函数

《实变函数》和《复变函数》都是数学系本科的专业课程。简单的说《实变函数》主要研究的是定义域为实数的函数的性质，而《复变函数》主要研究的是定义域为复数的函数的性质。 《实变函数》主要引进了一种新的积分-Lebesgue积分，用来研究不连续函数的积分问题。 《复变函数》主要研究定义域为复数的函数的微积分以及幂级数展开等性质。可以理解为复数函数的《数学分析》。但内容上有所增加。 在我国的数学系课程中，二者的联系并不大，研究的方法也不同。可以说《实变函数》要更深一些。如果要深入了解它们之间的联系，可以看一下这本书Walter Rudin的《Real and Complex Analysis》（有中译本），它是美国大学数学系研究生用书，其中包括了《实变函数》和《复以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。 实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。[编辑本段]实变函数论的产生 微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了。数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部门，也就是数学分析。 也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着学多问题。比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。以至长期争论者问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的理解。 十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。这个证明使许多数学家大为吃惊。 由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？…… 上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。[编辑本段]实变函数的内容 以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。 实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。 实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。 什么实测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。 为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。 勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。 自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。 什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。 和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。 总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征。 实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响。

《实变函数》和《复变函数》都是数学系本科的专业课程。简单的说《实变函数》主要研究的是定义域为实数的函数的性质，而《复变函数》主要研究的是定义域为复数的函数的性质。 《实变函数》主要引进了一种新的积分-Lebesgue积分，用来研究不连续函数的积分问题。 《复变函数》主要研究定义域为复数的函数的微积分以及幂级数展开等性质。可以理解为复数函数的《数学分析》。但内容上有所增加。 在我国的数学系课程中，二者的联系并不大，研究的方法也不同。可以说《实变函数》要更深一些。如果要深入了解它们之间的联系，可以看一下这本书Walter Rudin的《Real and Complex Analysis》（有中译本），它是美国大学数学系研究生用书，其中包括了《实变函数》和《复以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。 实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。[编辑本段]实变函数论的产生 微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了。数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部门，也就是数学分析。 也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着学多问题。比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。以至长期争论者问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的理解。 十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。这个证明使许多数学家大为吃惊。 由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？…… 上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。[编辑本段]实变函数的内容 以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。 实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。 实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。 什么实测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。 为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。 勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。 自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。 什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。 和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。 总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征。 实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响。

在微积分学中，主要是从连续性、可微性、黎曼可积性三个方面来讨论函数（包括函数序列的极限函数）。如果说微积分学所讨论的函数都是性质“良好”的函数（例如往往假设函数连续或只有有限个间断点），那么，实变函数论是从连续性、可微性、可积性三个方面讨论最一般的函数，包括从微积分学来看性质“不好”的函数。它所得到的有关的结论自然也适用于性质“良好”的函数。实变函数论是微积分学的发展和深入。函数可积性的讨论是实变函数论中最主要的内容。它包括H.L.勒贝格的测度、可测集、可测函数和积分以及少许更一般的勒贝格－斯蒂尔杰斯测度和积分的理论（见勒贝格积分）。这种积分比黎曼积分是更为普遍适用和更为有效的工具，例如微积分基本定理以及积分与极限变换次序。

以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。 什么是测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。为了推广积分概念，1893年，约当(Camille Jordan)在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”(Jordan measure)的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔(Borel, Emile)(把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。 什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成B类函数的极限，就说A类函数能以B类函数来逼近。如果已经掌握B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出A类函数的相应性质。逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。

实变函数ac是以实数作为自变量的函数。360百科网显示：以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等”。

以实数作为自变量的函数叫做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。 　　实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。 　　实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。 　　什么是测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。 　　为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。

上极限是指收敛子数列的极限值的上确界值。下极限函数是为判断函数下半连续性而引进的一个概念。设f(x)是定义在点集E上的扩充实值函数，若在闭包E内的点x的δ邻域与E的交内，函数f所取的值的下确界为m(x)，则m(x,δ)在δ趋于0时的极限称为f(x)沿E的下极限函数。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集一个数量上的概念，这个概念叫做测度。简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度概念对于实变函数论十分重要。扩展资料：当x0∈E，m(x0)=f(x0)时，即-f(x)在x0上半部分连续时，称f在x0处下半连续。当x0∈E，M(x0)=f(x0)时，称f在x0处上半连续。这两种情形统称为f在x0处半连续。举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。逼近论就是研究一类函数用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度、在逼近中出现的各种情况。参考资料来源：百度百科-下极限函数参考资料来源：百度百科-上极限

这个基本都是可测函数可积的一些问题，证明思路基本差不多，我在这里给出其中一个的证明，剩下的你可以自己补充。就第一题吧： 记集合 {x属于 E| f(x)>=n} 为 E_n。则有 sum_{i从0到正无穷} i [m(E_i)-m(E_{i+1})]<=int_E f dm=sum_{i从0到正无穷} int_{i<=f<i+1} f dm<= sum_{i从0到正无穷} (i+1) [m(E_i)-m(E_{i+1})].如果 f 在 E 上可积，则上式中间一行的项小于正无穷，从而第一行的项也小于正无穷，而第一行有限和化简即为 sum_{i从0到 n} m(E_i) -m(E_{n+1})，取极限则有 sum_{i从0到无穷} m(E_i)<+oo。同理若 sum_{i从0到无穷} m(E_i)<+oo，则上式第三行小于+oo, 而从中间一行（也即 f 在 E 上的积分）小于 +oo. 其他的几个问题证明基本类似，就第二题稍微复杂一点。

我有一个做法， 由 f《ψ《g 可得 |ψ|《max(|f|,|g|) 由max(|f|,|g|) +min(|f|,|g|) =|f|+|g| , max(|f|,|g|) -min(|f|,|g|) =||f|-|g||《|f-g| 所以max(|f|,|g|) 《1/2*(|f|+|g|+|f-g|) 所以|ψ|《1/2*(|f|+|g|+|f-g|) 两边Lebesgue积分，由题目条件知∫(|f|+|g|+|f-g|)dm< +∞ 所以∫|ψ|dm<+∞ 得证 感觉条件g-f 属于L1（X）多余了。直接有 |ψ|《|f|+|g|，就可得结论的吧

首先实变函数为泛函分析奠定了理论基础.泛函分析你应该比较了解,对近代的常微分方程,偏微分方程,差分方程,解的性质有很重要的意义 实变函数本身主要用于高等概率论,以及随机过程中很多定理的证明.对于普通的积分勒贝格还是不常用,但是对不少特殊函数（概率分布）用勒贝格积分算还是很有用的.

