函数

完整初中三角函数值表如下图所示：常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。扩展资料：起源公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。我们已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同，他们把半弦（AC）与全弦所对弧的一半（AD）相对应，即将AC与∠AOC对应，这样，他们造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。印度人称连结弧（AB）的两端的弦（AB）为”吉瓦（jiba）”，是弓弦的意思；称AB的一半（AC） 为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为”弯曲”、”凹处”，阿拉伯语是 ”dschaib”。十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了”sinus”。

完整初中三角函数值表如下图所示：常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。扩展资料：起源公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。我们已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同，他们把半弦（AC）与全弦所对弧的一半（AD）相对应，即将AC与∠AOC对应，这样，他们造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。印度人称连结弧（AB）的两端的弦（AB）为”吉瓦（jiba）”，是弓弦的意思；称AB的一半（AC） 为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为”弯曲”、”凹处”，阿拉伯语是 ”dschaib”。十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了”sinus”。

三角函数值表如下图：三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。常见的三角函数常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

完整初中三角函数值表如下图所示：常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。扩展资料：起源公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。我们已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同，他们把半弦（AC）与全弦所对弧的一半（AD）相对应，即将AC与∠AOC对应，这样，他们造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。印度人称连结弧（AB）的两端的弦（AB）为”吉瓦（jiba）”，是弓弦的意思；称AB的一半（AC） 为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为”弯曲”、”凹处”，阿拉伯语是 ”dschaib”。十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了”sinus”。

初中常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等等，接下来分享具体的三角函数值表，供参考。 常用三角函数值对照表 sin0=sin0°=0 cos0=cos0°=1 tan0=tan0°=0sin15=0.650； sin15°=0.259 cos15=-0.759；cos15°=0.966 tan15=-0.855；tan15°=0.268 sin30°=1/2 cos30°=0.866； tan30°=0.577； sin45°=0.707； cos45°=0.707 tan45=1.620；tan45°=1 sin60=-0.305；sin60°=0.866 cos60=-0.952；cos60°=1/2 tan60=0.320；tan60°=1.732 sin75=-0.388；sin75°=0.966 cos75=0.922；cos75°=0.259 tan75=-0.421；tan75°=sin75°/cos75°=3.732 sin90=0.894；sin90°=cos0°=1 cos90=-0.448；cos90°=sin0°=0 tan90=-1.995；tan90°不存在 sin105=-0.971；sin105°=cos15° cos105=-0.241；cos105°=-sin15° tan105=4.028；tan105°=-cot15° sin120=0.581；sin120°=cos30° cos120=0.814；cos120°=-sin30° tan120=0.713；tan120°=-tan60° sin135=0.088；sin135°=sin45° cos135=-0.996；cos135°=-cos45° tan135=-0.0887；tan135°=-tan45° sin150=-0.7149；sin150°=sin30° cos150=-0.699；cos150°=-cos30° tan150=-1.022；tan150°=-tan30° sin165=0.998；sin165°=sin15° cos165=-0.066；cos165°=-cos15° tan165=-15.041；tan165°=-tan15° sin180=-0.801；sin180°=sin0°=0 cos180=-0.598；cos180°=-cos0°=-1 tan180=1.339；tan180°=0 sin195=0.219；sin195°=-sin15° cos195=0.976；cos195°=-cos15° tan195=0.225；tan195°=tan15° sin360=0.959；sin360°=sin0°=0 cos360=-0.284；cos360°=cos0°=1 tan360=-3.380；tan360°=tan0°=0 特殊的三角函数值表 特殊三角函数值口诀 30°，45°，60°这三个角的正弦值和余弦值的共同点是：分母都是2，若把分子都加上根号，则被开方数就相应地变成了1，2，3.正切的特点是将分子全部都带上根号,令分母值为3,则相应的被开方数就是3，9，27。 记忆口诀一 三十，四五，六十度，三角函数记牢固； 分母弦二切是三，分子要把根号添； 一二三来三二一，切值三九二十七； 递增正切和正弦，余弦函数要递减. 记忆口诀二 一二三三二一，戴上根号对半劈。 两边根号三，中间竖旗杆。 分清是增减，试把分母安。 正首余末三，好记又简单。 零度九十度，斜线z形连。 端点均为零，余下竖横填。

特殊角度的三角函数值对照表如下：一、10到360度三角函数值表二、反三角函数值表三角函数1、常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。2、不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。3、常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。4、三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

（1）特殊角三角函数值　　sin0=0　　sin30=0.5　　sin45=0.7071 二分之根号2　　sin60=0.8660 二分之根号3　　sin90=1　　cos0=1　　cos30=0.866025404 二分之根号3　　cos45=0.707106781 二分之根号2　　cos60=0.5　　cos90=0　　tan0=0　　tan30=0.577350269 三分之根号3　　tan45=1　　tan60=1.732050808 根号3　　tan90=无　　cot0=无　　cot30=1.732050808 根号3　　cot45=1　　cot60=0.577350269 三分之根号3　　cot90=0更多的参考http://wenku.baidu.com/view/7de4ba6aa98271fe910ef9f5.html

初中常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数，接下来看一下具体的三角函数值表。 直角三角形三角函数定义 在直角三角形中，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。对∠BAC而言，对边a=BC、斜边c=AB、邻边b=AC，则存在以下关系： 三角函数变化规律 正弦值在[2kπ-π/2,2kπ+π/2] (k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)，在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2,](k∈Z)随角度增大(减小)而减小(增大); 余弦值在[2kπ-π,2kπ] (k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)，在[2kπ,2kπ+π] (k∈Z) 随角度增大(减小)而减小(增大); 正切值在[kπ-π/2，kπ+π/2] (k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小); 特殊三角函数值表

一般的科学计算器都有计算三角函数的功能，而且还可以有角度、弧度和梯度三种单位的计算。 一般角度和弧度经常用。角度是初中时学习的，高中的时候角大小的单位变成了弧度。而梯度较为少用。一般是按功能键把计算器调到合适的单位（如果你要算角度的三角函数值就是deg，弧度就是rad，梯度就是gra）然后按下计算器的三角函数的键，再输入数值，就可计算出三角函数值。每种计算器都不同，具体依照说明书。sin是正弦，cos是余弦，tan是正切，cot是余切，sec是正割，csc是余割。 一般的科学计算器只有sin、cos、tan三个键。实际上cot、sec和csc都可以通过它们算出。它们的关系如下：cotθ=1/tanθ，secθ=1/cosθ，cscθ=1/sinθ。常用的三角函数就是上述的六个，运用计算器和它们之间的数学关系式，就可以很方便地把它们算出来。

