函数

　复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。　　比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。　　复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。[编辑本段]复变函数论的内容　　复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。　　如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。　　复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。　　黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。　　复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。　　留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。　　把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。　　广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。　　从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。

判断零点。如果第一次求导就得常数0那么就是一阶的，第二次求导得到常数0那么就是二阶的。后面的类似。第n次求导得到常数0那么就是n阶。判断极点。就是看使分母为零的数，比如，sinz/z这道题0就是他的极点。再比如，sinz/z的4次幂，0是分母的4阶极点，但是同时也是分子的1阶。所以，0是分式的3阶极点。扩展资料：如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面。参考资料：百度百科-复变函数

函数概念的发展历史　　1.早期函数概念——几何观念下的函数　　十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。　　1673年，莱布尼兹首次使用“function” （函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。　　2.十八世纪函数概念──代数观念下的函数　　1718年约翰61贝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。　　1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”　　18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰61贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰61贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。　　3.十九世纪函数概念──对应关系下的函数　　1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。　　1822年傅里叶（Fourier，法国，1768——1830）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。　　1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859) 突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。　　等到康托(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。　　4.现代函数概念──集合论下的函数　　1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。　　1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合Ｎ确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”　　术语函数，映射，对应，变换通常都有同一个意思。　　但函数只表示数与数之间的对应关系，映射还可表示点与点之间，图形之间等的对应关系。可以说函数包含于映射。当然，映射也只是一部分。 [编辑本段]幂函数　　幂函数的一般形式为y=x^a。　　如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。　　对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：　　首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：　　排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；　　排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；　　排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。　　总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：　　如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；　　如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。　　在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。　　在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。　　而只有a为正数，0才进入函数的值域。　　由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.　　可以看到：　　（1）所有的图形都通过（1，1）这点。　　（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。　　（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。　　（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。　　（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。　　（6）显然幂函数无界。 [编辑本段]高斯函数　　设x∈R ， 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数，并用表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为高斯（Guass）函数，也叫取整函数。　　任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x= [x] + （0≤<1） [编辑本段]复变函数　　复变函数是定义域为复数集合的函数。　　复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。　　以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。　　复变函数论的发展简况　　复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。　　复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。　　为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。　　后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。　　复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。　　比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。　　复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。　　复变函数论的内容　　复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。　　如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。　　复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。　　黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。　　复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。　　留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。　　把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。　　广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。　　从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。 　　upcase 字符型 使小写英文字母变为大写 字符型 　　downcase 字符型 使大写英文字母变为小写 字符型 [编辑本段]阶梯函数　　形如阶梯的具有无穷多个跳跃间断点的函数. [编辑本段]反比例函数　　表达式为 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。　　反比例函数的其他形式：y=k/x=k·1/x=kx-1　　反比例函数的特点：y=k/x→xy=k　　自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。　　反比例函数图像性质：　　反比例函数的图像为双曲线。　　反比例函数关于原点中心对称，关于坐标轴角平分线轴对称，另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣,即k的绝对值。　　如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。　　当 k >０时，反比例函数图像经过一，三象限，因为在同一支反比例函数图像上，y随x的增大而减小所以又称为减函数　　当k <０时，反比例函数图像经过二，四象限，因为在同一支反比例函数图像上，y随x的增大而增大所以又称为增函数　　倘若不在同一象限，则刚好相反。　　由于反比例函数的自变量和因变量都不能为0，所以图像只能无限向坐标轴靠近，无法和坐标轴相交。 　　知识点：　　1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。　　2.对于双曲线y＝ k/x，若在分母上加减任意一个实数m (即 y＝k／x（x±m）m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移m个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移） [编辑本段]程序设计中的函数　　许多程序设计语言中，可以将一段经常需要使用的代码封装起来，在需要使用时可以直接调用，这就是程序中的函数。比如在C语言中:　　int max(int x,int y)　　{　　return(x>y?x:y;);　　}　　就是一段比较两数大小的函数，函数有参数与返回值。C++程序设计中的函数可以分为两类：带参数的函数和不带参数的函数。这两种参数的声明、定义也不一样。　　带有（一个）参数的函数的声明：　　类型名标示符+函数名+（类型标示符+参数）　　{　　}　　不带参数的函数的声明：　　void+函数名（）　　{　　}　　花括号内为函数体。　　带参数的函数有返回值，不带参数的没有返回值。　　C++中函数的调用：函数必须声明后才可以被调用。调用格式为：函数名（实参）　　调用时函数名后的小括号中的实参必须和声明函数时的函数括号中的形参个数相同。　　有返回值的函数可以进行计算，也可以做为右值进行赋值。　　#include <iostream>　　using namespace std;　　int f1(int x, inty)　　{int z;<br>　　return x+y;<br>　　}　　void main()　　{cout<<f1(50,660)<<endl<br>　　}　　C语言中的部分函数　　main（主函数）　　max（求最大数的函数）　　scanf（输入函数）　　printf（输出函数）

与逻辑运算里面的非运算类似，就是不包括D的那部分区域。复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。扩展资料：w=u0192(z)。这个记号表示，u0192(z)是z通过规则u0192而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv，那么复变函数w=u0192(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一个复变函数w=u0192(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明，函数一般指单值函数。即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。例如，f(z) 是复平面上的复变函数。但f(z)在复平面上并非单值，而是多值函数。对这种多值函数要有特殊的处理方法（见解析开拓、黎曼曲面）。

以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫作黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和支点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。

复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。 以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。 复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。 如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。 复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。 黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。 复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。 留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。 把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。 广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。 从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。

难，只能说会者不难，难者不会，因人而异，只能说 学通就好。复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。

解：根据复数的对数计算规则，有Lnz=lnz+2kπi=ln丨z丨+iargz+i2kπ，其中，-π≤argz≤π，k=±1，±2，……。∴Ln(2)=ln2+i2kπ。Ln(-1)=ln1+iπ+i2kπ=(2k+1)πi。∵1+i=(√2)(1/√2+i/√2)=(√2)e^(πi/4)。∴ln(1+i)=(1/2)ln2+πi/4。以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。扩展资料：如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。参考资料来源：百度百科——复变函数

应该是的。虚部恒为0，实部是个分段的二元函数，而且还不连续，所以复变函数不连续，因为复变函数连续当且仅当实部和虚部都连续。复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。