若集合S的任一点都是内点，称S为开集开集的补集为闭集，等价定义为集合S的任一点都是聚点，则称S为闭集

f(x)为可测函数n(c)为 0 1 2 3……是分别对应x 无 x1 x2 x3……对应f上的点 无 y1 y2 y3）……设有n个解存在一个极小值【y（n）-ε】的绝对值<δ<1/n^2 则元素所在互不相交的区域的测度为<2/n可测，当n去浸于无穷大是测度的和为零， 对任何有限实数a，E[n（c）>=a]都可测 大概就是咋个样子 勿喷对了点个赞

要看具体定义了，不同的书有不同的定义。一般可列(countable)表示无穷多个，且可以由自然数集合编号；而至多可列（at most countable） 表示有限也行，无穷多且可以由自然数集合编号也行。

有限的就是说,任何一个点的函数值都是一个实数,而不是无穷大.有界是所有的函数值有一个共同的最大的绝对值.如果有界,那么显然是有限的.但是有限却不一定有界,比如说f(x)=x,任何一个实数x,对应的函数值都是一个实数,而不是无穷大,然而x->∞的极限却是∞,所以说不是有界的.

即证Q^3可数 可数集的笛卡尔乘积可数. 如果非要证明的话可以这样(以A*B为例) A*B={(a,b)|a∈A,b∈B} 因为A,B可数故可写成数列形式B={r1,r2,...,rn,...}, 则A*B={(a,b)|a∈A,b∈B}=∪(n从0到无穷){(a,rn)|a∈A,rn∈B} 因为{(a,rn)|a∈A,rn∈B}~A,所以可数, 可数个可数集的并是可数集.

本书在n维欧氏空间中建立Lebesgue测度和积分的理论，突出体现实变函数的基本思想。全书包括：集合、点集、Lebesgue测度、可测函数、Lebesgue积分、微分与不定积分、Lp空间共七章。每一小节讲述概念、定理与例题后，均附有精心挑选的配套基本习题，每一章后均附有整整一节的例题选讲，介绍实变函数解题的各种典型方法与重要技巧，每一章后还列出大量的习题供读者去研究与探索。本书可作为高等院校数学专业的教材，也可供相关专业人员参考。

如果你问大学课程中的《复变函数与积分变换》和《实变函数与泛函分析》哪个难，我觉得都难？首先来聊聊《复变函数与积分变换》：复变函数论主要用于研究复域中的解析函数，因此通常称为解析函数论。积分变换最基本的一点是，它们可以用来解数学方程。其实这可以作为两门学科，但是也可以作为一门学科。因为复数的概念起源于求方程的根。在求二次和三次代数方程的根时，有负数的平方。长期以来，人们无法理解这样的数字。但随着数学的发展，这种数的重要性越来越明显。积分变换是数学理论或应用中非常有用的工具。最重要的积分变换是傅里叶变换和拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他的积分变换，其中梅林变换和汉克尔变换被广泛应用，可以通过傅里叶变换或拉普拉斯变换进行变换。所以他们之间还是有联系的。再者说说《实变函数与泛函分析》：说到这门学科，肯定离不开集合论部分，已知给出了更多的拓扑定义，然后讨论了一些关于顺序和选择公理的事情，这门学科在附录中列出了顺序和选择公理，以便进行简单解释，但这一部分对学习实变量函数几乎没有影响。在测量理论方面，需要从外部测量和内部测量两方面给出了测量方法，按照勒伯格最初建立测量理论的顺序，操作更为复杂。所以，实变函数与泛函分析的关系比较复杂，就是先实变函数，然后再泛函分析。其中包含了范数空间，度量空间：它涉及紧性，可以用来证明代数的基本定理。这些简单的概念已经可以得到强有力的结果：科罗夫金的理论和斯通·韦尔斯特拉的理论。一系列定理实际上回答了一个问题，即逼近问题，即给出一种用多项式（三角多项式）逼近连续函数的方法。如何判断这种方法是否可靠。接下来，我给出一个在20世纪50年代证明的结果，这个结果非常漂亮，不涉及困难的数学概念。总之，我觉得都非常难学，以前觉得高数难，概率论难，自从学了这两门学科，我觉得没有比他们难，因此建议：非数学专业别学。

E可测，满足卡拉泰奥多里条件：对任意集合T，m*(T)=m*(E∩T)+m*(T-E)令T=E∪A得：m*(E∪A)=m(E)+m*(A-E)令T=A得：m*(A)=m*(E∩A)+m*(A-E)由上面两式得m*(E∪A)-m(E)=m*(A)-m*(E∩A)=m*(A-E)因此m*(E∪A)+m*(E∩A)=m(E)+m*(A)

若集合S的任一点都是内点，称S为开集开集的补集为闭集，等价定义为集合S的任一点都是聚点，则称S为闭集

m(A-B)>或=mA+mB应该是m(A-B)>或=mA-mB测度实际上是集合到【0,R）的一个映射,它必须满足通常的长度的基本关系.m(A-B)>或=mA-mB这个是测度的次可加性,满足可加性的测度（如果还同时满足其他性质的话）是找不到的,只能退而求其次要求它满足次可加性.mA》=m(A-B)》=mA+mB=mA所以是等于.另外mA》=m(A-B)是测度的单调性.

实变函数更难，从开课时间就能看出来，复变函数一般学校的数学系是大二开的，实变函数是大三开的。再者说，学习复变函数之前，只要学好数学分析和解析几何就行了，学习实变函数那就好多门只是综合应用了，而且还十分抽象。在数学中，一个函数是描述每个输入值对应唯一输出值的这种对应关系，符号通常为f(x)。在英文中读作f of x，但在中文中则常读作fx。其中x为自变量,y=f(x)为因变量（或称应变量）。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。

Caratheodory条件是集合Lesbesgue可测的等价命题，在对于一般的集族定义测度时直接将Caratheodory条件作为集合可测的定义在实数集的全体子集P上定义外测度m*（R的子集E的外测度m*(E)由覆盖E的区间族的长度和的下确界定义）称R的子集E为Lesbesgue可测的，若任取e>0，存在开集G，闭集F，使得F包含于E包含于G，且m*(GF)<e也就是说可测集是可以被开集和闭集无限逼近的集合称E满足Caratheodory条件，若对任意R的子集A有m*(A)=m*(A交E)+m*(AE)满足Caratheodory条件的集合可以没有损失的分割R的任意子集一般地，对于定义了外侧度m*的集族U，称U中的集合E为可测的，若E满足Caratheodory条件

首先[0,1]的基数为C，其次[0,1]上的有理数是可数的。所以[0,1]/Q[0,1]的基数=[0,1]的基数，所以就是C了。实变函数论（real function theory）19世纪末20世纪初形成的数学分支。起源于古典分析，主要研究对象是自变量（包括多变量）取实数值的函数，研究的问题包括函数的连续性、可微性、可积性、收敛性等方面的基本理论，是微积分的深入和发展。因为它不仅研究微积分中的函数，而且还研究更为一般的函数，并且得到了较微积分中相应理论更为深刻、更为一般从而应用更为广泛的结论，所以实变函数论是现代分析数学各个分支的基础。函数可积性的讨论是实变函数论中最主要的内容。它包括勒贝格（Henri Léon Lebesgue) 的测度、可测集、可测函数和积分以及少许更一般的勒贝格－斯蒂尔杰斯测度 (Lebesgue-Stieltjes Measure)和积分的理论（见勒贝格积分）。这种积分比黎曼积分是更为普遍适用和更为有效的工具，例如微积分基本定理以及积分与极限变换次序。精美的调和分析理论(见傅里叶分析)就是建立在勒贝格积分的基础上的。此外，还适应特殊的需要而讨论一些特殊的积分。

首先实变函数为泛函分析奠定了理论基础.泛函分析你应该比较了解,对近代的常微分方程,偏微分方程,差分方程,解的性质有很重要的意义 实变函数本身主要用于高等概率论,以及随机过程中很多定理的证明.对于普通的积分勒贝格还是不常用,但是对不少特殊函数（概率分布）用勒贝格积分算还是很有用的.