给你两个表，第一个是5°至360°每隔5°的角的正弦、余弦、正切、余切函数的高精度近似值。第二个是0°、15°、18°、30°、36°、45°、54°、60°、72°、75°、90°这些角的正弦、余弦、正切函数精确值的数学表达式。其他角的三角函数精确值的数学表达式一般极其复杂，故未收录。90°以上角的三角函数可借助此表用诱导公式求出。==================================================以下是第一个表：sin5° = 0.0871557427476582; cos5° = 0.996194698091746;tan5° = 0.087488663525924; cot5° = 11.4300523027613;sin10° = 0.17364817766693; cos10° = 0.984807753012208;tan10° = 0.176326980708465; cot10° = 5.67128181961771;sin15° = 0.258819045102521; cos15° = 0.965925826289068;tan15° = 0.267949192431123; cot15° = 3.73205080756888;sin20° = 0.342020143325669; cos20° = 0.939692620785908;tan20° = 0.363970234266202; cot20° = 2.74747741945462;sin25° = 0.422618261740699; cos25° = 0.90630778703665;tan25° = 0.466307658154999; cot25° = 2.14450692050956;sin30° = 0.5; cos30° = 0.866025403784439;tan30° = 0.577350269189626; cot30° = 1.73205080756888;sin35° = 0.573576436351046; cos35° = 0.819152044288992;tan35° = 0.70020753820971; cot35° = 1.42814800674211;sin40° = 0.642787609686539; cos40° = 0.766044443118978;tan40° = 0.83909963117728; cot40° = 1.19175359259421;sin45° = 0.707106781186547; cos45° = 0.707106781186548;tan45° = 1; cot45° = 1;sin50° = 0.766044443118978; cos50° = 0.642787609686539;tan50° = 1.19175359259421; cot50° = 0.83909963117728;sin55° = 0.819152044288992; cos55° = 0.573576436351046;tan55° = 1.42814800674211; cot55° = 0.70020753820971;sin60° = 0.866025403784439; cos60° = 0.5;tan60° = 1.73205080756888; cot60° = 0.577350269189626;sin65° = 0.90630778703665; cos65° = 0.422618261740699;tan65° = 2.14450692050956; cot65° = 0.466307658154999;sin70° = 0.939692620785908; cos70° = 0.342020143325669;tan70° = 2.74747741945462; cot70° = 0.363970234266202;sin75° = 0.965925826289068; cos75° = 0.258819045102521;tan75° = 3.73205080756888; cot75° = 0.267949192431123;sin80° = 0.984807753012208; cos80° = 0.17364817766693;tan80° = 5.67128181961771; cot80° = 0.176326980708465;sin85° = 0.996194698091746; cos85° = 0.0871557427476584;tan85° = 11.4300523027613; cot85° = 0.0874886635259242;sin90° = 1; cos90° = 0;tan90° = ∞; cot90° = 0;sin95° = 0.996194698091746; cos95° = -0.0871557427476582;tan95° = -11.4300523027613; cot95° = -0.0874886635259241;sin100° = 0.984807753012208; cos100° = -0.17364817766693;tan100° = -5.67128181961771; cot100° = -0.176326980708465;sin105° = 0.965925826289068; cos105° = -0.258819045102521;tan105° = -3.73205080756888; cot105° = -0.267949192431123;sin110° = 0.939692620785908; cos110° = -0.342020143325669;tan110° = -2.74747741945462; cot110° = -0.363970234266202;sin115° = 0.90630778703665; cos115° = -0.422618261740699;tan115° = -2.14450692050956; cot115° = -0.466307658154998;sin120° = 0.866025403784439; cos120° = -0.5;tan120° = -1.73205080756888; cot120° = -0.577350269189625;sin125° = 0.819152044288992; cos125° = -0.573576436351046;tan125° = -1.42814800674212; cot125° = -0.700207538209709;sin130° = 0.766044443118978; cos130° = -0.642787609686539;tan130° = -1.19175359259421; cot130° = -0.83909963117728;sin135° = 0.707106781186548; cos135° = -0.707106781186547;tan135° = -1; cot135° = -1;sin140° = 0.642787609686539; cos140° = -0.766044443118978;tan140° = -0.83909963117728; cot140° = -1.19175359259421;sin145° = 0.573576436351046; cos145° = -0.819152044288992;tan145° = -0.70020753820971; cot145° = -1.42814800674211;sin150° = 0.5; cos150° = -0.866025403784439;tan150° = -0.577350269189626; cot150° = -1.73205080756888;sin155° = 0.4226182617407; cos155° = -0.90630778703665;tan155° = -0.466307658154999; cot155° = -2.14450692050956;sin160° = 0.342020143325669; cos160° = -0.939692620785908;tan160° = -0.363970234266203; cot160° = -2.74747741945462;sin165° = 0.258819045102521; cos165° = -0.965925826289068;tan165° = -0.267949192431123; cot165° = -3.73205080756887;sin170° = 0.173648177666931; cos170° = -0.984807753012208;tan170° = -0.176326980708465; cot170° = -5.6712818196177;sin175° = 0.0871557427476582; cos175° = -0.996194698091746;tan175° = -0.087488663525924; cot175° = -11.4300523027613;sin180° = 0; cos180° = -1;tan180° = 0; cot180° = ∞;sin185° = -0.0871557427476579; cos185° = -0.996194698091746;tan185° = 0.0874886635259238; cot185° = 11.4300523027614;sin190° = -0.17364817766693; cos190° = -0.984807753012208;tan190° = 0.176326980708465; cot190° = 5.67128181961771;sin195° = -0.25881904510252; cos195° = -0.965925826289068;tan195° = 0.267949192431122; cot195° = 3.73205080756888;sin200° = -0.342020143325669; cos200° = -0.939692620785908;tan200° = 0.363970234266202; cot200° = 2.74747741945462;sin205° = -0.422618261740699; cos205° = -0.90630778703665;tan205° = 0.466307658154998; cot205° = 2.14450692050956;sin210° = -0.5; cos210° = -0.866025403784439;tan210° = 0.577350269189626; cot210° = 1.73205080756888;sin215° = -0.573576436351046; cos215° = -0.819152044288992;tan215° = 0.700207538209709; cot215° = 1.42814800674212;sin220° = -0.642787609686539; cos220° = -0.766044443118978;tan220° = 0.83909963117728; cot220° = 1.19175359259421;sin225° = -0.707106781186547; cos225° = -0.707106781186548;tan225° = 1; cot225° = 1;sin230° = -0.766044443118978; cos230° = -0.642787609686539;tan230° = 1.19175359259421; cot230° = 0.83909963117728;sin235° = -0.819152044288992; cos235° = -0.573576436351046;tan235° = 1.42814800674211; cot235° = 0.70020753820971;sin240° = -0.866025403784438; cos240° = -0.5;tan240° = 1.73205080756888; cot240° = 0.577350269189626;sin245° = -0.90630778703665; cos245° = -0.422618261740699;tan245° = 2.14450692050956; cot245° = 0.466307658154998;sin250° = -0.939692620785908; cos250° = -0.342020143325669;tan250° = 2.74747741945462; cot250° = 0.363970234266203;sin255° = -0.965925826289068; cos255° = -0.258819045102521;tan255° = 3.73205080756888; cot255° = 0.267949192431123;sin260° = -0.984807753012208; cos260° = -0.17364817766693;tan260° = 5.67128181961771; cot260° = 0.176326980708465;sin265° = -0.996194698091746; cos265° = -0.0871557427476582;tan265° = 11.4300523027613; cot265° = 0.0874886635259241;sin270° = -1; cos270° = 0;tan270° = ∞; cot270° = 0;sin275° = -0.996194698091746; cos275° = 0.0871557427476579;tan275° = -11.4300523027614; cot275° = -0.0874886635259237;sin280° = -0.984807753012208; cos280° = 0.17364817766693;tan280° = -5.67128181961772; cot280° = -0.176326980708465;sin285° = -0.965925826289068; cos285° = 0.25881904510252;tan285° = -3.73205080756888; cot285° = -0.267949192431122;sin290° = -0.939692620785908; cos290° = 0.342020143325669;tan290° = -2.74747741945462; cot290° = -0.363970234266203;sin295° = -0.90630778703665; cos295° = 0.422618261740699;tan295° = -2.14450692050956; cot295° = -0.466307658154998;sin300° = -0.866025403784439; cos300° = 0.5;tan300° = -1.73205080756888; cot300° = -0.577350269189626;sin305° = -0.819152044288992; cos305° = 0.573576436351046;tan305° = -1.42814800674211; cot305° = -0.70020753820971;sin310° = -0.766044443118978; cos310° = 0.642787609686539;tan310° = -1.19175359259421; cot310° = -0.83909963117728;sin315° = -0.707106781186548; cos315° = 0.707106781186547;tan315° = -1; cot315° = -1;sin320° = -0.64278760968654; cos320° = 0.766044443118978;tan320° = -0.839099631177281; cot320° = -1.19175359259421;sin325° = -0.573576436351046; cos325° = 0.819152044288992;tan325° = -0.70020753820971; cot325° = -1.42814800674211;sin330° = -0.5; cos330° = 0.866025403784438;tan330° = -0.577350269189627; cot330° = -1.73205080756887;sin335° = -0.422618261740699; cos335° = 0.90630778703665;tan335° = -0.466307658154998; cot335° = -2.14450692050956;sin340° = -0.342020143325669; cos340° = 0.939692620785908;tan340° = -0.363970234266203; cot340° = -2.74747741945462;sin345° = -0.258819045102521; cos345° = 0.965925826289068;tan345° = -0.267949192431123; cot345° = -3.73205080756888;sin350° = -0.17364817766693; cos350° = 0.984807753012208;tan350° = -0.176326980708465; cot350° = -5.67128181961771;sin355° = -0.0871557427476583; cos355° = 0.996194698091746;tan355° = -0.0874886635259241; cot355° = -11.4300523027613;sin360° = 0; cos360° = 1;tan360° = 0; cot360° = ∞;==================================================关于第二个表的注释：“sqrt(x)”表示x的算术平方根，“/”表示除号。以下是第二个表：sin0° = 0; cos0° = 1; tan0° = ∞;sin15° = [sqrt(6)-sqrt(2)]/4; cos15° = [sqrt(6)+sqrt(2)]/4;tan15° = 2-sqrt(3);sin18° = [sqrt(5)-1]/4; cos18° = sqrt[10+2*sqrt(5)]/4;tan18° = {3*sqrt[50+10*sqrt(5)]-5*sqrt[10+2*sqrt(5)]}/20;sin30° = 1/2; cos30° = sqrt(3)/2;tan30° = sqrt(3)/3;sin36° = sqrt[10-2*sqrt(5)]/4; cos36° = [sqrt(5)+1]/4;tan36° = {sqrt[50-10*sqrt(5)]-sqrt[10-2*sqrt(5)]}/4;sin45° = sqrt(2)/2; cos45° = sqrt(2)/2;tan45° = 1;sin54° = [sqrt(5)+1]/4; cos54° = sqrt[10-2*sqrt(5)]/4;tan54° = {3*sqrt[50-10*sqrt(5)]+5*sqrt[10-2*sqrt(5)]}/20;sin60° = sqrt(3)/2; cos60° = 1/2;tan60° = sqrt(3);sin72° = sqrt[10+2*sqrt(5)]/4; cos72° = [sqrt(5)-1]/4;tan72° = {sqrt[50+10*sqrt(5)]+sqrt[10+2*sqrt(5)]}/4;sin75° = [sqrt(6)+sqrt(2)]/4; cos75° = [sqrt(6)-sqrt(2)]/4;tan75° = 2+sqrt(3);sin90° = 1; cos90° = 0;tan90° = ∞;

