Lib下面的所有库:C:Program FilesMicrosoft Platform SDK for Windows Server 2003 R2Libhttp://forum.eviloctal.com/thread-33450-1-1.html

对于mtext，控制文字的对齐格式可以使用以下组码：(71 . 1) 左对齐-上对齐 这个是默认的对齐方式(71 . 4) 左对齐-中央对齐(71 . 7) 左对齐-下对齐(71 . 2) 居中对齐-上对齐(71 . 5) 居中对齐-中央对齐(71 . 8) 居中对齐-下对齐(71 . 3) 右对齐-上对齐(71 . 6) 右对齐-中央对齐(71 . 9) 右对齐-下对齐

对应单片机ADC端口输入的模拟电压，在单片机采样后就变成了数字量，对于10位ADC而言，模拟电压应对的数字量数据是date=1024*(Vin/Vcc)，这个算法对应的是以单片机的电源电压Vcc为基准参照电压的计算，例如：对应1.5V采样值，其数据计算后为date=0x0133或十进制的307；如果需要输出真实的十进制电压数据，就要变换一下计算公式，此时：Vin=((date*Vcc)/1024)*2(降压倍数)；对应1.5V的采样值，程序采样后的数据date=307，带入变换后的公式计算的结果即为实际电压值3V，编程时各个转换数据用的变量应该设置为16位以上的变量或浮点变量，并且采用浮点运算，可以得到比较精确的数据。

EXCEL里面四舍五入函数是ROUND

关于entsel函数我讲例子：选择一个圆后，如何输出圆心坐标的同时，输出entsel选取点的坐标？输出圆心坐标：（entget （car （entsel）））输入选取点坐标：（cadr (entsel)）(setq tem (entsel)) ;这里把entsel做成一个变量，下面分别提取。(setq edata (entget (car tem)))(setq tempt (cadr tem))

[1]我是自动化专业毕业的，本科学的电路分析中有复数确实不假，可里面涉及的复数仅仅是复数的基本定义和基本性质而已（像复功率之类的）。[2] 复变函数主要包括单值解析函数、黎曼曲面理论、留数理论、广义解析函数等方面的内容（当然复变函数也研究多值函数），那是在复数的基础上研究复数域上的函数性质，简单的说对你学电路有帮助，可惜帮助非常小，小到代价过大。[3]如果你为了多修学分选修复变函数，你至少要会高等数学中的一元函数微分学，积分学，和级数部分的知识（敛散性质），也就是高等数学上册的内容会了就可以。复变函数总体上说还是容易入门的。（数学都是入门容易，精通难）

直接把这个点带入f(x)，则得到的limit。存在而且有限》》可去。存在且为无穷》》极点。不存在（不等于无穷）》》本性。当它在特别的情况下无法完序，以至于此点出现在于异常的集合中。诸如导数。参见几何论中一些奇点论的叙述。奇点也用于描述黑洞中心的情况。此时因为物质密度极高，空间无限大的压缩弯曲，物质压缩在体积非常小的点，此时此刻的时空方程中，就会出现分母无穷小的描述，因此物理定律失效。而天体物理学概念上便认为奇点是宇宙生成前的那一状态。扩展资料：如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面。参考资料来源：百度百科——奇点参考资料来源：百度百科——复变函数

函数 w=1/z将z平面上曲线y=x映射成w平面上四象限角分线，原点变为无穷远点的曲线。设A是一个复数集，如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=u0192(z)。u0192(z)是z通过规则u0192而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv，那么复变函数w=u0192(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一个复变函数w=u0192(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。复变函数的应用复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。

　　最先提出椭圆函数的物理学家------波恩哈德·黎曼　　波恩哈德·黎曼（1826.9.17-1866.720），德国数学家、物理学家，对数学分析和微分几何做出了重要贡献，其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。　　他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。　　他初次登台作了题为"论作为几何基础的假设"的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。

右边，模等于2，变成三角式：2（cosπ/3+isinπ/3）设z=四次根号2（cosx+isinx）那么4x=π/3+2kπ 可以解出四个解： k=0→x=π/12 k=1→x=7π/12 k=2→x=13π/12 k=3→x=19π/12 以上。

e^ix=cosx+isinx,e^(-ix)=cosx-isinx,那么cosx=（e^x+e^(-ix)）/2,sinx=（e^x-e^(-ix)）/2,那么的话，cos5x，sin5x，cosNx和sinNx的只不过把5x，Nx相当于之前的x而已啊。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场 、电路理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。内容：复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面。那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。

以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。定义复变数复值函数的简称。设A是一个复数集,如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=u0192(z)。这个记号表示,u0192(z)是z通过规则u0192而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv,那么复变函数w=u0192(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y);所以一个复变函数w=u0192(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明,函数一般指单值函数,即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。例如，z2是复平面上的复变函数。但√z在复平面上并非单值，而是多值函数。对这种多值函数要有特殊的处理方法(见解析开拓、黎曼曲面)。对于z∈A,u0192(z)的全体所成的数集称为A关于u0192的像，记为u0192(A)。函数u0192规定了A与u0192(A)之间的一个映射。例如在w=z2的映射下，z平面上的射线argz=θ与w平面上的射线argw=2θ对应;如果u0192(A)∈A*，称u0192把A映入A*。如果u0192(A)=A*，则称u0192把A映成A*，此时称A为A*的原像。对于把A映成A*的映射u0192，如果z1与z2相异必导致u0192(z1)与u0192(z2)也相异，则称u0192是一对一的。在一对一的映射下，对A*上的任一w，A上必有一个z与之对应，称此映射为u0192的反函数，记为z=u0192-1(w)设u0192(z)是A上的复变函数,α是A中一点。如果对任一正数ε，都有正数δ，当z∈A且|z-α|<δ时,|u0192(z)-u0192(α)|<ε恒成立，则称u0192(z)在α处是连续的。如果在A上处处连续,则称为A上的连续函数或连续映射。设u0192是紧集A上的连续函数，则对任一正数ε，必存在不依赖自变数z的正数δ,当z1，z2∈A且|z1-z2<δ时|u0192(z1)-u0192(z2)|<ε恒成立。这个性质称为u0192(z)在A上的一致连续性或均匀连续性。设u0192(z)是平面开集D内的复变函数。对于z∈D,如果极限存在且有限,则称u0192(z)在z处是可导的，此极限值称为u0192(z)在z处的导数,记为u0192┡(z)。这是实变函数导数概念的推广，但复变函数导数的存在却蕴含着丰富的内容。这是因为z+h是z的二维邻域内的任意一点，极限的存在条件比起一维的实数情形要强得多。一个复变函数如在z的某一邻域内处处有导数，则该函数必在z处有高阶导数,而且可以展成一个收敛的幂级数(见解析函数)。所以复变函数导数的存在，对函数本身的结构有重大影响，而这些结果的研究，构成了一门学科──复变函数论。

复变函数复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。 以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数论的发展简况 复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复变函数论的内容 复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。 如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。 复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。 黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。 复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。 留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。 把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。 广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。 从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。

复变函数论的发展简况 复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复变函数论的内容 复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。 如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。 复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。 黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。 复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。 留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。 把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。 广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。 从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。

复变函数论的内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。