因为E可测，则存在Fδ型集F包含于E，使mF=mE，令E-F=N。则mN=0，因为F=∑Fn其中{Fn}为闭集列，∴对于任意的α∈R，∵E=N+F，∴E{f≥α}=N{f≥α}+∑Fn{f≥α}，∵f在{Fn}上连续∴Fn{f≥α}可测∵mN{f≥α}≤mN=0∴N{f≥α}可测∴E{f≥α}=N{f≥α}+∑Fn{f≥α}可测∴f在E上为可测集。证毕。ps：也不知道对不对，你自己再看一下吧

以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集一个数量上的概念，这个概念叫做测度。，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支中的应用是现代数学的特征。实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛函分析两个重要分支有着极为重要的影响。在微积分学中，主要是从连续性、可微性、黎曼可积性三个方面来讨论函数（包括函数序列的极限函数）。如果说微积分学所讨论的函数都是性质“良好”的函数（例如往往假设函数连续或只有有限个间断点），那么，实变函数论是从连续性、可微性、可积性三个方面讨论最一般的函数，包括从微积分学来看性质“不好”的函数。所得到的有关的结论自然也适用于性质“良好”的函数。实变函数论是微积分学的发展和深入。函数可积性的讨论是实变函数论中最主要的内容。包括H.L.勒贝格的测度、可测集、可测函数和积分以及少许更一般的勒贝格－斯蒂尔杰斯测度和积分的理论（见勒贝格积分）。这种积分比黎曼积分是更为普遍适用和更为有效的工具，例如微积分基本定理以及积分与极限变换次序。

跟集合有关的书上都有，交并A=交（并A）。实变函数里面有这个定义。

对任意实数t，记A(t)=f(E)∩φ^(-1)(t)，∵φ(y)是f(E)上的单调增函数，∴φ(f(x))≥t <=> 对任意a∈A(t)，有φ(f(x))≥φ(a)<=> 对任意a∈A(t)，有f(x)≥φ(a)<=> f(x)≥supA(t)∴{x∈E:φ(f(x))≥t}={x∈E:f(x)≥supA(t)}则∵f(x)是E上可测函数，∴{x∈E:f(x)≥supA(t)}是可测集即{x∈E:φ(f(x))>t}是可测集，∴φ(f(x))在E上可测

16 sinx是R上连续函数，同时sin(π/2)=1,sin(-π/2)=-1，取闭区间[-π/2，π/2]根据介值定理，sinx可以取得[-1,1]上任何值，也即[-1,1]上任意值在[-π/2，π/2]都有原像，自然在R上都有原像，所以sinx是R→[-1,1]的满射17显然∪E[f≥c+1/n]u2282E[f>c]（∪从n=1到∞）又对u2200x∈E[f>c],令α=f(x)-c>0，u2203N=[1/α]+1([表示取整值])，c+1/N≤f(x),故x∈E[f≥c+1/N]，所以x∈∪E[f≥c+1/n]（∪从n=1到∞），由x的任意性，E[f>c]u2282∪E[f≥c+1/n]（∪从n=1到∞），故E[f>c]=∪E[f≥c+1/n]（∪从n=1到∞）。18.En=[-n,n]∩E是渐张列，即E1u2282E2u2282···u2282Enu2282···，根据定理：有：19.

是，并且是零。可以假定f>=0，否则以|f| 代替f，仍然Lebesgue可积，并且一致连续。如果能证明 |f| 的极限是0，那么自然推出f的极限是0。现在f>=0。对于给定的h>0，要找一个A，使得当x>A的时候，f(x)<h。我这里敲epsilon比较麻烦。因为f一致连续，所以存在一个d，只要|x-y|<d，就有|f(x)-f(y)|<h/2。因为f是Lebesgue可积的，所以存在一个A，使得从A到正无穷，f的积分小于hd/2。那么对于任何的x>A，都必须有f(x)<h。否则有一个f(x)>=h，那么当x<=y<=x+d时，f(y)>=h/2，这样从x到x+d，f的积分大于hd/2，那f从A到正无穷的积分就更大了。这样证明了f有极限而且极限是0（x趋于负无穷的时候类似）。

题目中几乎处处有界的表述是错的，应该改为本质有界（存在正数A使得|g(x)|<A几乎处处成立）。函数1/根号x在[0,1]上就不满足原题目。如果|g(x)|<A几乎处处成立，则|f(x)g(x)|<A|f(x)|几乎处处成立，所以若f(x)可积则g(x)f(x)可积。若g(x)非本质有界，可假设g(x)为非负函数。取E_n为n<g(x)<n+1的测度有限的子集。显然E_n互不相交。定义f(x)在E_n上为a_n（取遍所有n），在其他上为0。如果a_n满足a_n乘以E_n的测度的求和有限，但是na_n乘以E_n的测度的求和无限，则与题目矛盾。

这个符号念fai（去声），是希腊字母，数学中三角函数中用的比较多，相当于x，代表未知函数，如果是在建筑中则是一级钢的代号。 最后我还想问一下你是在哪儿见到的这个符号，想知道它哪方面意思？

实变函数论的产生 微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了。数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部门，也就是数学分析。也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着很多问题。比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。以至长期争论者问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的理解。十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都不可导。这个发现使许多数学家大为吃惊。由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。这些都促使数学家考虑，人们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？……上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。

数学分析和实变函数之间有3点不同，相关介绍具体如下：一、两者的研究内容不同：1、数学分析的研究内容：研究函数、极限、微积分、级数。2、实变函数的研究内容：研究内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。二、两者的意义不同：1、数学分析的意义：数学分析的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。这些特性，有助我们应用在对物理世界的研究，研究及发现自然界的规律。2、实变函数的意义：为微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。三、两者的实质不同：1、数学分析的实质：分析学中最古老、最基本的分支。一般指以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。2、实变函数的实质：以实数作为自变量的函数叫做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。参考资料来源：百度百科-实变函数（数学学科术语）参考资料来源：百度百科-数学分析（数学基础分支）

7.必要性：由fn（x）=>f(x),对于u2200σ>0,g（x）=f（x）a.e.于E：u2203E0u2282E，在E0上g（x）=f（x），且设E‘=（E-E0），mE"=0，于是对于u2200σ，故fn（x）=>g(x)8.逆命题成立，|f(x)|=f+(x)+f-(x),f(x)=f+(x)-f-(x)f+和f-分别为f(x)的正部和负部|f(x)|可积，则∫[f+(x)+f-(x)]dx<+∞，故∫f+(x)dx<+∞且∫f-(x)dx<+∞由于正部负部积分均有限，根据可积定义知f（x）可积9.使f（x）无限的x构成的集合为：设En=由于f（x）可积，有|f(x)|可积，故有对于u2200n：因此对u2200n：所以运用定理得：所以f（x）有限a.e.于E

R可以看成可数个开区间（n-1,n）（n属于Z）和整数集Z的并集,根据题目给的条件任何的测度为1的开集G有∫G F（x）dx=0,所有则f(x)=0,a.e于G,可知在每个（n-1,n）f(x)=0,a.e.由此可以知道在每个（n-1,n）上f不为零的集合（设为En）其测度一定为零,使得所有f不为零的点应该是所有En和Z的并集的子集,而En和Z（Z为可数集合,可数集合的测度都是零）都是零测度集,可数个零测度集的并集还是零测度集,零测度集的任一一个子集还是零测度集.所有使得不为零的集合一定是一个零测度集.