　复变函数与积分用途：复变函数的用处还是很大的。比如一个解析函数的实部和虚部对应的是一个平面场。果是静电场的话实部相当于场强，虚部相当于电势。再比如留数定理可以用来计算实积分，很多广义积分在实变函数范围内是根本积不出来的，而应用留数定理你就找找边界算算奇点很容易就积出来了。各种变换的应用就更多了很多，最最根本的可以用他们来解决数理方程。

复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数[1]，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。中文名复变函数外文名complex function产生时间十八世纪又名解析函数论定义以复数作为自变量和因变量的函数快速导航发展简况内容定义极限与连续性复变函数的导数起源复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。[1]发展简况复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。[1]内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场 、电路理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算

如图所示：主要还是看负幂项的情况分析，所以可以看出这个z=0是极点。内容介绍：复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。

解：根据复数的对数计算规则，有Lnz=lnz+2kπi=ln丨z丨+iargz+i2kπ，其中，-π≤argz≤π，k=±1，±2，……。∴Ln(2)=ln2+i2kπ。Ln(-1)=ln1+iπ+i2kπ=(2k+1)πi。∵1+i=(√2)(1/√2+i/√2)=(√2)e^(πi/4)。∴ln(1+i)=(1/2)ln2+πi/4。以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。扩展资料：如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。参考资料来源：百度百科——复变函数

复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数[1]，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。中文名复变函数外文名complex function产生时间十八世纪又名解析函数论定义以复数作为自变量和因变量的函数快速导航发展简况 内容 定义 极限与连续性 复变函数的导数起源复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。[1]发展简况复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。[1]内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场 、电路理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算

如图1,在z平面中取单位圆|z|<1,在其周界上按反时针向依次任取三点A，B，C,并作一圆弧三角形ABC，其每边均与|z|=1正交，构成一区域D0（图中斜线区）。在w平面中实轴上取定三点α(=0)，β(=1)，γ(=∞)。由共形映射的黎曼定理，存在一单叶解析函数w =φ(z)，把D0映到w 的上半平面，并使A，B，C分别映到α，β，у。根据对称性原理，w=φ(z)可解析开拓到圆弧三角形Dó中，这里Dó是D0关于AB 弧的对称反演区域(C点反演成圆周|z|=1上另一点C┡)，而函数值则取在w 的下半平面，此下半平面与原上半平面沿线段αβ相粘连。同理，w=φ(z)又可分别解析开拓到D0的关于CA弧和BC弧的对称圆弧三角形中，其函数值也在w 的下半平面中，它们分别与上半平面沿半直线 γα 和 βγ 相粘连。这样，得到了|z|<1中的一圆弧六边形区域，w=φ(z)在其中解析，取值于整个w平面中如上粘连的一个上半平面和三个下半平面。再以此六边形的各边进行反演，则w=φ(z)又可再次解析开拓到|z|<1中边数更多的圆弧形区域中(仍在|z|<1内)，取值又回到w 的上半平面，并与上面已取得的下半平面分别沿αβ，βу，уα之一相粘连。如此无限继续下去，则w=φ(z)就开拓成为整个|z|<1内的解析函数，其所取之值在w平面上形成一无限层的黎曼曲面。w=φ(z)称为模函数。其反函数z=φ(w)是整个w平面除0，1，∞外的多值解析函数，或者可说成是上述黎曼曲面上的单值解析函数。模函数w=φ(z)单值解析于|z|<1内，显然不取值0，1,∞，且当z从单位圆内部以任意方式趋于其周界上一点时，不可能有确定的极限值，因此|z|=1是其自然边界，即它不可能再向|z|=1之外进行解析开拓。也可用一分式线性变换t=ω(z)，|z|<1,把z变到t平面的上半平面，使A,B,C 分别变成实轴的α，b以及с=∞，而D0变成区域墹 0(图2)，当D0关于其一边界圆弧作对称反演时，相应地墹 0也关于其相应边作对称反演。设t=ω(z)的反函数为z=λ(t)，则w=f(z)=f(λ(t))=φ(t)就把t的上半平面映成w平面的上述黎曼曲面。φ(t)也称为模函数，其性质本质上与ω(z)相类似。如果把构成模函数w=f(z)过程中所作的种种关于圆弧的反演变换记为T1，T2,…，则对于任何Tj，f(z)与？f(Tjz)互为共轭。因此，对任何两个Tj,Tk，恒有f(z)=f(TjTkz)，即当z经过两次这类反演后，其函数值f(z)不变。如果把偶数个这种反演及其逆作为元素，它们生成一变换群G，则当z经G任一元变换后，函数值f(z)不变。称G为模函数w=f(z)的不变群，也称f(z)为关于群G 的自守函数(见椭圆函数)。

部分分式分解即可：f(z)=1/3*[1/(z-2)-1/(z+1)]=-1/3*[ 0.5/(1-z/2)+1/(1+z)]=-1/3*[ 0.5(1+z/2+z^2/4+.)+(1-z+z^2-z^3+...)]=-1/3*[(1/2+z/4+z^2/8+...+z^n/2^(n+1)+...)+(1-z+z^2-...)]=-1/3*[3/2-3z/4+.+z^n(1/2^(n+1)+(-1)^n)+.]内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。

复变数复值函数的简称。设A是一个复数集,如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=ƒ(z)。这个记号表示,ƒ(z)是z通过规则ƒ而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv,那么复变函数w=ƒ(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一个复变函数w=ƒ(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明,函数一般指单值函数,即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。例如，z2是复平面上的复变函数。但√z在复平面上并非单值，而是多值函数。对这种多值函数要有特殊的处理方法（见解析开拓、黎曼曲面）。对于z∈A,ƒ(z)的全体所成的数集称为A关于ƒ的像，记为ƒ(A)。函数ƒ规定了A与ƒ(A)之间的一个映射。例如在w=z2的映射下，z平面上的射线argz=θ与w平面上的射线argw=2θ对应；如果ƒ(A)∈A*，称ƒ把A映入A*。如果ƒ(A)=A*，则称ƒ把A映成A*，此时称A为A*的原像。对于把A映成A*的映射ƒ，如果z1与z2相异必导致ƒ(z1)与ƒ(z2)也相异，则称ƒ是一对一的。在一对一的映射下，对A*上的任一w，A上必有一个z与之对应，称此映射为ƒ的反函数，记为z=ƒ-1(w)设ƒ(z)是A上的复变函数,α是A中一点。如果对任一正数ε，都有正数δ，当z∈A且|z-α|<δ时,|ƒ(z)-ƒ(α)|<ε恒成立，则称ƒ(z)在α处是连续的。如果在A上处处连续,则称为A上的连续函数或连续映射。设ƒ是紧集A上的连续函数，则对任一正数ε，必存在不依赖自变数z的正数δ,当z1，z2∈A且|z1-z2<δ时|ƒ(z1)-ƒ(z2)|<ε恒成立。这个性质称为ƒ(z)在A上的一致连续性或均匀连续性。