这么小角度的函数值，可以相当高近似度地等于它的角度的弧度！因为，证明小角度的 sin 0.004=0.004,con0.004=1,tga=0.004, a=0.004(弧度)=0.004*180/π=0.229183118度;tgb=0.008, b=0.008(弧度)=0.008*180/π=0.458366236度。

　　三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。也可以说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级限或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。　　常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。　　三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值　　

tan360=tan0=0,因为tanx的周期是180度,那个表格你不用记呀,只要会画直角三角形的两个特殊形式:30度,60度,45度,其它的就知了.

对于三角函数值是大家在学习数学的时候，一定要掌握的公式。下面是我为大家整理分享的，仅供大家参考。 特殊三角函数性质 特殊三角函数是性质特殊的一类三角函数的总称，主要包括正弦三角函数、余弦三角函数、正切三角函数、余切三角函数、正割三角函数、和余割三角函数。 特殊三角函数值：特殊三角函数值一般指在0，30°，45°，60°，90°，180°角下的正余弦值。这些角度的三角函数值是经常用到的。并且利用两角和与差的三角函数公式，可以求出一些其他角度的三角函数值。 三角函数 α=0° sinα=0 cosα=1 tαnα=0 cotα→∞ secα=1 cscα→∞ α=15°(π/12) sinα=(√6-√2)/4 cosα=(√6+√2)/4 tαnα=2-√3 cotα=2+√3 secα=√6-√2 cscα=√6+√2 α=22.5°(π/8) sinα=√(2-√2)/2 cosα=√(2+√2)/2 tαnα=√2-1 cotα=√2+1 secα=√(4-2√2) cscα=√(4+2√2) a=30°(π/6) sinα=1/2 cosα=√3/2 tαnα=√3/3 cotα=√3 secα=2√3/3 cscα=2 α=45°(π/4) sinα=√2/2 cosα=√2/2 tαnα=1 cotα=1 secα=√2 cscα=√2 α=60°(π/3) sinα=√3/2 cosα=1/2 tαnα=√3 cotα=√3/3 secα=2 cscα=2√3/3 α=67.5°(3π/8) sinα=√(2+√2)/2 cosα=√(2-√2)/2 tαnα=√2+1 cotα=√2-1 secα=√(4+2√2) cscα=√(4-2√2) α=75°(5π/12) sinα=(√6+√2)/4 cosα=(√6-√2)/4 tαnα=2+√3 cotα=2-√3 secα=√6+√2 cscα=√6-√2 α=90°(π/2) sinα=1 cosα=0 tαnα→∞ cotα=0 secα→∞ cscα=1 α=180°(π) sinα=0 cosα=-1 tαnα=0 cotα→∞ secα=-1 cscα→∞ α=270°(3π/2) sinα=-1 cosα=0 tαnα→∞ cotα=0 secα→∞ cscα=-1 α=360°(2π) sinα=0 cosα=1 tαnα=0 cotα→∞ secα=1 cscα→∞ 我推荐： 高三学渣逆袭计划作息时间表 黄金三角 α=18°(π/10) sinα=(√5-1)/4 cosα=√(10+2√5)/4 tαnα=√(25-10√5)/5 cscα=√5+1 secα=√(50-10√5)/5 cotα=√(5+2√5) α=36°(π/5) sinα=√(10-2√5)/4 cosα=(√5+1)/4 tαnα=√(5-2√5) cscα=√(50+10√5)/5 secα=√5-1 cotα=√(25+10√5)/5 α=54°(3π/10) sinα=(√5+1)/4 cosα=√(10-2√5)/4 tαnα=√(25+10√5)/5 cscα=√5-1 secα=√(50+10√5)/5 cotα=√(5-2√5) α=72°(2π/5) sinα=√(10+2√5)/4 cosα=(√5-1)/4 tαnα=√(5+2√5) cscα=√(50-10√5)/5 secα=√5+1 cotα=√(25-10√5)/5 通过比较可发现与黄金三角形相关的三角函数值有很强的对称性 这些数值的证明可以借助黄金三角形中的比例 特殊角的三角函数(重要)

sin是 对边比斜边 ，cos是邻边比斜边，tan是对边比邻边 cot邻边比对边。sin30是二分之一，45是二分之根二，60是二分之根三。cos304560分别是二分之根三，二分之根二，二分之一。tan304560分别是三分之根三，一，根三。cot304560分别是根三，一，三分之根三。