19世纪末20世纪初形成的一个数学分支，它的最基本内容已成为分析数学各分支的普遍基础。实变 实变函数论函数主要指自变量（也包括多变量）取实数值的函数，而实变函数论就是研究一般实变函数的理论。在微积分学中，主要是从连续性、可微性、黎曼可积性三个方面来讨论函数（包括函数序列的极限函数）。如果说微积分学所讨论的函数都是性质“良好”的函数（例如往往假设函数连续或只有有限个间断点），那么，实变函数论是从连续性、可微性、可积性三个方面讨论最一般的函数，包括从微积分学来看性质“不好”的函数。它所得到的有关的结论自然也适用于性质“良好”的函数。实变函数论是微积分学的发展和深入。函数可积性的讨论是实变函数论中最主要的内容。它包括H.L.勒贝格的测度、可测集、可测函数和积分以及少许更一般的勒贝格－斯蒂尔杰斯测度和积分的理论（见勒贝格积分）。这种积分比黎曼积分是更为普遍适用和更为有效的工具，例如微积分基本定理以及积分与极限变换次序。精美的调和分析理论(见傅里叶分析)就是建立在勒贝格积分的基础上的。此外，还适应特殊的需要而讨论一些特殊的积分。例如为讨论牛顿－莱布尼茨公式而有佩隆积分。由于有了具有可列可加性的测度和建立在这种测度基础上的积分，导致了与微积分中函数序列的点点收敛和一致收敛不同的一些新的重要收敛概念的产生，它们是几乎处处收敛、度量收敛（亦称依测度收敛）、积分平均收敛等。度量收敛在概率论中就是依概率收敛，且具有特别重要的地位。积分平均收敛在一般分析学科中也是常用的重要收敛。傅里叶级数理论以及一般的正交级数理论就是以积分的平方平均收敛为基本的收敛概念。一般正交级数的无条件收敛问题在实变函数论中也有所讨论。在函数连续性方面，实变函数论考察了例如定义在直线的子集М（不必是区间）上的函数的不连续点的特征：第一类不连续点最多只有可列个，第二类不连续点必是可列个（相对于М的）闭集的并集（也称和集）的结论；还讨论怎样的函数可以表示成连续函数序列处处收敛的极限，引入半连续函数，更一般地是引入贝尔函数，并讨论它们的结构。与研究函数连续性密切相关的就是讨论各类重要的点集如□，更一般的是波莱尔集及其结构。解析集合论就是在深入讨论波莱尔集和勒贝格可测集相互关系基础上形成的一个数学分支。实变函数论在函数可微性方面所获得的结果是非常深刻的。设□(□)是定义在(□，□)上的、在每点取有限值的实函数。对于每个□□□□(□，□)，引入四个数：□，□，□，□，分别称□为□(□)在□ 处的右方上(下)导数，左方上(下)导数。这四个数（可以是无限大）都相等且有限时，就称□(□)在□处是可导的。历史上人们曾以为[□，□]上任何连续函数□(□)都至少有一点是可导的，后来K.（T·W）外尔斯特拉斯举出了一个反例：□，式中0□。它是连续的，而在任何一点处都是不可导的。但А·当儒瓦、W·Н·杨和S·萨克斯证明了：对（□，□）上每点取有 实变函数论限值的实函数，必有勒贝格测度是零的集□，使得对任何□□□，下面三种情况必有一种出现。①□在□处有有限导数。②在□处的异侧的某两个导数是同一个有限数；另两个异侧导数必定一个是+∞，另一个是－∞。③两个上导数都是+∞，两个下导数都是－∞。由这个定理又可推出如下重要结果：设□(□)是[□，□]上单调函数，那么除去一个勒贝格测度是零的集□外，□必定存在且有限。在实变函数论中还考虑可导点集的特征，多元函数的微分问题以及其他的一些导数概念和不同导数之间的关系。实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛函分析两个重要分支有着极为重要的影响。

从教学实践上来说，一般是学完数分以后再同时学实分析（国内等价于实变）和复变（两者独立教学），学完复变之后再学复分析。但从逻辑关系上来说，不学数分直接学实变也是可以的，因为勒贝格测度和积分的定义实际上是独立于黎曼积分的，只是它整套机器更为庞大而已。数学分析的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。这些特性，有助我们应用在对物理世界的研究，研究及发现自然界的规律。为微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。相关联系微积分理论的产生离不开物理学，天文学，经济学，几何学等学科的发展，微积分理论从其产生之日起就显示了巨大的应用活力，所以在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。以上内容参考：百度百科-数学分析

实变函数闭集充要条件包含所有聚点的集合是闭集。由于收敛点列｛xn｝收敛域x0，那么x0是闭集F的聚点，当然属于F。这个是点集拓扑的内容，用到泛函这而已。连续映射的定义是，开集的原像是开集，取个补稍微推一下即可。单点集是闭集，证明如下:设集合S={a}，它没有聚点，所以导集为空集，从而导集包含于S，按定义，它是闭集。有限个闭集的并集还是闭集，从而命题得证。性质A是闭集当且仅当它的补集是开集。设A是闭集，用Ac表示其在度量空间内的补集，根据开集的定义，只需要证明Ac中的点都是内点即可。任取一点x∈Ac，若假设x不是Ac的内点，则根据内点的定义，在x的任意一个邻域内，都至少有一点不属于Ac，即在x的任意一个邻域内，都至少有一点属于A。并且很明显，这一点不可能是x自身（因为x∈Ac）。

以实数作为自变量的函数叫做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集一个数量上的概念，这个概念叫做测度。什么是测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来又推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。逼近论就是研究一类函数用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度、在逼近中出现的各种情况。和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支中的应用是现代数学的特征。实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛函分析两个重要分支有着极为重要的影响。