z=-2=2(cosπ+isinπ)所以，z=-2的幅角主值为π在复平面上，复数所对应的向量与x轴正方向的夹角成为复数的辐角，显然一个复数的辐角有无穷多个，但是在2113区间（-π，π]内的只有一个，这个辐角就是该向量的辐角主值，也称主辐角，记为argz。复数的模与辐角是复数三角形式表示的两个基本元素，复数所对应的向量长度称为复数的幅值，该向量与实轴正方5261向的夹角为复数的辐角。辐角的大小有无穷多，但是辐角主值唯一确定。扩展资料：复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。参考资料来源：百度百科-复变函数

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴，原点表示实数0，原点不在虚轴上。复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，反过来，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，所以复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的。拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有引数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个引数为复数s的函数。将系统中独立变量是复频率s的范围，称为s域，也称复频域。扩展资料：复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。参考资料来源：百度百科-复变函数

函数概念的发展历史　　1.早期函数概念——几何观念下的函数　　十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。　　1673年，莱布尼兹首次使用“function” （函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。　　2.十八世纪函数概念──代数观念下的函数　　1718年约翰??贝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。　　1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”　　18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰??贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰??贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。　　3.十九世纪函数概念──对应关系下的函数　　1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。　　1822年傅里叶（Fourier，法国，1768——1830）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。　　1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859) 突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。　　等到康托(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。　　4.现代函数概念──集合论下的函数　　1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。　　1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”　　术语函数，映射，对应，变换通常都有同一个意思。　　但函数只表示数与数之间的对应关系，映射还可表示点与点之间，图形之间等的对应关系。可以说函数包含于映射。当然，映射也只是一部分。 [编辑本段]幂函数　　幂函数的一般形式为y=x^a。　　如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。　　对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：　　首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：　　排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；　　排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；　　排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。　　总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：　　如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；　　如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。　　在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。　　在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。　　而只有a为正数，0才进入函数的值域。　　由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.　　可以看到：　　（1）所有的图形都通过（1，1）这点。　　（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。　　（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。　　（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。　　（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。　　（6）显然幂函数无界。 [编辑本段]高斯函数　　设x∈R ， 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数，并用表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为高斯（Guass）函数，也叫取整函数。　　任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x= [x] + （0≤<1） [编辑本段]复变函数　　复变函数是定义域为复数集合的函数。　　复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。　　以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。　　复变函数论的发展简况　　复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。　　复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。　　为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。　　后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。　　复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。　　比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。　　复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。　　复变函数论的内容　　复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。　　如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。　　复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。　　黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。　　复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。　　留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。　　把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。　　广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。　　从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。 　　upcase 字符型 使小写英文字母变为大写 字符型 　　downcase 字符型 使大写英文字母变为小写 字符型 [编辑本段]阶梯函数　　形如阶梯的具有无穷多个跳跃间断点的函数. [编辑本段]反比例函数　　表达式为 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。　　反比例函数的其他形式：y=k/x=k·1/x=kx-1　　反比例函数的特点：y=k/x→xy=k　　自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。　　反比例函数图像性质：　　反比例函数的图像为双曲线。　　反比例函数关于原点中心对称，关于坐标轴角平分线轴对称，另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣,即k的绝对值。　　如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。　　当 k >0时，反比例函数图像经过一，三象限，因为在同一支反比例函数图像上，y随x的增大而减小所以又称为减函数　　当k <0时，反比例函数图像经过二，四象限，因为在同一支反比例函数图像上，y随x的增大而增大所以又称为增函数　　倘若不在同一象限，则刚好相反。　　由于反比例函数的自变量和因变量都不能为0，所以图像只能无限向坐标轴靠近，无法和坐标轴相交。 　　知识点：　　1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。　　2.对于双曲线y＝ k/x，若在分母上加减任意一个实数m (即 y＝k／x（x±m）m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移m个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移） [编辑本段]程序设计中的函数　　许多程序设计语言中，可以将一段经常需要使用的代码封装起来，在需要使用时可以直接调用，这就是程序中的函数。比如在C语言中:　　int max(int x,int y)　　{　　return(x>y?x:y;);　　}　　就是一段比较两数大小的函数，函数有参数与返回值。C++程序设计中的函数可以分为两类：带参数的函数和不带参数的函数。这两种参数的声明、定义也不一样。　　带有（一个）参数的函数的声明：　　类型名标示符+函数名+（类型标示符+参数）　　{　　}　　不带参数的函数的声明：　　void+函数名（）　　{　　}　　花括号内为函数体。　　带参数的函数有返回值，不带参数的没有返回值。　　C++中函数的调用：函数必须声明后才可以被调用。调用格式为：函数名（实参）　　调用时函数名后的小括号中的实参必须和声明函数时的函数括号中的形参个数相同。　　有返回值的函数可以进行计算，也可以做为右值进行赋值。　　#include <iostream>　　using namespace std;　　int f1(int x, inty)　　{int z;<br>　　return x+y;<br>　　}　　void main()　　{cout<<f1(50,660)<<endl<br>　　}　　C语言中的部分函数　　main（主函数）　　max（求最大数的函数）　　scanf（输入函数）　　printf（输出函数）

复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使人们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。在二次、三次代数方程求根的公式中就出现了形为式一的一类数，其中α，b是实数。式二在实数范围内是没有意义的，因此在很长时间里这类数不能为人们所理解。R·笛卡儿曾称之为虚数。但是随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。例如，每一个代数方程在此数域内至少有一个根，这就是代数学的基本定理。有时也称它为达朗贝尔定理，而最初的严格证明则是由C.F.高斯给出的。后来人们习惯以i表示，并且称α+bi为复数。在复数α+bi与平面上的点(α，b)之间可以建立一一对应。 L.欧拉在初等函数中引进了复变数，并给出了著名的欧拉公式 e^ix=cosx+isinx。欧拉公式揭示了三角函数与指数函数间的联系。