（1）特殊角三角函数值　　sin0=0　　sin30=0.5　　sin45=0.7071 二分之根号2　　sin60=0.8660 二分之根号3　　sin90=1　　cos0=1　　cos30=0.866025404 二分之根号3　　cos45=0.707106781 二分之根号2　　cos60=0.5　　cos90=0　　tan0=0　　tan30=0.577350269 三分之根号3　　tan45=1　　tan60=1.732050808 根号3　　tan90=无　　cot0=无　　cot30=1.732050808 根号3　　cot45=1　　cot60=0.577350269 三分之根号3　　cot90=0　　（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。（见下）　　（3）锐角三角函数值的变化情况　　（i）锐角三角函数值都是正值　　（ii）当角度在0°～90°间变化时，　　正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）　　余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）　　正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）　　余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）　　（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，　　0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,　　当角度在0°<α<90°间变化时，　　tanα>0, cotα>0.　　“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。　　附：三角函数值表　　sin0=0, 　　sin15=（√6-√2)/4 , 　　sin30=1/2, 　　sin45=√2/2, 　　sin60=√3/2, 　　sin75=(√6+√2)/2 , 　　sin90=1, 　　sin105=√2/2*(√3/2+1/2) 　　sin120=√3/2 　　sin135=√2/2 　　sin150=1/2 　　sin165=（√6-√2)/4 　　sin180=0 　　sin270=-1 　　sin360=0　　sin1=0.01745240643728351 sin2=0.03489949670250097 sin3=0.05233595624294383 　　sin4=0.0697564737441253 sin5=0.08715574274765816 sin6=0.10452846326765346 　　sin7=0.12186934340514747 sin8=0.13917310096006544 sin9=0.15643446504023087 　　sin10=0.17364817766693033 sin11=0.1908089953765448 sin12=0.20791169081775931 　　sin13=0.22495105434386497 sin14=0.24192189559966773 sin15=0.25881904510252074 　　sin16=0.27563735581699916 sin17=0.2923717047227367 sin18=0.3090169943749474 　　sin19=0.3255681544571567 sin20=0.3420201433256687 sin21=0.35836794954530027 　　sin22=0.374606593415912 sin23=0.3907311284892737 sin24=0.40673664307580015 　　sin25=0.42261826174069944 sin26=0.4383711467890774 sin27=0.45399049973954675 　　sin28=0.4694715627858908 sin29=0.48480962024633706 sin30=0.49999999999999994 　　sin31=0.5150380749100542 sin32=0.5299192642332049 sin33=0.544639035015027 　　sin34=0.5591929034707468 sin35=0.573576436351046 sin36=0.5877852522924731 　　sin37=0.6018150231520483 sin38=0.6156614753256583 sin39=0.6293203910498375 　　sin40=0.6427876096865392 sin41=0.6560590289905073 sin42=0.6691306063588582 　　sin43=0.6819983600624985 sin44=0.6946583704589972 sin45=0.7071067811865475 　　sin46=0.7193398003386511 sin47=0.7313537016191705 sin48=0.7431448254773941 　　sin49=0.7547095802227719 sin50=0.766044443118978 sin51=0.7771459614569708 　　sin52=0.7880107536067219 sin53=0.7986355100472928 sin54=0.8090169943749474 　　sin55=0.8191520442889918 sin56=0.8290375725550417 sin57=0.8386705679454239 　　sin58=0.848048096156426 sin59=0.8571673007021122 sin60=0.8660254037844386 　　sin61=0.8746197071393957 sin62=0.8829475928589269 sin63=0.8910065241883678 　　sin64=0.898794046299167 sin65=0.9063077870366499 sin66=0.9135454576426009 　　sin67=0.9205048534524404 sin68=0.9271838545667873 sin69=0.9335804264972017 　　sin70=0.9396926207859083 sin71=0.9455185755993167 sin72=0.9510565162951535 　　sin73=0.9563047559630354 sin74=0.9612616959383189 sin75=0.9659258262890683 　　sin76=0.9702957262759965 sin77=0.9743700647852352 sin78=0.9781476007338057 　　sin79=0.981627183447664 sin80=0.984807753012208 sin81=0.9876883405951378 　　sin82=0.9902680687415704 sin83=0.992546151641322 sin84=0.9945218953682733 　　sin85=0.9961946980917455 sin86=0.9975640502598242 sin87=0.9986295347545738 　　sin88=0.9993908270190958 sin89=0.9998476951563913 　　sin90=1　　cos1=0.9998476951563913 cos2=0.9993908270190958 cos3=0.9986295347545738 　　cos4=0.9975640502598242 cos5=0.9961946980917455 cos6=0.9945218953682733 　　cos7=0.992546151641322 cos8=0.9902680687415704 cos9=0.9876883405951378 　　cos10=0.984807753012208 cos11=0.981627183447664 cos12=0.9781476007338057 　　cos13=0.9743700647852352 cos14=0.9702957262759965 cos15=0.9659258262890683 　　cos16=0.9612616959383189 cos17=0.9563047559630355 cos18=0.9510565162951535 　　cos19=0.9455185755993168 cos20=0.9396926207859084 cos21=0.9335804264972017 　　cos22=0.9271838545667874 cos23=0.9205048534524404 cos24=0.9135454576426009 　　cos25=0.9063077870366499 cos26=0.898794046299167 cos27=0.8910065241883679 　　cos28=0.882947592858927 cos29=0.8746197071393957 cos30=0.8660254037844387 　　cos31=0.8571673007021123 cos32=0.848048096156426 cos33=0.838670567945424 　　cos34=0.8290375725550417 cos35=0.8191520442889918 cos36=0.8090169943749474 　　cos37=0.7986355100472928 cos38=0.7880107536067219 cos39=0.7771459614569709 　　cos40=0.766044443118978 cos41=0.754709580222772 cos42=0.7431448254773942 　　cos43=0.7313537016191705 cos44=0.7193398003386512 cos45=0.7071067811865476 　　cos46=0.6946583704589974 cos47=0.6819983600624985 cos48=0.6691306063588582 　　cos49=0.6560590289905074 cos50=0.6427876096865394 cos51=0.6293203910498375 　　cos52=0.6156614753256583 cos53=0.6018150231520484 cos54=0.5877852522924731 　　cos55=0.5735764363510462 cos56=0.5591929034707468 cos57=0.5446390350150272 　　cos58=0.5299192642332049 cos59=0.5150380749100544 cos60=0.5000000000000001 　　cos61=0.4848096202463371 cos62=0.46947156278589086 cos63=0.4539904997395468 　　cos64=0.43837114678907746 cos65=0.42261826174069944 cos66=0.4067366430758004 　　cos67=0.3907311284892737 cos68=0.3746065934159122 cos69=0.35836794954530015 　　cos70=0.3420201433256688 cos71=0.32556815445715675 cos72=0.30901699437494745 　　cos73=0.29237170472273677 cos74=0.27563735581699916 cos75=0.25881904510252074 　　cos76=0.24192189559966767 cos77=0.22495105434386514 cos78=0.20791169081775923 　　cos79=0.19080899537654491 cos80=0.17364817766693041 cos81=0.15643446504023092 　　cos82=0.13917310096006546 cos83=0.12186934340514749 cos84=0.10452846326765346 　　cos85=0.08715574274765836 cos86=0.06975647374412523 cos87=0.052335956242943966 　　cos88=0.03489949670250108 cos89=0.0174524064372836 　　cos90=0　　tan1=0.017455064928217585 tan2=0.03492076949174773 tan3=0.052407779283041196 　　tan4=0.06992681194351041 tan5=0.08748866352592401 tan6=0.10510423526567646 　　tan7=0.1227845609029046 tan8=0.14054083470239145 tan9=0.15838444032453627 　　tan10=0.17632698070846497 tan11=0.19438030913771848 tan12=0.2125565616700221 　　tan13=0.2308681911255631 tan14=0.24932800284318068 tan15=0.2679491924311227 　　tan16=0.2867453857588079 tan17=0.30573068145866033 tan18=0.3249196962329063 　　tan19=0.34432761328966527 tan20=0.36397023426620234 tan21=0.3838640350354158 　　tan22=0.4040262258351568 tan23=0.4244748162096047 tan24=0.4452286853085361 　　tan25=0.4663076581549986 tan26=0.4877325885658614 tan27=0.5095254494944288 　　tan28=0.5317094316614788 tan29=0.554309051452769 tan30=0.5773502691896257 　　tan31=0.6008606190275604 tan32=0.6248693519093275 tan33=0.6494075931975104 　　tan34=0.6745085168424265 tan35=0.7002075382097097 tan36=0.7265425280053609 　　tan37=0.7535540501027942 tan38=0.7812856265067174 tan39=0.8097840331950072 　　tan40=0.8390996311772799 tan41=0.8692867378162267 tan42=0.9004040442978399 　　tan43=0.9325150861376618 tan44=0.9656887748070739 tan45=0.9999999999999999 　　tan46=1.0355303137905693 tan47=1.0723687100246826 tan48=1.1106125148291927 　　tan49=1.1503684072210092 tan50=1.19175359259421 tan51=1.234897156535051 　　tan52=1.2799416321930785 tan53=1.3270448216204098 tan54=1.3763819204711733 　　tan55=1.4281480067421144 tan56=1.4825609685127403 tan57=1.5398649638145827 　　tan58=1.6003345290410506 tan59=1.6642794823505173 tan60=1.7320508075688767 　　tan61=1.8040477552714235 tan62=1.8807264653463318 tan63=1.9626105055051503 　　tan64=2.050303841579296 tan65=2.1445069205095586 tan66=2.246036773904215 　　tan67=2.355852365823753 tan68=2.4750868534162946 tan69=2.6050890646938023 　　tan70=2.7474774194546216 tan71=2.904210877675822 tan72=3.0776835371752526 　　tan73=3.2708526184841404 tan74=3.4874144438409087 tan75=3.7320508075688776 　　tan76=4.0107809335358455 tan77=4.331475874284153 tan78=4.704630109478456 　　tan79=5.144554015970307 tan80=5.671281819617707 tan81=6.313751514675041 　　tan82=7.115369722384207 tan83=8.144346427974593 tan84=9.514364454222587 　　tan85=11.43005230276132 tan86=14.300666256711942 tan87=19.08113668772816 　　tan88=28.636253282915515 tan89=57.289961630759144 　　tan90=无取值

三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。 常用三角函数值对照表 三角函数公式 一、倍角公式 1.sin2A=2sinA*cosA 2.cos2A=cosA^2-sinA^2=1-2sinA^2=2cosA^2-1 3.tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：sinA^2是sinA的平方） 二、降幂公式 1.sin^2(α)=(1-cos(2α))/2 2.2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2 3.tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 三、推导公式 1.1tanα+cotα=2/sin2α 2.tanα-cotα=-2cot2α 3.1+cos2α=2cos^2α 4.4-cos2α=2sin^2α 5.1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina 四、两角和差 1.1cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ 2.cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ 3.sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ 4.4tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) 5.tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

（1）特殊角三角函数值　　sin0=0　　sin30=0.5　　sin45=0.7071 二分之根号2　　sin60=0.8660 二分之根号3　　sin90=1　　cos0=1　　cos30=0.866025404 二分之根号3　　cos45=0.707106781 二分之根号2　　cos60=0.5　　cos90=0　　tan0=0　　tan30=0.577350269 三分之根号3　　tan45=1　　tan60=1.732050808 根号3　　tan90=无　　cot0=无　　cot30=1.732050808 根号3　　cot45=1　　cot60=0.577350269 三分之根号3　　cot90=0　　（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。（见下）　　（3）锐角三角函数值的变化情况　　（i）锐角三角函数值都是正值　　（ii）当角度在0°～90°间变化时，　　正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）　　余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）　　正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）　　余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）　　（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，　　0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,　　当角度在0°<α<90°间变化时，　　tanα>0, cotα>0.　　“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。　　附：三角函数值表　　sin0=0, 　　sin15=（√6-√2)/4 , 　　sin30=1/2, 　　sin45=√2/2, 　　sin60=√3/2, 　　sin75=(√6+√2)/2 , 　　sin90=1, 　　sin105=√2/2*(√3/2+1/2) 　　sin120=√3/2 　　sin135=√2/2 　　sin150=1/2 　　sin165=（√6-√2)/4 　　sin180=0 　　sin270=-1 　　sin360=0