对实变函数的看法和感悟如下：一、实变函数课程内容简介第一章主要简述了集合论，里面包含了集合的运算、基数、可数集等内容，以便更好地了解集合的性质。第二章则主要介绍了开集、闭集以及特殊的集合：Cantor集和Borel集。以此为基础第三章主要讲述了测度与外测度，有了可测集之后还有可测函数，第四章便主要讲述了可测函数。最后，便是最重要的还是Lebesgue积分。至于学习本课程所需预备知识，笔者认为需要数学分析的相关知识较多。主要是关于极限的一些内容，上极限、下极限、确界原理。以及黎曼积分和勒贝格积分之间的区别。笔者认为本门课程和代数之间关联较少。而在学习的过程中发现概率论的基础是实变函数，而实变函数也因概率论的发展而被世人所重视。二、本课程最艰难的部分，应该如何克服?实变函数的难点在于有些定义较为抽象，比如勒贝格积分，博雷尔集类，不可测集、选择公理，这些定义、公理在理解上相对较为困难，难以想象，难以用某些东西去类比，因此相对其他学科会较为困难。而针对概念、定义上的困难，还是需要自己反复推敲才能较好地领悟其中奥妙。因此，对于普通大学生来讲克服这些难点地关键在于自身，静下心思考，一遍、两遍、三遍，经过仔细琢磨，对这些知识点地理解也能更深入，难题也会迎刃而解。而与其他学科相关地一些定义，如连续、上下极限、上下确界等内容相对较为容易理解，在学习实变函数时只需融会贯通，多加运用即可。三、本课程最感兴趣的部份比较吸引我的一点是实变函数与各学科的交集。实变与概率论、复变函数以及数学分析之间都有联系。从黎曼积分到勒贝格积分，我更希望看到勒贝格积分的具体内容，以及黎曼积分与勒贝格积分的具体差距。

分类: 教育/科学 >> 科学技术 问题描述: 什么是泛函、复变函数、实变函数？ 这三种函数有什么特征啊？能不能各举个例子？万分感谢了！ 解析: 简单的说，自变量是实数的，就是实变函数；是复数的，就是复变函数；是函数的，就是泛函。 例子实变：y=x+1,x属于R 复变：w=2*z，z属于C 泛函：L(y)=y"+y, y=y(x) [y"代表y的导数]

该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。 具体用法将在下面举例说明： 本例可看成一个 排队问题，其中 （1）修理店空闲的概率 （2）店内恰有3个顾客的概率 （3）店内至少有1顾客的概率 （4）在店内的平均顾客数 （5）每位顾客在店内的平均逗留时间 （6）等待服务的平均顾客数 （7）每位顾客平均等待服务时间 （8）顾客在店内逗留时间超过 10min 的概率Lingo程序： @peb(rho,s)中，第一个参数rho即为 ，第二个参数为 为服务台个数。

#define是宏定义，const与define两者都可以用来定义常量，但是const定义时，定义了常量的类型，所以更精确一些。#define只是简单的文本替换，除了可以定义常量外，还可以用来定义一些简单的函数，有点类似内置函数。const和define定义的常量可以放在头文件里面。

adfasdfasdfsad

没细看，不过最明显的错误是wavedec函数是做DWT的，而Morlet小波是不具有有限冲激响应滤波器和尺度方程的小波，它是没法做DWT的，它只能做CWT或是用它的复数形式CMorlet小波做CCWT，所以是wavedec函数不能使用"morl"小波基的问题，换其它7种能做DWT的小波基试试吧！另外，你那语句是做3层分解的，不是4层。

你好呀，我对Matlab的混合编程也很感兴趣，我们可以交流一下，不过你的代码不全呀，MyFunctionCacu类具体是如何构造的

去掉分号就哦了

plot(t,T);tfit=0:24;A=polyfit(t,T,2);Tfit=polyval(A,tfit);hold onplot(tfit,Tfit);polyval(A,12.5)%