解：根据复数的对数计算规则，有Lnz=lnz+2kπi=ln丨z丨+iargz+i2kπ，其中，-π≤argz≤π，k=±1，±2，……。∴Ln(2)=ln2+i2kπ。Ln(-1)=ln1+iπ+i2kπ=(2k+1)πi。∵1+i=(√2)(1/√2+i/√2)=(√2)e^(πi/4)。∴ln(1+i)=(1/2)ln2+πi/4。以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。扩展资料：如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。参考资料来源：百度百科——复变函数

解：∵在圆丨z丨=4内，f(z)=1/[(z+2)(z+3)]有z=-2、z=-3两个一阶极点，∴原式=2πi{Res[f(z),-2]+Res[f(z),-3]}。另一方面，Res[f(z),-2]=1/（z+3)丨(z=-2)=1，Res[f(z),-3]=1/(z+2)丨(z=-3)=-1。从而，原式=0。供参考。

复变函数极点的定义是：复变函数极点表示看洛朗展开式，函数在它的极点处的洛朗级数中只有有限个负幂项，而在本质奇点处有无限多个负幂项。以复数作为自变量和因变量的函数。 (z - 1)/z 零点是令分子为0的点，这点必须有意义。所以当z≠0时，z - 1 = 0，即z = 1为零点，奇点就是令分母为0的点，即令分式无意义的点这里，z = 0，就是极点因为（z - 1)/z = 1 - 1/z，有限项负的幂指数且阶数为1，所以z = 0是一阶极点。复变函数的运用复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面。函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。

Rez≤5/2，且z≠2。首先不等式有意义的条件是z-2不等于0即z不等于2.在此条件下，不等式可以化为设z=x+iy，其中x和y都是实数，那么上式化为即由于根号内均为两个实数的平方和，因此必定非负，可以直接平方：然后移项、合并同类项：因此最后的解为用含z的形式来表达：同时记得加上前提条件：z不等于2。扩展资料复变函数的作用为：物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。

复变函数的参数方程化成直角方程：参数方程化为直角坐标方程的过程就是消参过程，常见方法有三种。①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，代入消去参数。②三角法：利用三角恒等式消去参数。③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。

a为非孤立奇点的充要条件是a为奇点且存在一个点列趋于a，例如1/（sin1/z）。z＝0为奇点，存在z＝1/2k派趋于0，即存在一个点列趋于a，则0为该函数的非孤立奇点。发展简况：复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。

|e^z|=|e^x(cosy+isiny)|=|e^x|*|cosy+isiny|=e^x。附：e^x >0；|cosy+isiny|=1。复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。

解：令z=x+iy即w=1/(x+iy)w=(x-iy)/(x^2+y^2)=x/(x^2+y^2)-iy?(x^2+y^2)令u,v为w坐标系的两个坐标轴，就像x,y一样令u=x/(x^2+y^2)v=-iy/(x^2+y^2)则依据原式(x—1)^2+y^2=1有，x^2+y^2=2x将其代入所以u=x/(x^2+y^2)=x/2x=1/2内容复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。

首先确定xyz的范围，比如说xyz都是从1到10，那么[x,y,z]=meshgrid(1:10);这时x，y，z都是3维矩阵，因此后面无法进行乘法运算是吧。因此函数没法写。你是这个地方卡住了是吧？？？可以这样解决：x=x(:);y=y(:);z=z(:);这样将xyz变成向量。就可以像平时一样定义函数了。

画三维网格图，下例是个画马鞍面的程序，可做参考clfx=-4:0.5:4;y=-4:0.5:4;[U,V]=meshgrid(x,y);Z=-U.^4+V.^4-U.^2-V.^2-2*U*V;mesh(Z);xlabel("x");ylabel("y");zlabel("z");用点乘方表示向量x、y中每个元素都乘方，如果是单一个数，就不用点了。

MATLAB中的插值函数为interp1，其调用格式为： yi= interp1(x,y,xi,"method") 其中x，y为插值点，yi为在被插值点xi处的插值结果；x,y为向量， "method"表示采用的插值方法，MATLAB提供的插值方法有几种： "method"是最邻近插值， "linear"线性插值； "spline"三次样条插值； "cubic"立方插值．缺省时表示线性插值。 注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。 例：在一 天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为 12，9，9，10，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13 问题：推测中午12点（即13点）时的温度． 功能 一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。 x：原始数据点 Y：原始数据点 xi：插值点 Yi：插值点 (1)yi = interp1(x,y,xi,method) 用指定的算法计算插值： "nearest"：最近邻点插值，直接完成计算； "linear"：线性插值（缺省方式），直接完成计算； "spline"：三次样条函数插值。 "cubic"：该方法保留单调性与数据的外形； 功能 二维数据内插值 (1)ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method) 返回矩阵ZI，其元素包含对应于参量XI 与YI（可以是向量、或同型矩阵） 的元素， 即Zi(i,j) ←[Xi(i,j),yi(i,j)]。用户可以输入行向量和列向量Xi 与Yi，此时，输出向量Zi 与矩阵meshgrid(xi,yi)是同型的。 (2)ZI = interp2(Z,XI,YI) 缺省地，X=1:n、Y=1:m，其中[m,n]=size(Z)。再按第一种情形进行计算。 用指定的算法method 计算二维插值： "linear"：双线性插值算法（缺省算法）； "nearest"：最临近插值； "spline"：三次样条插值； "cubic"：双三次插值。 (4)VI = interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI,method) 找出由参量X,Y,Z决定的三元函数V=V(X,Y,Z)在点（XI,YI,ZI）的值。 %用指定的算法method 作插值计算： ‘linear"：线性插值（缺省算法）； ‘cubic"：三次插值； ‘spline"：三次样条插值； ‘nearest"：最邻近插值。 功能 数据格点 (1)ZI = griddata(x,y,z,XI,YI,method) 用二元函数z=f(x,y)的曲面拟合有不规则的数据向量x,y,z。griddata 将返回曲面z 在点（XI,YI）处的插值。曲面总是经过这些数据点（x,y,z）的输入参量（XI,YI）通常是规则的格点（像用命令meshgrid 生成的一样）。 用指定的算法method 计算： ‘linear"：基于三角形的线性插值（缺省算法）； ‘cubic"： 基于三角形的三次插值； ‘nearest"：最邻近插值法； ‘v4"：MATLAB 4 中的griddata 算法。 功能 三次样条数据插值 格式 (1)yy = spline(x,y,xx) 功能 生成用于画三维图形的矩阵数据 格式 [X,Y] = meshgrid(x,y) 将由向量x，y（可以是不同方向的）指定的区域[min(x)，max(x) ， min(y) ， max(y)] 用直线x=x(i),y=y(j) （ i=1,2,…,length(x) ，j=1,2,…,length(y)）进行划分。这样，得到了length(x)*length(y)个点， 这些点的横坐标用矩阵X 表示，X 的每个行向量与向量x 相同；这些点的纵坐标用矩阵Y 表示，Y 的每个列向量与向量y 相同。其中X,Y可用于计算二元函数z=f(x,y)与三维图形中xy 平面矩形定义域的划分或曲面作图。 [X,Y] = meshgrid(x) %等价于[X,Y]=meshgrid(x,x)。 [X,Y,Z] = meshgrid(x,y,z) %生成三维阵列X,Y,Z，用于计算三元函数v=f(x,y,z)或三维容积图。