完整初中三角函数值表如下图所示：常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。扩展资料：从5世纪到12世纪，印度数学家对三角学做出了巨大的贡献。虽然三角学在当时仍然是一种计算工具，是天文学的辅助，但在印度数学家的努力下，三角学的内容大大丰富了。是印度数学家首先在三角学中引入了“正弦”和“余弦”的概念，他们制作了比托勒密更精确的正弦表。我们已经知道托勒密和希帕克做的弦表是一个圆的全弦表，它对应着圆弧与圆弧之间的弦。另一方面，印度数学家，将半根弦(AC)和半根弧(AD)对应起来，这样AC就对应角AOC，这样他们得到的就不再是整根弦的表，而是正弦的表。印度人把连接电弧两端的绳子（AB）叫做（AB）“吉巴”，意思是弓弦。AB（AC）的一半叫做“Alhajiwa”。“基瓦”一词后来在阿拉伯语中被误读为“弯曲”、“休息”和阿拉伯语中的“dschaib”。在12世纪，阿拉伯语被翻译成拉丁语，这个词被转述为sinus。

在高中数学中，常用的三角函数是正弦函数（sin），余弦函数（cos），正切函数（tan），割函数（sec），余割函数（csc），以及它们的倒数函数。三角函数值表通常包含以下内容：1. 角度值：常用的角度值包括 0°、30°、45°、60° 和 90°，以及它们的整数倍和相关补角。这些角度值是常用的特殊角，对应于简单的三角函数值。2. 弧度值：三角函数在数学中通常使用弧度进行计算。常用弧度值包括 0，π/6，π/4，π/3，π/2 等特殊弧度值，对应于简单的三角函数值。3. 正弦值（sin）：表示角的对边与斜边的比值。4. 余弦值（cos）：表示角的邻边与斜边的比值。5. 正切值（tan）：表示角的对边与邻边的比值。6. 割值（sec）：表示角的斜边与邻边的比值的倒数。7. 余割值（csc）：表示角的斜边与对边的比值的倒数。8. 弧度制下的三角函数值：三角函数值也可以用弧度制进行计算和表示。其中，0°、30°、45°、60° 和 90° 这几个特殊角的三角函数值是非常常用的，因为它们较为容易计算和记忆。注意：当涉及特殊角的三角函数值表时，通常会给出近似值或精确值。具体要看教材或参考资料中的表格内容。

三角函数值公式表如下：积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)*[sin(α+β)+sin(α-β)]；cosα·sinβ=(1/2)*[sin(α+β)-sin(α-β)]；cosα·cosβ=(1/2)*[cos(α+β)+cos(α-β)]；sinα·sinβ=-(1/2)*[cos(α+β)-cos(α-β)]。和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]；sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]；cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]；cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]。两角和与差的三角函数关系：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ；cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ；tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)；tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)。

在三角函数中，有一些特殊角，例如30°、45°、60°，这些角的三角函数值为简单单项式，计算中可以直接求出具体的值。下文我给大家整理了《特殊角的三角函数值表 三角函数值公式大全》，仅供参考! 特殊角的三角函数值表 特殊角三角函数值公式大全 sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=(√6-√2)/4 sin75°=(√6+√2)/4 cos15°=(√6+√2)/4 cos75°=(√6-√2)/4(这四个可根据sin(45°±30°)=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出) sin18°=(√5-1)/4 (这个值在高中竞赛和自招中会比较有用，即黄金分割的一半) 正弦定理：在△ABC中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (其中，R为△ABC的外接圆的半径。) 三角函数的诱导公式(六公式) 公式一： sin(α+k*2π)=sinα cos(α+k*2π)=cosα tan(α+k*2π)=tanα 公式二： sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tan(π+α)=tanα 公式三： sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα 公式四： sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα tan(π-α) =-tanα 公式五： sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) =sinα 由于π/2+α=π-(π/2-α)，由公式四和公式五可得 公式六： sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π/2+α)= cosα cos(π/2+α)= -sinα tan(π/2+α)= -cotα cot(π/2+α)= -tanα sin(π/2-α)= cosα cos(π/2-α)= sinα tan(π/2-α)= cotα cot(π/2-α)= tanα sin(3π/2+α)= -cosα cos(3π/2+α)= sinα tan(3π/2+α)= -cotα cot(3π/2+α)= -tanα sin(3π/2-α)= -cosα cos(3π/2-α)= -sinα tan(3π/2-α)= cotα cot(3π/2-α)= tanα 诱导公式 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限。 和(差)角公式 三角和公式 sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·coscγ-osα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanα·tanγ) (α+β+γ≠π/2+2kπ，α、β、γ≠π/2+2kπ) 积化和差的四个公式 sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 和差化积的四个公式： sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

三角函数表如下：简介：三角函数的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

如图所示：90°的奇数倍＋α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍＋α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变”。sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotαsec（2kπ＋α）＝secαcsc（2kπ＋α）＝cscα三角函数化简与求值时需要的知识储备：1、熟记特殊角的三角函数值；2、注意诱导公式的灵活运用；3、三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。以上内容参考：百度百科——三角函数

三角函数表如下：三角函数的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。扩展资料：常用的和角公式1、sin(α+β)=sinαcosβ+ sinβcosα2、sin(α-β)=sinαcosβ-sinB*cosα3、cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ4、cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ5、tan(α+β)=(tanα+tanβ) / (1-tanαtanβ)

完整初中三角函数值表如下图所示：常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。扩展资料：起源公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。我们已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同，他们把半弦（AC）与全弦所对弧的一半（AD）相对应，即将AC与∠AOC对应，这样，他们造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。印度人称连结弧（AB）的两端的弦（AB）为”吉瓦（jiba）”，是弓弦的意思；称AB的一半（AC） 为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为”弯曲”、”凹处”，阿拉伯语是 ”dschaib”。十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了”sinus”。

附：三角函数值表　　sin0=0,　　sin15=（√6-√2)/4 ,　　sin30=1/2,　　sin45=√2/2,　　sin60=√3/2,　　sin75=(√6+√2)/2 ,　　sin90=1,　　sin105=√2/2*(√3/2+1/2)　　sin120=√3/2　　sin135=√2/2　　sin150=1/2　　sin165=（√6-√2)/4　　sin180=0　　sin270=-1　　sin360=0　　sin1=0.01745240643728351 sin2=0.03489949670250097 sin3=0.05233595624294383　　sin4=0.0697564737441253 sin5=0.08715574274765816 sin6=0.10452846326765346　　sin7=0.12186934340514747 sin8=0.13917310096006544 sin9=0.15643446504023087　　sin10=0.17364817766693033 sin11=0.1908089953765448 sin12=0.20791169081775931　　sin13=0.22495105434386497 sin14=0.24192189559966773 sin15=0.25881904510252074　　sin16=0.27563735581699916 sin17=0.2923717047227367 sin18=0.3090169943749474　　sin19=0.3255681544571567 sin20=0.3420201433256687 sin21=0.35836794954530027　　sin22=0.374606593415912 sin23=0.3907311284892737 sin24=0.40673664307580015　　sin25=0.42261826174069944 sin26=0.4383711467890774 sin27=0.45399049973954675　　sin28=0.4694715627858908 sin29=0.48480962024633706 sin30=0.49999999999999994　　sin31=0.5150380749100542 sin32=0.5299192642332049 sin33=0.544639035015027　　sin34=0.5591929034707468 sin35=0.573576436351046 sin36=0.5877852522924731　　sin37=0.6018150231520483 sin38=0.6156614753256583 sin39=0.6293203910498375　　sin40=0.6427876096865392 sin41=0.6560590289905073 sin42=0.6691306063588582　　sin43=0.6819983600624985 sin44=0.6946583704589972 sin45=0.7071067811865475　　sin46=0.7193398003386511 sin47=0.7313537016191705 sin48=0.7431448254773941　　sin49=0.7547095802227719 sin50=0.766044443118978 sin51=0.7771459614569708　　sin52=0.7880107536067219 sin53=0.7986355100472928 sin54=0.8090169943749474　　sin55=0.8191520442889918 sin56=0.8290375725550417 sin57=0.8386705679454239　　sin58=0.848048096156426 sin59=0.8571673007021122 sin60=0.8660254037844386　　sin61=0.8746197071393957 sin62=0.8829475928589269 sin63=0.8910065241883678　　sin64=0.898794046299167 sin65=0.9063077870366499 sin66=0.9135454576426009　　sin67=0.9205048534524404 sin68=