号称网络硬件三剑客的集线器（Hub）、交换机（Switch）与路由器（Router）一直都是网络界的活跃分子，但让很多初入网络之门的菜鸟恼火的是，它们三者不仅外观相似，而且经常呆在一起，要想分清谁是谁，感觉有点难!就让我们一起来看看它们之间有什么区别和联系吧! 三剑客的工作原理 一、集线器 1.什么是集线器 在认识集线器之前，必须先了解一下中继器。在我们接触到的网络中，最简单的就是两台电脑通过两块网卡构成“双机互连”，两块网卡之间一般是由非屏蔽双绞线来充当信号线的。由于双绞线在传输信号时信号功率会逐渐衰减，当信号衰减到一定程度时将造成信号失真，因此在保证信号质量的前提下，双绞线的最大传输距离为100米。当两台电脑之间的距离超过100米时，为了实现双机互连，人们便在这两台电脑之间安装一个“中继器”，它的作用就是将已经衰减得不完整的信号经过整理，重新产生出完整的信号再继续传送。中继器就是普通集线器的前身，集线器实际就是一种多端口的中继器。集线器一般有4、8、16、24、32等数量的RJ45接口，通过这些接口，集线器便能为相应数量的电脑完成“中继”功能。由于它在网络中处于一种“中心”位置，因此集线器也叫做“Hub”。 2.集线器的工作原理 集线器的工作原理很简单，以图2为例，图中是一个具备8个端口的集线器，共连接了8台电脑。集线器处于网络的“中心”，通过集线器对信号进行转发，8台电脑之间可以互连互通。具体通信过程是这样的：假如计算机1要将一条信息发送给计算机8，当计算机1的网卡将信息通过双绞线送到集线器上时，集线器并不会直接将信息送给计算机8，它会将信息进行“广播”--将信息同时发送给8个端口，当8个端口上的计算机接收到这条广播信息时，会对信息进行检查，如果发现该信息是发给自己的，则接收，否则不予理睬。由于该信息是计算机1发给计算机8的，因此最终计算机8会接收该信息，而其它7台电脑看完信息后，会因为信息不是自己的而不接收该信息。3.集线器的特点 1）共享带宽 集线器的带宽是指它通信时能够达到的最大速度。目前市面上用于中小型局域网的集线器主要有10Mbps、100Mbps和10/100Mbps自适应三种。 10Mb带宽的集线器的传输速度最大为10Mbps，即使与它连接的计算机使用的是100Mbps网卡，在传输数据时速度仍然只有10Mbps。10/100Mbps自适应集线器能够根据与端口相连的网卡速度自动调整带宽，当与10Mbps的网卡相连时，其带宽为10Mb；与100Mbps的网卡相连时，其带宽为100Mb，因此这种集线器也叫做“双速集线器”。 集线器是一种“共享”设备，集线器本身不能识别目的地址，当同一局域网内的A主机给B主机传输数据时，数据包在以集线器为架构的网络上是以广播方式传输的，由每一台终端通过验证数据包头的地址信息来确定是否接收。 由于集线器在一个时钟周期中只能传输一组信息，如果一台集线器连接的机器数目较多，并且多台机器经常需要同时通信时，将导致集线器的工作效率很差，如发生信息堵塞、碰撞等。 为什么会这样呢?打给比方，以图2为例，当计算机1正在通过集线器发信息给计算机8时，如果此时计算机2也想通过集线器将信息发给计算机7，当它试图与集线器联系时，却发现集线器正在忙计算机1的事情，于是计算机2便会“带”着数据站在集线器的面前等待，并时时要求集线器停下计算机1的活来帮自己干。如果计算机2成功地将集线器“抢”过来了（由于集线器是“共享”的，因此很容易抢到手），此时正处于传输状态的计算机1的数据便会停止，于是计算机1也会去“抢”集线器……可见，集线器上每个端口的真实速度除了与集线器的带宽有关外，与同时工作的设备数量也有关。比如说一个带宽为10Mb的集线器上连接了8台计算机，当这8台计算机同时工作时，则每台计算机真正所拥有的带宽是10/8=1.25Mb! 2ue5e5半双工 先说说全双工：两台设备在发送和接收数据时，通信双方都能在同一时刻进行发送或接收操作，这样的传送方式就是全双工。而处于半双工传送方式的设备，当其中一台设备在发送数据时，另一台只能接收，而不能同时将自己的数据发送出去。 由于集线器采取的是“广播”传输信息的方式，因此集线器传送数据时只能工作在半双工状态下，比如说计算机1与计算机8需要相互传送一些数据，当计算机1在发送数据时，计算机8只能接收计算机1发过来的数据，只有等计算机1停止发送并做好了接收准备，它才能将自己的信息发送给计算机1或其它计算机。二、交换机 1.什么是交换机 交换机也叫交换式集线器，它通过对信息进行重新生成，并经过内部处理后转发至指定端口，具备自动寻址能力和交换作用，由于交换机根据所传递信息包的目的地址，将每一信息包独立地从源端口送至目的端口，避免了和其他端口发生碰撞。广义的交换机就是一种在通信系统中完成信息交换功能的设备。 2.交换机的工作原理 在计算机网络系统中，交换机是针对共享工作模式的弱点而推出的。集线器是采用共享工作模式的代表，如果把集线器比作一个邮递员，那么这个邮递员是个不认识字的“傻瓜”--要他去送信，他不知道直接根据信件上的地址将信件送给收信人，只会拿着信分发给所有的人，然后让接收的人根据地址信息来判断是不是自己的!而交换机则是一个“聪明”的邮递员--交换机拥有一条高带宽的背部总线和内部交换矩阵。交换机的所有的端口都挂接在这条背部总线上，当控制电路收到数据包以后，处理端口会查找内存中的地址对照表以确定目的MAC（网卡的硬件地址）的NIC（网卡）挂接在哪个端口上，通过内部交换矩阵迅速将数据包传送到目的端口。目的MAC若不存在，交换机才广播到所有的端口，接收端口回应后交换机会“学习”新的地址，并把它添加入内部地址表中。 可见，交换机在收到某个网卡发过来的“信件”时，会根据上面的地址信息，以及自己掌握的“常住居民户口簿”快速将信件送到收信人的手中。万一收信人的地址不在“户口簿”上，交换机才会像集线器一样将信分发给所有的人，然后从中找到收信人。而找到收信人之后，交换机会立刻将这个人的信息登记到“户口簿”上，这样以后再为该客户服务时，就可以迅速将信件送达了。 3.交换机的性能特点 1）独享带宽 由于交换机能够智能化地根据地址信息将数据快速送到目的地，因此它不会像集线器那样在传输数据时“打扰”那些非收信人。这样一来，交换机在同一时刻可进行多个端口组之间的数据传输。并且每个端口都可视为是独立的网段，相互通信的双方独自享有全部的带宽，无须同其他设备竞争使用。比如说，当A主机向D主机发送数据时，B主机可同时向C主机发送数据，而且这两个传输都享有网络的全部带宽--假设此时它们使用的是10Mb的交换机，那么该交换机此时的总流通量就等于2×10Mb=20Mb。 2）全双工 当交换机上的两个端口在通信时，由于它们之间的通道是相对独立的，因此它们可以实现全双工通信。 三、集线器与交换机的区别 从两者的工作原理来看，交换机和集线器是有很大差别的。首先，从OSI体系结构来看，集线器属于OSI的第一层物理层设备，而交换机属于OSI的第二层数据链路层设备。 其次，从工作方式来看，集线器采用一种“广播”模式，因此很容易产生“广播风暴”，当网络规模较大时性能会受到很大的影响。而当交换机工作的时候，只有发出请求的端口和目的端口之间相互响应而不影响其他端口，因此交换机能够在一定程度上隔离冲突域和有效抑制“广播风暴”的产生。 另外，从带宽来看，集线器不管有多少个端口，所有端口都是共享一条带宽，在同一时刻只能有两个端口传送数据，其他端口只能等待，同时集线器只能工作在半双工模式下；而对于交换机而言，每个端口都有一条独占的带宽，当两个端口工作时并不影响其他端口的工作，同时交换机不但可以工作在半双工模式下而且可以工作在全双工模式下。 如果用最简单的语言叙述交换机与集线器的区别，那就应该是智能与非智能的区别。集线器说白了只是连接多个计算机的网络设备，它只能起到信号放大和传输的作用，不能对信号中的碎片进行处理，所以在传输过程中容易出错。而交换机则可以看作为是一种智能型的集线器，它除了拥有集线器的所有特性外，还具有自动寻址、交换、处理的功能。并且在数据传递过程中，发送端与接受端独立工作，不与其它端口发生关系，从而达到防止数据丢失和提高吞吐量的目的。 四、路由器 1.路由器的作用 通过集线器或交换机，我们可以将很多台电脑组成一个比较大的局域网（图3），但是当机器的数量达到一定数目时，问题也就来了：对于用集线器构成的局域网而言，由于采用“广播”工作模式，当网络规模较大时，信息在传输过程中出现碰撞、堵塞的情况越来越严重，即使是交换机，这种情况也同样存在。其次，这种局域网不安全，也不利于管理。为了解决这些问题，人们便将一个较大的网络划分为一个个小的子网、网段，或者直接将它们划分为多个VLAN（即虚拟局域网），在一个VLAN内，一台主机发出的信息只能发送到具有相同VLAN号的其他主机，其他VLAN的成员收不到这些信息或广播帧。采用VLAN划分网络后，可有效地抑制网络上的广播风暴，增加网络的安全性，使管理控制集中（图4）。既然是局域网，万一分别处于不同VLAN的主机需要互相通信时该怎么办呢?这时候就得通过路由器（Router，转发者）来帮忙了。路由器可以将处于不同子网、网段、VLAN的电脑连接起来，让它们自由通信。另外，我们都知道目前的网络有很多种结构类型，且不同网络所使用的协议、速度也不尽相同。当两个不同结构的网络需要互连时，也可以通过路由器来实现。路由器可以使两个相似或不同体系结构的局域网段连接到一起，以构成一个更大的局域网或一个广域网。 可见，路由器是一种连接多个网络或网段的网络设备，它能将不同网络、网段或VLAN之间的数据信息进行“翻译”，以使它们能够相互“读”懂对方的数据，从而构成一个更大的网络。2.路由器的工作原理 所谓路由就是指通过相互连接的网络把信息从源地点移动到目标地点的活动。那么路由器具体是如何进行“翻译”工作的呢?我们平时在学习、翻译英语时，肯定会准备一本英汉字典，通过它来实现英文与中文之间的互现转换。而对于路由器而言，它也有这种用于翻译的字典--路径表。路径表（Routing Table）保存着各种传输路径的相关数据，如子网的标志信息、网上路由器的个数和下一个路由器的名字等内容。路径表可以是由系统管理员固定设置好的，也可以由系统动态修改，可以由路由器自动调整，也可以由主机控制。 通过路由器可以让不同子网、网段进行互连，因此路由器与集线器、交换机不同，它一般安装在网络的“骨干”部位，而不像集线器、交换机那样工作在基层。比如说一个较大规模的企业局域网，基于管理、安全、性能的考虑，一般都会将整个网络划分为多个VLAN，如此一来，当VLAN与VLAN之间进行通讯时，就必须使用路由器。 对于该企业网而言，肯定还需要与互联网相连，对于企业而言，一般都是通过租用电信的DDN专线或者利用ADSL、Cable、ISDN等方式将企业网接入互联网，而此时由于网络体系及所用协议的不同，也需要路由器来完成企业网与互联网的互连工作。点击放大 一般来说，在路由过程中，信息至少会经过一个或多个中间节点。