【注】详情请参阅 MatLab help 文档 。 对一元函数数据进行插值，得到指定自变量值对应插值函数值。 对二元函数数据进行插值，得到指定自变量值对应插值函数值。其中样本点数据为 meshgrid 格式。 【注】meshgrid 格式为一种完整网格格式（可使用 meshgrid 函数创建），即元素表示矩阵区域内的网格点。一个矩阵包含 x 坐标，另一个矩阵包含 y 坐标。x 矩阵中的值沿行方向严格单调递增，沿列方向为常量；y 矩阵则相反。 对三元函数数据进行插值，得到指定自变量值对应插值函数值。其中样本点数据为 meshgrid 格式。 【注】meshgrid 格式为一种完整网格格式（可使用 meshgrid 函数创建），即元素表示矩阵区域内的网格点。一个矩阵包含 x 坐标、一个矩阵包含 y 坐标、一个矩阵包含 z 坐标。x 矩阵中的值沿第二维度（行）方向严格单调递增，沿其余维度方向为常量；y 矩阵中的值沿第一维度（列）方向严格单调递增，沿其余维度方向为常量；z 矩阵中的值沿第三维度方向严格单调递增，沿其余维度方向为常量。 对 n 元函数数据进行插值，得到指定自变量值对应插值函数值。其中样本点数据为 ndgrid 格式（与 meshgrid 略有不同，详情请 参阅 ）。 【注】ndgrid 格式为另一种完整网格格式（可使用 ndgrid 函数创建），即元素表示矩阵区域内的网格点。X1 矩阵中的值沿第一维度方向严格单调递增，沿其余维度方向为常量；X2 矩阵中的值沿第二维度方向严格单调递增，沿其余维度方向为常量（第一、二维度与 meshgrid 格式不同）； ；Xn 矩阵中的值沿第 n 维度方向严格单调递增，沿其余维度方向为常量。

meshgrid(0:.005:3)，3前面应该是冒号你把这4个find给注释掉运行一下，因为所有的x1,x2均满足find条件，导致z全为NaN，画出来是空白

X,Y没错啊，和meshgrid生成的一样。看看是不是Z的问题。你给的信息太少，判断不出哪儿的问题。另外，meshgrid可以生成矩形区域的啊，谁告诉你不行了？ 是这两行出错了 X(i,j)=sqrt((y^2)/(z^2)-z^2); X2(i,j)=-sqrt((y^2)/(z^2)-z^2);sqrt()括号里出现负数了，所以算出的X和X2有一部分是复数了，所以画不出图了

l=160;x=linspace(0,80,50);y=linspace(-80,80,50);[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=(0.2.*exp(-0.0221*X)+0.1).*(exp(-0.15*(l/2-abs(Y))+1));mesh(X,Y,Z);

linspace是Matlab中的均分计算指令，用于产生x1,x2之间的N点行线性的矢量。其中x1、x2、N分别为起始值、终止值、元素个数。若默认N，默认点数为100。在matlab的命令窗口输入：X=linspace(1,100)将产生从1到100步长为1的数组。类似于在命令窗口中输入：X=[1:1:100]meshgrid是一款应用软件，MATLAB中用于生成网格采样点的函数。[X,Y]= meshgrid(x,y);这里meshgrid（x，y）的作用是分别产生以向量x为行，向量y为列的两个大小相同的矩阵，其中x的行是从-3开始到3，每间隔1记下一个数据，并把这些数据集成矩阵X；同理y的列则是从-2到2，每间隔1记下一个数据，并集成矩阵Y。trapz是利用梯形法求数值积分要求输入的是一个数列，或者是两个一样长的对应数列trapz(Y)或者trapz(X,Y);就是计算由X，Y两组数据决定的曲线下的积分面积而当只输入一个变量时，函数默认其为Y变量，而X变量缺省默认为等间距为1的等差数列，长度和Y相同也就是trapz(Y) 相当于trapz(1:1:length(Y),Y)而cumtrapz的输入变量用法和trapz一样只是trapz只输出一个总的面积，而cumtrapz输出一个长度和输入数据长度一样的数列每一个数对应原来数列之前所用数的积分。另外.*是指矩阵的对应位置元素相乘，区别于矩阵的乘法。"为转置符号，即求矩阵的转置。

mesh函数的用法，可见下面给你的一个实例。xi=-10:0.5:10;yi=-10:0.5:10;[x,y]=meshgrid(xi,yi);z=sin(sqrt(x.^2+y.^2))./sqrt(x.^2+y.^2);mesh(x,y,z);

题主，你的问题出现矩阵为奇异工作精度的 警告。其原因是点运算符应用不完整。正确的代码为x=linspace(-2, 2, 25); % 在x轴上取25点y=linspace(-2, 2, 25); % 在y轴上取25点[xx,yy]=meshgrid(x,y); % xx和yy都是25x25的矩阵zz=sin(xx.*yy)./(xx.*yy); % 计算函数值，zz也是25x25的矩阵surf(xx, yy, zz); % 画出立体曲面图xlabel("x"),ylabel("y"),zlabel("z")title("z(x,y)=sin(xy)/(xy)")运行结果