不是，如果目标函数是max，最后检验数Cj-Zj都是负数的时候为最优解；如果目标函数是min，最后检验数Cj-Zj都是正数的时候为最优解，同时确定换入变量的时候的准则也相反。

因为基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。从线性方程组找出一个个的单纯形，每一个单纯形可以求得一组解，然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小了，决定下一步选择的单纯形。通过优化迭代，直到目标函数实现最大或最小值。如果线性问题存在最优解，一定有一个基可行解是有最优解。因此单纯形法迭代的基本思路是：先找出一个基可行解，判断其是否为最优解。如为否，则转换到相邻的基可行解，并使目标函数值不断增大，一直找到最优解为止。扩展资料：由于目标函数和约束条件内容和形式上的差别，线性规划问题可以有多种表达式。因此，为了便于讨论和制定统一的算法，在制定单纯形法时，规定使用单纯形法求解的线性规划问题需要有一个标准形式，它有下面三个特征：(1) 标准形式目标函数统一为求极大值或极小值，但单纯形法主要用来求解极大值；(2) 所有约束条件（除非负条件外）都是等式，约束条件右端常数项bi全为非负值；(3) 所有变量的取值全为非负值。搜索免费python全套教程python必背100源代码编程入门教程300例初学编程100个简单教程初中数学全套解题技巧编程必背50个程序

如果函数是确定的，那么他的期望就是他本身，不需要再求了。随机过程当中求的期望是因为在每个确定时刻函数是不确定的，所以才要求期望。

第一问：先把德尔塔的p次方移至不等式左端，再对右端进行分析。把g的Lp范数的p次方写成勒贝格积分的形式，然后，把积分号下面的积分域E分成两部分，第一部分是g的绝对值大于或等于德尔塔，另一部分是g的绝对值小于德尔塔。接着，对第一部分的勒贝格积分进行估计。第二问；把f-fn代入第一问的g，然后就得出答案了。

单调集合的上极限集会等于下极限集，所以极限集是存在的，只是收敛到的极限集可能是无限集

实变函数中，最基本的测度概念，测就是测量的意思，与长度面积体积相关，可合同的点集，应该是可以一一对应的点集，比如整数集和有理数集，就是可合同的点集，他们的程度都是零，无理数集与实数集，也是可合同的点集，所举的两个例子，可能你还没学到，

考研数学中没有实变函数主要是因为实变函数是一门比较新的数学分支，与现有的数学分支相比还不够成熟，因此在考研数学中并没有单独设置实变函数这一科目。实变函数是研究实数域上的函数的性质的一门数学分支，它主要涉及到实数、实数函数、实数序列、实数级数、实数空间等概念。实变函数的研究对象是实数域，其特点是连续、稠密、无限、无理等性质，因此实变函数的研究具有很高的难度和深度，并且在实际应用中也有着广泛的应用。虽然考研数学中没有单独设置实变函数这一科目，但是实变函数中的一些概念和方法仍然会在其他数学课程中出现，比如在实分析、泛函分析、偏微分方程等课程中都会涉及到实变函数的相关知识。因此，掌握实变函数的基本概念和方法对于数学专业的学生来说仍然是非常重要的。

定理 1.3.1 集合为可列集的充分必要条件是它的全体元素可排成一个无穷序列的形式： 定理1.3.2 任何无限集都包含一个可列子集． 定理1.3.3 (1) 可列集的子集至多可列（有限或可列）； (2) 若 是可列集， 是有限集且 ，则 为可列集．图片出不来，你自己到那网站看

复变函数中z趋于z0的方式是指z沿着区域内任意一条曲线趋于z0。而实变函数中，x趋于x0的方式无外乎+x，-x两个方向。显然复变函数极限存在的条件比实变函数苛刻得多！这也是复变函数与实变函数不同的根源。

站在实变函数的角度对中学数学的理解如下：为了研究函数的性质，对函数的定义域再认识，从而从另一角度研究集合，因此实变函数课程中一开始就研究集合，当然不只是停留在集合的简单运算上。当两个集合之间能建立一一映射时，这两个集合中的元素就是一样多的。由于无理数集是不可数集，有理数集是可数集，则无理数集与有理数集不对等，这两个集合中的元素就不是一样多的，实际上无理数比有理数要多得多。利用一一映射，还可以得到任何一个三角形的三条边上的点是一样多的，但就长度而言三条边往往不相等，这说明点不能有大小（度量），并不是人为规定点没有大小。由此看出，只有真正学懂了实变函数课程，才能正确理解和解释中小学数学课程中的一些概念、性质和结论。实变函数对中学课程的重要性：实变函数课程的思想痕迹在初等数学中就有所体现，掌握实变函数的知识对正确理解和解释中小学数学课程中的一些概念、性质和结论有很大的益处。点集的测度在现实中是能够得到较好解释的。函数的可测并不十分抽象，可以设计较好的情境讲授函数的可测。在函数可测意义之下，实变函数课程很好地解决了函数列、函数项级数收敛内容中的难题，使计算得到大大简化。实变函数课程对于大多数学生来说都很困难、很抽象，主要原因是学生习惯了从初等数学到数学分析或高等数学，所研究的函数都是常规的性质很好的函数。然而，有更多的性质不好的函数，需要换个角度认识它们，这就导致实变函数思想的形成，并最终成为一门课程。这门课程的思想方法与思想痕迹其实在中学数学课程及大学数学课程中都有所体现。

用测度的可数可加性，单调性以及对A-B进行合理的分拆，可以得到结论m(A-B)>=mA-mB设A,B为可测集，mB=0，则m(A-B)=mA详见参考资料

《实变函数》和《复变函数》都是数学系本科的专业课程。简单的说《实变函数》主要研究的是定义域为实数的函数的性质，而《复变函数》主要研究的是定义域为复数的函数的性质。 《实变函数》主要引进了一种新的积分-Lebesgue积分，用来研究不连续函数的积分问题。 《复变函数》主要研究定义域为复数的函数的微积分以及幂级数展开等性质。可以理解为复数函数的《数学分析》。但内容上有所增加。 在我国的数学系课程中，二者的联系并不大，研究的方法也不同。可以说《实变函数》要更深一些。如果要深入了解它们之间的联系，可以看一下这本书Walter Rudin的《Real and Complex Analysis》（有中译本），它是美国大学数学系研究生用书，其中包括了《实变函数》和《复变函数》。

如果 F 含区间，容易构造。下面设F不含区间。设a = min(F), b=max(F)[a,b] - F 是由可列个开区间构成。称此开区间集合为G 设G中最大的开区间为（a1,b1). 设 I0 =[a,a1], I1 = [b1,b]然后，在I0中去掉G中最大区间，小的部分称为 I00， 大的部分称I01，在I1中去掉G中最大区间，小的部分称为 I10， 大的部分称I11，.。。。。。任给 x属于F, x必然属于 一个 In1, In1n2,..., I(n1...ni),... 序列。定义 f(x)= 对应的I序列的下标的如下序列的极限点。0.n1,0.n1n2,...0.n1...ni,....而上面的序列规定为[0,1]中实数的二进制表示序列，于是有极限。 构造如上， 对不在F上的点，f 定义的扩充是自然的。在G中的每个区间上都是常值。验证满足3个条件都比较直接。

在研究两个无穷集合等势的问题时：1、只要找到一个映射使得两个集合的元素能一一对应，就可以说这两个集合等势。2、如果想证明两个集合不等势，必须要证明不可能存在一一对应，这里不能用举例子的办法。3、即使你找了任意数量的映射使得两个集合的元素不能一一对应，也是没有任何证明力的。

对u2200α、β∈[a,b]，有：故f在u2200(α，β)u2282[a,b]上的积分均为0，又[a,b]上的任意开集可以表示成可数个开区间的并，由于每个开区间上积分为0，由勒贝格积分的可数可加性，f在任意开集上积分为0，由于[a,b]上的任意闭集均是某个开集的余集(补集)，由令题目条件中c=b，可知f在[a,b]上积分为0，故在任意闭集上的积分为0，现假设f=0在[a,b]上不是几乎处处成立的，那么存在某个集合E，在E上f≠0，且mE>0,设E"={x∈E|f(x)>0},E""={x∈E|f(x)<0}，E"∩E‘"=u2205，E=E‘∪E""，于是，由mE=mE‘+mE"‘>0mE"和mE‘"至少有一个大于0，不妨设mE‘>0，由测度性质，存在闭集Fu2282E"，mF>0（否则E"内测度为0，又f是可积函数，f必可测，知E‘可测可推出E"外测度亦为0，于是得mE‘=0，矛盾)，由Fu2282E"，知f(x)>0,x∈F因此有：但这与前面得出的f在任意闭集上的积分为0矛盾，故f=0a.e.于[a,b]

注意这个定理的条件有个不成立： “当z在上半平面及实轴上趋近于无穷时,z*f(z)一致地趋近于零” e^(-x^2)在x沿着虚轴正向趋于无穷的时候,是发散到无穷大的. 建议在理解这个定理的时候,可以结合扩充复平面的知识加深理解.