通常，人们会把路由和交换进行对比，这主要是因为在普通用户看来两者所实现的功能是完全一样的。其实，路由和交换之间的主要区别就是交换发生在OSI参考模型的第二层（数据链路层），而路由发生在第三层，即网络层。这一区别决定了路由和交换在移动信息的过程中需要使用不同的控制信息，所以两者实现各自功能的方式是不同的。路由器通过路由决定数据的转发。转发策略称为路由选择，这也是路由器名称的由来。 三剑客的外观比较 前面我们已经讲解了集线器、交换机、路由器的工作原理，但是对于很多初学者来说，有时也希望能够从外观上去区分它们。当然，集线器、交换机、路由器在外观上肯定有所区别，但这些往往只能作为参考信息，毕竟现在很多集线器、交换机与路由器产品在外观上看非常相似。而这里面最难区分的就是普通桌面型的集线器与交换机，而路由器相对比较容易识别。1.集线器与交换机的外观区别 1）集线器的外观 集线器的结构比较简单，因此集线器一般都比较小巧：接口面板上一般具备8个、16个、24个、32个等数量不等的RJ45接口。 由于单个集线器的最大接口数一般也就32个，如果要连接50台甚至100台主机的话该怎么办呢?集线器上的“Uplink”级联口就是为了解决这个问题而出现的--通过级联口，可以将多个集线器连接在一起，以便拓展集线器的接口数及连接距离，但最多只能级联4个集线器。 与接口对应的则是面板上标有数字的一排或两排指示灯，用来指示集线器的工作状态。其中“Power”是电源指示灯，标有数字的是“Link”（连接）与“Action”（活动）指示灯，当某个RJ45接口中有正确的信号接入时，该接口的“Link”灯呈常亮状态，当有信号传输时，则“Action”灯闪烁。现在集线器一般都将“Link”与“Action”指示灯合二为一，用一个指示灯来完成“Link”与“Action”的工作。点击放大 2）交换机的外观 根据应用范围不同交换机存在着多种多样的外观。例如一些用于骨干线路的交换机，往往采用的是“模块式”集成方式，用户可以通过购买、增加模块来增强交换机的功能，这类交换机一般应用在大型企业，其体积也很大。 而对于那些应用在小型局域网的桌面型交换机，其外观与普通的集线器非常相似，要想在外观上区分它们，除了铭牌上“HUB”与“Switch”标志的区别外，关键是指示灯：如今的交换机大多是10/100Mbps自适应交换机，因此其面板上一般有用来表示该端口是工作在10Mbps还是100Mbps的指示灯。另外，交换机既可以工作在全双工状态下，也可以工作在半双工状态下，因此其面板上一般还有一排“FDX/COL”或“FD/COL”指示灯。点击放大 其中“FDX”或“FD”是“Full Duplex”（全双工）的缩写，当交换机上的某个端口工作在全双工状态时，其对应的“FDX”指示灯会亮，否则该端口工作在半双工状态下；“COL”则是信息碰撞指示灯，当该端口中传输的数据出现碰撞时，则该灯会闪烁，碰撞越厉害，闪烁越厉害。 对于集线器而言，虽然有些10/100Mbps自适应的集线器也有用来指示是工作在10Mbps还是100Mbps的指示灯，但绝对没有“FDX/COL”指示灯。初学者可以通过这一点来区分集线器与交换机。 2.路由器的组成与外观 1）路由器的组成 路由器作为一种高级的网络设备，并不是每个人都可以接触到的，这是因为它的普及性不如集线器、交换机高。 集线器、交换机在工作时都是通过硬件直接实现信号的传输，而路由器则不同，事实上路由器是一台特殊的计算机，它有CPU、存储介质以及操作系统，只不过这些都与PC上的有点差别而已。总的说来，路由器也可分为硬件及软件两部分。软件部分主要是操作系统，普通PC的操作系统有Windows系列、Linux/Unix等，而路由器的操作系统就是IOS（Internetwork Operating System，互联网际操作系统）。 路由器的硬件主要有CPU、接口和存储介质等。路由器中的CPU和计算机中的CPU所要实现的功能都是一样的。一般来说，计算机的CPU处理能力比路由器强大，但是在一些高端路由器上也会用到频率高到300MHz的CPU。路由器中的接口是非常重要的，因为它是连接网络最直接的媒介，它的接口主要有以太网口、串口、FDDI、令牌环等。计算机中有内存和硬盘，路由器中也有，只不过它的名字不同而已；路由器中的存储介质主要有ROM（Read-Only Memory，只读储存设备）、Flash（闪存）、NVROM（非易失性随机存储器）、DRAM（动态随机存储器）等几种。 路由器正是通过其特殊的软件功能来完成路由工作的，由于这种专业的路由器价格昂贵，所以现在人们也会在一些对路由器要求不高的应用环境中利用普通的PC机来实现路由功能，比如说只要在一台PC机上安装Windows2000 Server，然后进行必要的配置，一台“路由器”就打造出来了。 2）路由器的外观 路由器主要运行在骨干网络上，因此外观也千姿百态，比如一些应用于因特网骨干线路的千兆级别的路由器，往往也是模块化设计，体型也很庞大。 而那些应用于中小型企业的路由器则相对比较小巧，这类外观看起来与集线器、交换机差不多的路由器，其最大的外观特点就是端口数量相对较少，但类型多样。 其实也很好理解，路由器主要是用来连接不同类型的网络，它位于网络的最高层，基于成本的考虑，其端口肯定比较少，但同时为了连接多种类型的网络，又必须具备多种类型的网络接口。三剑客的选购 集线器、交换机、路由器的工作原理、性能特点和价格都不同，因此在构建网络平台时，应该根据实际需要，科学地选择产品。当然，我们在这里讨论的选购主要是针对一些中小型网络而言的，对于校园网、大型企业网，由于涉及的面太多，一般都需要专业的网络工程师进行网络设计与产品选购。 一、不同用户需求推荐 1.普通家庭用户 一般一个家庭的电脑数量有限，而组网的目的一般是为了实现共享上网、玩网络游戏等。由于电脑数量少，对带宽的要求不高，因此选择一个端口数少于8个，10Mbps带宽的集线器比较合适，目前这类产品很多，价格也非常便宜，一般在80~100元之间。 集线器的特点是价格便宜，但由于采用“共享带宽”的工作模式，因此集线器只适合那些对价格敏感、网络规模不大且数据传输量不大的用户使用。 2.学生宿舍 对于学生宿舍而言，一般电脑数量比较多，再加上宿舍与宿舍之间比较近，组网非常方便。学生一般比较喜欢通过组网来实现共享上网、联网游戏、视频欣赏等，因此对带宽的要求相对较高，再加上学生作息时间都差不多，往往许多电脑会同时上网，所以最佳选择是使用交换机。交换机独享带宽的工作模式，能够满足学生对高带宽的要求，同时也可以避免许多机器同时通信所带来的网路堵塞问题。考虑到学生的经济承受能力不高，可以选择国内厂商出品的中低端10/100Mbps自适应桌面交换机，端口数要根据联网的电脑数目进行考虑，不过最好是选择16口的价廉物美的主流产品，目前这类中低端产品的价格大都在700元以下，对于学生来说也还可以承受。如果端口数不够的话，可以采取级联的方式解决。 当然，上面我们是针对一些对网络速度要求较高的学生宿舍而言的，如果联网的电脑不是很多（少于10台），并且只想共享上网或玩一些对网速要求不高的游戏的话，则也可以考虑使用10Mbps的集线器，但不推荐使用10/100Mbps自适应的集线器。如果要求高一点的话，可以到市场上找找那些迷你型的10Mbps交换机，这类产品一般端口数少，而且售价也很便宜，一般在200元左右。 3.中小型办公网络 对于中小型的办公网络而言，如果考虑性能、稳定性及以后的扩展性，最好选择10/100Mbps自适应交换机来构建局域网，如果是小型的办公网络，也可以考虑集线器。 如今办公室一般都需要共享上网，而目前使用最多的就是共享ADSL上网。对于中小型办公网络而言，由于一般不会配备专业的服务器，因此要共享上网的话，可以通过配置一台ADSL路由器来解决共享问题，这样可以省去一台代理服务器。目前这类ADSL路由器价格比较便宜，且可供选择的产品很多。二、集线器的选购标准 1.注意带宽标准 根据带宽的不同，目前市面上用于局域网（一般是指小型局域网）的HUB可分为10Mbps、100Mbps和10/100Mbps 自适应三种。选择哪种集线器主要取决于三个因素：a.上连设备带宽：如果上连设备支持IEEE802.3U，自然可购买100Mbps集线器，否则只有选择10Mbps的了；b.站点数：由于连在集线器上的所有电脑均争用同一个上行总线，处于同一冲突域内，所以如果电脑数目较多，最好选择带宽高的；c.应用需求。 2.是否满足扩展需求 根据端口数目的多少HUB一般分为8口、16口和24口几种。当一个集线器提供的端口不够时，一般有以下两种方法扩展： a.堆叠：堆叠是解决单个集线器端口不足时的一种方法，但是因为堆叠在一起的多个集线器还是工作在同一环境下，所以堆叠的层数也不能太多。市面上一些集线器以其堆叠层数比其他品牌的多而作为卖点，如果遇到这种情况，要辨证认识：一方面可堆叠层数越多，一般说明集线器的稳定性越高；另一方面，可堆叠层数越多，每个用户实际可享有的带宽则越小。 b.级联：级联是在网络中增加用户数的另一种方法，但是此项功能的使用一般是有条件的，即HUB必须提供可级联的端口，此端口上常标有“Uplink”或“MDI”字样，用此端口与其他的HUB进行级联。如果没有提供专门的端口，当要进行级联时，连接两个集线器的双绞线在制作时必须要进行错线。 3.是否支持网管功能 根据对HUB管理方式的不同可分为Damp Hub ue5e4亚集线器ue5e5和Intelligent Hub ue5e4智能集线器ue5e5两种。智能集线器改进了普通HUB的缺点，增加了网络交换功能，具有网络管理和自动检测网络端口速度的能力（类似于交换机）。而亚集线器只起到简单的信号放大和再生的作用，无法对网络性能进行优化。早期使用的共享式HUB一般为非智能型的，而现在流行的100Mbps HUB和10/100Mbps自适应HUB多为智能型的。 4.注意接口类型 选择HUB时，还要注意信号输入口的接口类型，与双绞线连接时需要具有RJ-45接口；如果与细缆相连，需要具有BNC接口；与粗缆相连需要有AUI接口；当局域网长距离连接时，还需要具有与光纤连接的光纤接口。早期的10Mbps HUB一般具有RJ-45、BNC和AUI三种接口。100Mbps HUB和10/100Mbps HUB一般只有RJ-45接口，有的也具有光纤接口。 5.注意品牌和价格 目前市面上的高档HUB市场主要还是由美国产品占据，如3COM、Intel等，它们在设计上比较独特，一般几个甚至是每个端口配置一个处理器，当然价格比较高。我国台湾的D-Link和Accton的产品占据了中低端市场上的主要份额，而大陆的一些公司如联想、实达也分别推出了自己的产品。中低档产品一般均采用单处理器技术，其外围电路的设计也大同小异。各个品牌在质量上差距已经不大。相对而言，大陆产品的价格要便宜很多。