可这样：syms x yf=x^2*sin(x+y^2)+y^2*exp(x+y)+5*cos(x^2+y);dfdy=diff(f,y)ezsurf(f,[-2 10 -2 10])title("原函数图像")ezsurf(dfdy,[-2 10 -2 10])title("偏导数dfdy图像")

meshgrid函数后面两个向量是把平面分成x,y坐标相垂直的格，就象棋盘格一样，交点坐标形成平面上的点，再用函数生成相应点的z坐标，就可画三维图了。如x=0:0.1:2;y=x;[X,Y]=meshgrid(x,y);z=X.^3-Y.^2;mesh(x,y,z)grid on

meshgrid是生成网格空间；mesh是在该空间画网线图的；

如果一列x一列y和一列z，想绘制曲线图，用plot3绘制例子t=linspace(-5,5);x=sin(t);y=cos(t);z=t;plot3(x,y,z)如果一列x一列y和一列z，想要绘制曲面图，用griddata或interp2插值后用mesh或surf绘制例子load seamount%一列x一列y一列zmaxx=max(x);minx=min(x);maxy=max(y);miny=min(y);[X,Y]=meshgrid(linspace(minx,maxx),linspace(miny,maxy));Z=griddata(x,y,z,X,Y,"v4");%插值mesh(X,Y,Z)hold onplot3(x,y,z,"r.")

meshgrid是MATLAB中用于生成网格采样点的函数。在使用MATLAB进行3D图形绘制方面有着广泛的应用。［X，Y］ = meshgrid（x，y）解释：输出X的每一行的数值都是复制的x的值；输出Y的每一列的数值都是复制的y的值。［X，Y］=meshgrid（x）与［X，Y］=meshgrid（x，x）是等同的。［X，Y，Z］=meshgrid（x，y，z）生成三维数组，可用来计算三变量的函数和绘制三维立体图相关函数： plot3、mesh、surf、automesh、ndgrid。语法格式：streamline（X，Y，Z，U，V，W，startx，starty，startz）绘制三维向量（U，V，W）的流线型矢量场。（X，Y，Z）定义了矢量（U，V，W）的坐标，而且（X，Y，Z）必须是三维的数据网格（通常情况下，调用meshgrid或ndgrid函数可以生成这样的数据网格）。（startx，starty，startz）定义了这些流线的起点。帮助文档Specifying Starting Points for Stream Plots专题为我们提供了指定流线起点的资料。以上内容参考：百度百科-streamline

狄利克雷函数是一种特殊的函数，其图像处处不连续，故不可导。可导函数应当满足其图像足够光滑且连续，而狄利克雷函数不能满足这一条件。

不是所有周期函数都有最小正周期。周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，存在没有最小正周期的函数，而这个函数就是狄利克雷函数。狄利克雷函数（是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数表示为：（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）假设f(x)=0，x为无理数f(x)=1，x为有理数由有理数和无理数的运算法则可以知道，所有的有理数与有理数的和都是有理数，与无理数的和都是无理数。那么对于这个函数而言，取T为任意有理数，就都满足了，无论x是有理数还是无理数，这就意味着狄利克雷就是一个周期函数。它的最小正周期是最小的有理数，而显然是不存在最小的有理数的，因而这个函数也就没有最小正周期了。扩展资料对于函数f(x)，如果存在一个不为0的正数T，使得当x取定义域中的每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T称为这个函数的周期。如果函数f(x的所有周期中存在最小值T0，称T0为周期函数f(x)的最小正周期。周期函数的性质共分以下几个类型：1、若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。2、若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。3、若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。4、若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。5、若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。6、周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。参考资料来源：百度百科-狄利克雷函数参考资料来源：百度百科-周期函数

首先说明阿贝尔引理由此可以说明阿贝尔判别法狄利克雷判别法

随着dx趋于0，dy并无极限，也就说，没有导数。

取ε=1/2任意的开区间中既有有理数又有无理数 那么函数值之差的绝对值等于1>1/2 故无极限。

x乘狄利克雷函数不可导。因为狄利克雷函数点点不连续，所以处处不可导。其函数图像理论上客观存在，但无法画出确切图形。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。狄里克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意负有理数和正有理数。因为不存在最小负有理数和正有理数，所以狄里克莱函数不存在最小正周期。偶函数公式：1、如果知道函数表达式,对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都满足 f(x)=f(-x) 如y=x*x。2、如果知道图像,偶函数图像关于y轴（直线x=0）对称。3、定义域D关于原点对称是这个函数成为偶函数的必要不充分条件。

狄利克雷函数（英语：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

对于①，∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1，即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①错误；对于②，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），故②正确； 对于③，若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确； 对于④，取x1=-33，x2=0，x3=33，可得A（-33，0）、B（0，1）、C（33，0）三点恰好构成等边三角形，故④正确．综上所述，真命题是②③④，故选：D．

由周期定义,对任意 x 都有 f(x+T) = f(x).狄利克雷函数用 D(x) 表示： 当 T 为任意有理数时, 1. 当 x 为有理数时,x+T 还是有理数,所以有 D(x+T) = D(x) = 1 2. 当 x 为无理数时,x+T 还是无理数,所以有 D(x+T) = D(x) = 0 所以任意有理数是 D(x) 的周期,所以 D(x) 也不存在最小正周期. 希望我的回答帮得到您,来自百度知道团队【周小周】,满意的话烦请采纳~O(∩_∩)O~

D(x)=1，当x为有理数；D(x)＝0，当x为无理数。显然0<=D(x)<=1，因此D(x)是有界函数。任意的有理数r，由于有理数+有理数还是有理数，有理数+无理数＝无理数，因此若x是有理数，则有 1＝D(x+r)＝D(x)；若x是无理数，则有 0＝D(x+r)＝D(x)。总之总有D(x+r)＝D(x)，于是r是D的周期，即任意非零有理数都是D(x)的周期。

该函数在有理数点不连续，无理数点连续。证明思路：因为实数域上有理数是可列的(有理数可表示为{N/M},N,M均为全体整数)，古有理数点都是离散的点，故函数值为1的点（有理数点）均离散。根据实数的连续性，任意两个相邻的有理数间有无穷多个无理数，这些无理数对应的函数值均为0，故在该函数无理数点连续。（1）当x=0时，f(x)=0，在R上是连续的；（2）当x不等于0时，若x为有理数，则f(x)=x，若x是无理数，则f(x)=0，从而由极限定义易得，f(x)在x处无极限，从而不连续。扩展资料：狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间<a,b>以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）。参考资料来源：百度百科-狄利克雷函数

在勒贝格积分意义下,狄利克雷函数在区间（0,1）上可积.积分值为0, 因为按勒贝格测度,狄利克雷函数在区间（0,1）上几乎处处为0. 在黎曼积分意义下,狄利克雷函数在区间（0,1）上不可积. 区间（0,1）上函数f(x)黎曼可积的充要条件是f(x)间断点集合的勒贝格测度为0.