内容基本差不多，在集合论部分郑书多给了一些拓扑定义，然后还讲了一些有关序和选择公理的东西，程书把序和选择公理放在附录做简单说明，但是这一部分对实变函数学习影响不大，测度论方面郑书从外测度、内测度出发给出测度，按照勒贝格最早建立测度论的顺序来，操作较复杂，而程书给出外测度后直接由卡拉泰奥多里条件定义测度，简单但抽象，两种定义实际等价，那种容易接受还要看个人习惯。此外，郑书另外讲了σ环。可测函数部分郑书对一些定理的证明思路偏爱用简单函数逼近，程书喜欢按可测定义来做，各有千秋，主要定理，比如叶果洛夫定理、鲁津定理、勒贝格定理、里斯定理证明也都差不多。积分论前半部分，郑书感觉条理比较乱，比如第二节一下很多性质，程书是按简单、非负、一般的顺序分节叙述的。那种好接受也要看个人习惯，然后是后半部分，郑书对富比尼定理讲得较多，但微分讲得较少，程书富比尼讲得少，但是微分另成一章，讲得很细。泛函部分感觉程书更好一些，郑书有部分定理证明有瑕疵。对经济学来书测度论和积分论对学习高等概率论有用，所以实变部分很重要，可任选一本作为主要学习的教材，另一本最好有电子版，互相参考。如果感觉两本都太基础可选用周民强《实变函数论》

自学实变函数论。（假设楼主的基础为0。如果楼主是高中以上水平，可以省略第一步） 第一步：学习集合论基础。函数基础。高中教科书有这些内容。 第二步：学习数学分析，相关自学教材：《数学分析》上下册，复旦大学出版社，欧阳光中，姚允龙，周渊 编著。这是一本很好的教材，为了学习实变函数论，你只要自学它的上册就足够了，至于下册，是多元函数的内容。这本书的证明严格，且容易看懂，解释透彻，练习题的答案很详细。 第三部：有了数学分析的知识，相信你学习实变函数论会得心应手。实变函数论的教材也不少，出名一点的是俄罗斯选译教材《实变函数论（第五版）》，那汤松著，高等教育出版社。不过它有一个缺点就是，习题难度较高，而且书里面没有给出答案。不过你可以上网下载答案，新浪共享资源大把这些东西。实变函数论的其他教科书也有不少出色的。如果你想真正深入自学实变函数论的话，建议你多买几本关于它的教科书，这样就可以不约束于一本两本。 这些教科书一般书店是没有的，如果楼主是大学生的话，可以去大学图书馆，那里应该有。或者，可以网购咯，当当网，淘宝，卓越亚马逊都有这些书买。 因为实变函数论有些知识点很难，如果遇到暂时解决不了的问题，建议你先放下别管，或者去请教他人。最好选择有名气的教科书，因为它有名气是有它的理由的，一般比较好，编排也很系统，适合自学。 我也是一个自学的人哦，目前是自学线性代数，同道中人，支持下！

设有集合A,那么集合A的闭包是指A的所有极限点的全体。

1. Weierstrass 定理：设 f 是 C 的一个含有 0 的区域上的全纯函数，则存在自然数 n 使得 f(z) = z^n g(z), 其中 g 全纯并且 g(0)≠0实变函数一般是提不出 z^n 这种东西的2. 刚性定理（或者叫最大模原理）：设 f(z) 在 C 的一个区域上全纯，在其闭包上连续，如果 f 在边界上恒为 0，则 f 只能处处为 0实函数没有这么硬，比如磨光核就是在边界上为 0 的非负光滑函数，并且积分=13. 紧复流形到 C 的全纯映射只能是常值映射这个在实变函数里是绝对不可能有的定理，再次说明了复变函数的刚性，也就是非常硬，稍微加点条件就是常数。4. 如果 f 在 C 的一个区域上全纯，并且在 z_0 的附近不是常值函数，那么 f 在 z_0 附近一定是开映射，并且不是一个分歧覆盖就是局部解析同胚。这也是实变函数不可想象的结论，即便对一般的线性空间，也要满足一些比 “不是常数” 苛刻得多的条件才有开映射定理。5. 对复变函数 f, 如果 f " 存在，f "" 就存在，这样一直下去，就推出 f 全纯但是很明显有一阶可导但二阶不可导的实变函数6. Liouvielle 定理. C 上的有界全纯函数一定是常数这个对实变函数也是不可想象的，比如 arctan x 就是 R 上的有界光滑函数，但不是常数7. 全纯函数一定是调和函数，故满足平均值原理。但是实变的光滑函数有很多都不是调和函数，比如平面上的函数 z = x^3 + y^3

现证f（x）/x在原点附近有界，利用f在x=0可微。

mE是指E的测度，m*E是指E的外侧度。对于任意集合E，外侧度m*E总是存在且有意义的。但是mE仅仅当E是可测集的时候才有意义。

首先[0,1]的基数为C,其次[0,1]上的有理数是可数的.所以[0,1]/Q[0,1]的基数=[0,1]的基数,所以就是C了

令Fn={x:f(x)<n}，则R是诸Fn之并。记E和Fn的交集为En，显然En是个离散集（即没有聚点），因此是可数集。从而E作为诸En之并也是可数集。

这个么 我们初中老师曾经给我们侃过这个问题当时的做法虽有些幼稚 但也有可取之处大概说一下 任取一个无理数 例如 pi将所有的有理数均与之相乘 得到的数全部为无理数 个数比有理数少一（这是由于零的缘故）再取一个无理数根号2 可得到比有理数多得多的无理数 所以无理数比有理数多真正正面回答这个问题的地方是在实变函数论中 就如楼上所说的 有理数是可数个 而无理数是不可数个 区间[0，1]中有理数的测度和为0，而无理数的测度和为1 所以无理数的个数比有理数的多

依测度收敛(convergence in measure)是实变函数论中重要的收敛概念之一。 正文 设{f}(x)}是定义在可测集E上几乎处处有限的可测函数列，f(x)是E上几乎处处有限的可测函数，若对任给。}0, 依测度收敛 则{f}(x)}称为依测度收敛于f (x).这个概念经过推广，在概率论中也有用.

如果是刚入门的话，看看现在师范类院校用的程其襄的实变函数还是可以的，《实变函数》江泽坚，吴志泉 也是比较适合初学者，《实变函数论》那汤松 我觉得这本书也写的相当到位，看看也出错；如果你的实变函数有一定的基础，或者说对集合论、测度论比较熟悉的话，看看周民强的，这本书有点儿难度，但是里面的思想学习一下还是很有好处的

就是定义在这个集合内的点上的函数值为1，其他为0。实变函数里面，一个可测集的特征函数是可测函数，其线性组合是简单函数，在可测函数里面稠密。

设F(s) = ∫{0,+∞} f(t)e^(-st) dt.由f(t)非负, e^(-st)关于s单调递减 (t ≥ 0), 可知F(s)单调递减.又F(s) > 0, 可知lim{s → +∞} F(s)存在.于是lim{s → +∞} F(s) = lim{n → ∞} F(n).只需考虑数列F(n)的极限.考虑函数列fn(x) = f(x)e^(-nx), 易见0 ≤ fn(x) ≤ f(x)对任意x ≥ 0成立.又f(x)在[0,+∞)可积, 即函数列fn(x)存在可积的控制函数.易见当n → ∞时, 函数列fn(x)在(0,+∞)上逐点收敛到0, 即极限函数几乎处处为0.由Lebesgue控制收敛定理, lim{n → ∞} F(n) = lim{n → ∞} ∫{0,+∞} f(t)e^(-nt) dt= lim{n → ∞} ∫{0,+∞} fn(t) dt= ∫{0,+∞} lim{n → ∞} fn(t) dt= 0.综上lim{s → +∞} F(s) = 0.注: 其实不预先证明lim{s → +∞} F(s)存在也是可以的.只需对任意趋于∞的数列a[n], 用Lebesgue控制收敛定理证明F(a[n])都收敛到0.