D(x)=1 x是有理数 0 x是无理数 （1）若T为无理数,则不是周期 如D(1)=0 ,D(1+T)=1,不满足周期函数定义 （2）若T为任意非零的有理数 若x是无理数,x+T也是无理数 D（x)=0=D(x+T) 若x是有理数,x+T也是有理数 D（x)=1=D(x+T) 所以 D(x+T)=D(x) 所以 任意非零的有理数都是周期

狄利克雷函数不存在单调性。 【狄利克雷函数】有界性：0-1周期性：任何正数都是其周期，不过没有最小周期奇偶性：偶函数单调性：无连续性：在任何一点都不连续

狄利克雷函数（外文名：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。 狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分，它是一个处处不连续的可测函数。

狄利克雷函数（英语：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域为的不连续函数.当自变量为有理数时,； 自变量为无理数时,.狄利克雷函数的图像关于轴成轴对称,是一个偶函数；它处处不连续；处处极限不存在；不可积分.这是一个处处不连续的可测函数 √2代表 根号2证明过程我写得很啰嗦,尤其是前面三个命题,可能有些人会认为太显而易见了,但为了严谨我还是写出来了,高人可以略过其证明过程前提：1、任何有理数均可写成既约分数 p/q (p,q∈Z 且q≠0)2、任何无理数据不可写成这样的形式,且均可写成无限不循环小数3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类,且不能同时属于两类数命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数证明：假设命题不成立设 p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数X为任意无理数则 p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0)X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q)则根据前提1,X为有理数,与假设矛盾故假设不成立,命题1成立命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数证明：假设命题不成立 设 p/q (p,q∈Z 且q≠0,p≠0)为任意非零有理数 X为任意无理数则 X/(p/q)=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=(p*m)/(q*n)则根据前提1,X为有理数,与假设矛盾故假设不成立,命题2成立 命题3：√2为无理数证明：假设命题不成立则√2为有理数,设√2=p/q (p,q∈Z 且q≠0)2=(p*p)/(q*q)则p必须是偶数∵p/q是既约分数∴q是奇数∴设p=2n q=2m+1(m,n∈Z)∵2*q*q=p*p∴2*(2m+1)*(2m+1)=2n*2n∴(2m+1)*(2m+1)=2n*n 而m,n∈Z时本式不能成立故假设不成立,命题3成立 命题4：任何有限小数都是有理数证明：显而易见~下面进入本证明的关键部分首先介绍狄利克雷函数（Dirichlet Function） f(x)= 1(x为有理数) 0(x为无理数)命题5：任意两个有理数之间一定存在至少一个无理数 证明：设 p/q、m/n (p,q,m,n∈Z 且q≠0,n≠0)为任意两个有理数,不妨设 p/q＜m/n 则 m/n-p/q=(mq-np)/(nq)为有理数 设Q为正有理数,且满足√2＜Q(mq-np)/(nq) 则 0＜√2/Q＜(mq-np)/(nq) p/q＜√2/Q+p/q＜(mq-np)/(nq)+p/q=m/n 根据命题1、2、3,√2/Q+p/q为无理数∴命题5成立 命题6：任意两个无理数之间一定存在至少一个有理数 证明：设X,Y为任意两个无理数,且X＜Y将X,Y写成小数形式,从最高位开始比较两个数直到找到一位X,Y不一样的位数,那一位上的数必然是X＜Y去掉Y在那一位以后的所有位,得到一个有限小数,记为Z显而易见X＜Z＜YZ为有理数,命题6成立 根据命题5、6,任意有理数都不连续,任意无理数也都不连续,根据前提3,则狄利克雷函数在全体实数上处处不连续.

以任意有理数为周期。通过查看狄利克雷函数的定义，狄利克雷函数是在实数范围上、值域不连续的函数。该函数图像以Y轴为对称轴,是一个偶函数，处处不连续，处处极限不存在。狄利克雷函数因为以任意有理数为周期是周期函数，有理数相加得有理数，无理数加有理数还是无理数。狄利克雷函数在整个实数轴上都没有连续点，因此在数学分析、函数论等领域中具有一些特殊的性质和应用。

这个函数在任意点处均不连续，并且也不是左连续，也不是右连续。因为函数在任意点 x0 处，左边（或右边）趋近于 x0 时，都有无数个有理数，也有无数个无理数，因此极限均不存在，所以即不左连续，也不右连续。

不可以周期T必须满足对任意的x有f(x+T)=f(x)，有理数+有理数是有理数，无理数+有理数是无理数，因此有理数肯定是周期，但无理数+无理数可能不是无理数，所以会存在一些无理点经过T周期变成有理数。假设Q={有理数},则P=RQ={无理数}.如果T为任意一个有理数。则有Q+T=Q,P+T=P,故根据狄利克雷函数的定义T为的它的周期。另一方面,如果T为无理数,则Q+T=P,故此时T不是狄利克雷函数的周期。狄里克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意非零有理数（周期不能为0）。狄利克雷函数(英语:dirichlet function)是一个定义在实数范围上、值域为不连续的函数。狄利克雷函数的图像Y轴以Y轴为对称轴，是一个偶函数;它处处不连续;处处极限不存在;不可积分。这是一个处处不连续的可测函数。

狄利克雷函数是：当x是有理数时,f(x)=1；当x是无理数时,f(x)=0. 显然该函数是个偶函数,因为x和-x要么都是有理数,要么都是无理数. 容易看出任何正的有理数都是该函数的周期,比如1,0.5都是它的周期,不过由于没有最小的正有理数,它没有最小正周期.

不是所有周期函数都有最小正周期。周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，存在没有最小正周期的函数，而这个函数就是狄利克雷函数。狄利克雷函数（是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数表示为：（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）假设f(x)=0，x为无理数f(x)=1，x为有理数由有理数和无理数的运算法则可以知道，所有的有理数与有理数的和都是有理数，与无理数的和都是无理数。那么对于这个函数而言，取T为任意有理数，就都满足了，无论x是有理数还是无理数，这就意味着狄利克雷就是一个周期函数。它的最小正周期是最小的有理数，而显然是不存在最小的有理数的，因而这个函数也就没有最小正周期了。扩展资料对于函数f(x)，如果存在一个不为0的正数T，使得当x取定义域中的每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T称为这个函数的周期。如果函数f(x的所有周期中存在最小值T0，称T0为周期函数f(x)的最小正周期。周期函数的性质共分以下几个类型：1、若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。2、若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。3、若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。4、若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。5、若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。6、周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。参考资料来源：百度百科-狄利克雷函数参考资料来源：百度百科-周期函数

F(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数)基本性质1、定义域为整个实数域 R 　　2、值域为 {0, 1} 　　3、函数为偶函数 　　4、无法画出函数图像 　　5、以任意正有理数为其周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）分析性质1、处处不连续 　　2、处处不可导 　　3、在任何区间内黎曼不可积 　　4、函数是可测函数 　　5、在单位区间 [0,1] 上勒贝格可积，且勒贝格积分值为 0（且任意区间<a,b>（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ） 　　函数周期狄利克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意有理数，而非无理数。

是的，因为狄利克雷函数点点不连续，所以处处不可导。其函数图像理论上客观存在，但无法画出确切图形。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。 狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。 狄里克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意负有理数和正有理数。因为不存在最小负有理数和正有理数，所以狄里克莱函数不存在最小正周期。

在某一点两边有无数个有理数和无数个无理数，故其两边的极限值是不确定的，所以某一点的极限值不存在。狄利克雷函数的公式定义：实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数表示为：（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。极限思想：在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从“直线构成形”认识“曲线构成形”，从量变去认识质变，从近似认识精确。“无限”与"有限‘概念本质不同，但是二者又有联系，“无限”是大脑抽象思维的概念，存在于大脑里。“有限”是客观实际存在的千变万化的事物的“量”的映射，符合客观实际规律的“无限”属于整体，按公理，整体大于局部思维。

主要证明：△x→0时，∑D(x)△x的值不定。因为无论△x怎样小，在该区间上都同时存在x1，x2，使得x1为有理数，x2为无理数，那么D(x)=1 或者D(x)=0 ,如果∑D(x)△x中，所有D(x)都取1，那么△x→0时，∑D(x)△x→∞。如果∑D(x)△x中，所有D(x)都取0，那么△x→0时，∑D(x)△x→0，即△x→0时，∑D(x)△x的值不定，所以狄利克雷函数D(x)不可积。狄利克雷函数的公式定义：实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数表示为：（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

取三个点，a_1<a_2<a_3, 并且 a_1 a_3 为有理数，a_2 为无理数，按照定义就知道不单调了。

不可数，因为狄利克雷函数处处不连续，也就是说其间断点为所有实数，而实数是不可数的

连续函数的四则运算有一个注意事项：D（x）不连续，g（x）=x^2连续，积不一定不连续。x0≠0时不连续，并没有说x0=0时不连续，与后面x0=0时可导不矛盾。证明：假设命题不成立设 p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数X为任意无理数则 p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0)X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q)则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾故假设不成立，命题1成立扩展资料：狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。函数是可测函数在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间<a,b>以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）参考资料来源：百度百科-狄利克雷函数

不一定。狄利克雷函数（英语：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域为不连续的函数。狄利克雷函数的图像Y轴以Y轴为对称轴，是一个偶函数；它处处不连续；处处极限不存在；不可积分。这是一个处处不连续的可测函数。狄利克雷函数即f(x)=1(当x为有理数）；f(x)=0(当x为无理数）；而周期函数的定义是对任意x，若f(x)=f(x+T)，则f(x)是周期为T的周期函数。显然，取T为任意一个确定的有理数，则当x是有理数时f(x)=1，且x+T是有理数，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；当x是无理数时，f(x)=0，且x+T是无理数，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。综上，狄利克雷函数是周期函数，其周期可以是任意个有理数，所以没有最小正周期。周期函数的性质共分以下几个类型：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。

在[0,1]上勒贝格可积在很多时候，只是为了来说明某些问题的。这个函数挺特殊，作为很多事情的反例，这个函数在任意一点都不存在极限且是以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数，无理数加有理数还是无理数），同时这个函数在积分上也有应用，该函数黎曼不可积，而在其它一些积分中是可积的。

狄利克雷函数（英语：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域为不连续的函数。狄利克雷函数的图像Y轴以Y轴为对称轴，是一个偶函数；它处处不连续；处处极限不存在；不可积分。这是一个处处不连续的可测函数。狄利克雷函数可以简单地表示分段函数的形式D(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数)基本性质：1、定义域为整个实数域 R2、值域为 {0, 1}3、函数为偶函数4、无法画出函数图像,但是它的函数图像客观存在5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）分析性质：1、处处不连续2、处处不可导3、在任何区间内黎曼不可积4、函数是可测函数5、在单位区间 [0,1] 上勒贝格可积，且勒贝格积分值为 0（且任意区间<a,b>以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）。所以不知道你说的”狄利克雷函数在一点可导“是哪一点可导？狄利克雷函数在实数范围内任何一点都不可导。

周期函数的定义是：若存在T>0使得f(x+T)=f(x), 则f(x)为周期函数，不要求有最小周期。按照定义验证对任意有理数T>0, 如果x是有理数则x+T也是有理数，所以f(x+T)=1=f(x).如果x是无理数，则x+T也是有理数，所以f(x+T)=0=f(x).所以狄利可雷函数以任意正有理数为周期，但没有最小周期。

是的，因为狄利克雷函数不连续，没有原函数。

狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。基本性质1、定义域为整个实数域R。2、值域为{0,1}。3、函数为偶函数。4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在。5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）。