实变函数是一门相对难的课程，我的感觉是，看清定义很重要，想清套路很重要。为什么定义很重要？相对黎曼积分来说，Lebesgue积分的建构是比较复杂的，在学黎曼积分的时候，其实涉及的定义很多高中时候就直接学过或者间接接触过，所以定义对我们来说似乎不需要过度关注也能把握好，但是Lebesgue积分不同，虽然是黎曼积分的推广，可这推广的幅度却很大，里面很多概念（即定义）是前面没有讨论过的，比如测度的引入。要学好这门课，如果定义不清是肯定不行的，我建议你每遇到一个新的定义就要问问自己问问书本问问老师为什么需要它，定义的出现都是有它的必要性的。当然，弄清定义是学习中的微观层面，宏观层面需要想清Lebesgue积分整体构造的套路：它是如何从集合论出发，引入测度，定义收敛，定义简单函数积分进而到一般函数积分。总之，学习的过程中微观层面需要不断问为什么，宏观层面需要不断问怎么做，如果你能把握好这两点，我想你肯定能学好这门课程。另外，课外看看测度论的书对学习实变函数是有好处的。

首先，回答第一个问题：E1,E2,..,En必须可测子集，而且满足两两互不相交才能满足可加性。 其次，回答第二个问题：m*（I）= m*（I∩E）+m*(I∩E（补集）) 是一个集合可测的充分必要条件，即满足m*（I）= m*（I∩E）+m*(I∩E（补集）)条件的集合称为可测集。也就是说不是所有集合满足上述条件。

最重要的就是数学分析，尤其是黎曼积分以及分析学的思路。1、 实变函数就是黎曼积分的拓展，介绍一种新的积分——勒贝格积分，将可积函数类的范围扩大了。 2、值得注意的是勒贝格积分当中，牛顿莱布尼兹公式不一定成立（仅有一个小于等于号），除非是绝对连续或者有界变差等某些情形。 3、在引入勒贝格积分的过程中，测度论是不可少的，有很多引进测度的方法。4、要掌握这些基本上逻辑没有问题就行了，并不需要什么准备知识，通常的实变书都应该有一些集合论的知识。5、 高等代数、解析几何、微分方程、复变都完全用不到的，基本就是数学分析。

有上极限定义可得上极限为R按下极限定义可得下极限为u2205还可以用上下极限等价公式：由A(2k-1)∪A(2k)=(0,k）当n为奇数2p-1时：当n为偶数2p时，所以由A(2k-1)∩A(2k)=(0,1/k)得：当n为奇数2p-1时：当n为偶数2p时，所以

令G=∪(n=1->∞) E[fn(x)≠gn(x)]因为fn(x)=gn(x) a.e于E，所以mG=m{∪(n=1->∞) E[fn(x)≠gn(x)]}<=∑(n=1->∞) mE[fn(x)≠gn(x)]=0即mG=0在E-G上，因为fn(x)=gn(x)且fn(x)->f(x)，所以gn(x)->f(x)在G上，对u2200d>0，有E[|gn(x)-f(x)|>=d]u2282E[|fn(x)-f(x)|>=d]∪G所以mE[|gn(x)-f(x)|>=d]<=mE[|fn(x)-f(x)|>=d]+mG=mE[|fn(x)-f(x)|>=d]因为fn(x)->f(x)所以lim(n->∞) mE[|gn(x)-f(x)|>=d]=0即gn(x)->f(x)综上所述，在E上，有gn(x)->f(x)

设R为实数集，Z为无理数集，Q为有理数集。 由于有理数集为可数(无限)集，不妨设Q={q1，q2，q3，…} 虽然无理数集为不可数(无限)集，但其中必含有一个为可数(无限)集（其中元素可以有π,e,√2, √3,…），记为Z0。不妨设Z0={z1，z2，z3，…} 定义Z到R的映射f如下： f：x |-->x(当x不属于Z0时) f：z2n |-->zn(n=1,2,3,…) f：z2n-1 |-->qn(n=1,2,3,…) 直观来看，当x不属于Z0时，f(x)=x 当x属于Z0时, {z1，z2，z3，z4，z5，z6，…}对应为{q1，z1，q2，z2，q2，z3，…} 很容易证明，f就是无理数集到实数集的双射。

有用。实变函数是数学中的一个分支，主要研究函数的实际变化规律。复变函数是实变函数的一个特例，在物理学中，复变函数与应用紧密相连，许多理论、概念以及解释宇宙运作的原理都建立在复变函数的基础上。

积分理论。实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。实变函数论思维导图什么是测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。实变函数论（real function theory）19世纪末20世纪初形成的数学分支。起源于古典分析，主要研究对象是自变量（包括多变量）取实数值的函数，研究的问题包括函数的连续性、可微性、可积性、收敛性等方面的基本理论，是微积分的深入和发展。因为它不仅研究微积分中的函数，而且还研究更为一般的函数，并且得到了较微积分中相应理论更为深刻、更为一般从而应用更为广泛的结论，所以实变函数论是现代分析数学各个分支的基础。

以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论 以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。 泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。 泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。

实变函数的内容 以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。 实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。 实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。 什么实测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。 为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。 勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。 自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。 什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。 和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。 总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征。 实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响。泛函分析的产生 十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。 本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。 由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。 非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。 这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。 这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。 研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。泛函分析的特点和内容 泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。 泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。 正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因袭，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。 泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。 半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。 泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。

实变函数app。实分析在其他学科的中的应用是相当广泛的!仅举一例:实分析中的测度论问题和方法是数理经济学的重要组成部分,比如可以用测度论来描述竞争模型。再详细谈以下：测度的核心就是单个的点不起决定作用，起决定作用的是集合这个整体。因而在一个各个对象“平权”的经济体中，就会产生竞争，这时不会有哪个对象起主导作用。在这种情形下，引入测试模型就顺理成章了。另外，实变函数论对分形几何学的发展具有重要影响，而分形几何学在实际中的重要性则是不言而喻的。

函数形式。以实数作为自变量的函数叫做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。实变函数中三角形是一种函数形式。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。

若F(x) Lebesgue可测则|F(x)|也Lebesgue可测，用定义直接证明。但是反过来不行，比如F在某不可测集上取1，余下取-1。F(x) Lebesgue可积等价于|F(x)| Lebesgue可积，直接用定义验证。

mE是指E的测度，m*E是指E的外侧度。对于任意集合E，外侧度m*E总是存在且有意义的。但是mE仅仅当E是可测集的时候才有意义。

首先单点集是闭集，证明如下：设集合S={a}，它没有聚点，所以导集为空集，从而导集包含于S，按定义，它是闭集。其次，有限个闭集的并集还是闭集，从而命题得证。当然，如果对第二个结论不熟，那么也可以直接用定义证明。如果一个集合是有限集，它一定没有聚点，后同……若有不懂，欢迎继续追问

设 x∈左边，则 |f(x)+g(x)|>2e，假设 xu2209右边， 则 |f(x)|<e |g(x)|<e 因此 |f(x)+g(x)|≤|f(x)|+|g(x)|<2e 矛盾。因此假设不成立，即有x∈右边，因此 左边包含于右边 （因为对于任意x∈左边，能推出x∈右边，根据包含于的定义，即左边包含于右边）。扩展资料：以实数作为自变量的函数叫做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。实变函数论是以实变函数作为研究对象的数学分支，是数学分析的深入与推广，研究函数的表示与逼近问题以及它们的局部与整体性质。在经典分析中主要研究具有一定阶光滑性的函数。但在 19 世纪下半叶，一些问题被明确提出，期望能解答并涉及更宽泛的函数类。参考资料：百度百科-实变函数

mE是指E的测度，m*E是指E的外侧度。对于任意集合E，外侧度m*E总是存在且有意义的。但是mE仅仅当E是可测集的时候才有意义。

即证Q^3可数可数集的笛卡尔乘积可数. 如果非要证明的话可以这样(以A*B为例)A*B={(a,b)|a∈A,b∈B}因为A,B可数故可写成数列形式B={r1,r2,...,rn,...},则A*B={(a,b)|a∈A,b∈B}=∪(n从0到无穷){(a,rn)|a∈A,rn∈B}因为{(a,rn)|a∈A,rn∈B}~A,所以可数,可数个可数集的并是可数集.

复变和实变，自变量的范围不同，复变函数研究对相是解析函数，讨论复数之间的依存关系，而实变函数研究范围较广，复变函数只是前者在微积分领域的推广与发展，亦称复分析。

几乎处处就是可以有一个零测集（在你要考虑的那种测度意义下）的例外。事实上，如果你向后学积分什么的这些例外的点都是不予以考虑的。

若F(x) Lebesgue可测则|F(x)|也Lebesgue可测,用定义直接证明.但是反过来不行,比如F在某不可测集上取1,余下取-1. F(x) Lebesgue可积等价于|F(x)| Lebesgue可积,直接用定义验证.

实变函数更难,从开课时间就能看出来,复变函数一般学校的数学系是大二开的,实变函数是大三开的.再者说,学习复变函数之前,只要学好数学分析和解析几何就行了,学习实变函数那就好多门只是综合应用了,而且还十分抽象

1·要学好理论：以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。2·可以买购买辅导资料，或请教老师。