标准库只是定义接口，具体怎么实现就得看操作系统，你说win下和linux下这些函数的实现会一样吗。当然不一样，看这些学源码，不如看看c标准，c89或c99. 那可以看内核，看系统调用是怎么样实现的，你说的那些都是基于系统调用的

简单计算一下即可，答案如图所示

你的意思是1/(ylny)么那么进行积分即可∫1/(ylny)dy=∫1/lny dlny=ln|lny| +C，C为常数即原函数为ln|lny| +C

import java.util.Scanner;import java.util.Set;import java.util.TreeMap;/** 需求 ："aababcabcdabcde",获取字符串中每一个字母出现的次数要求结果:a(5)b(4)c(3)d(2)e(1)* * 分析：* A:定义一个字符串(可以改进为键盘录入)* B:定义一个TreeMap集合* 键:Character* 值：Integer* C:把字符串转换为字符数组* D:遍历字符数组，得到每一个字符* E:拿刚才得到的字符作为键到集合中去找值，看返回值* 是null:说明该键不存在，就把该字符作为键，1作为值存储* 不是null:说明该键存在，就把值加1，然后重写存储该键和值* F:定义字符串缓冲区变量* G:遍历集合，得到键和值，进行按照要求拼接* H:把字符串缓冲区转换为字符串输出* * 录入：linqingxia* 结果：result:a(1)g(1)i(3)l(1)n(2)q(1)x(1)*/public class TreeMapDemo {public static void main(String[] args) {// 定义一个字符串(可以改进为键盘录入)Scanner sc = new Scanner(System.in);System.out.println("请输入一个字符串：");String line = sc.nextLine();// 定义一个TreeMap集合TreeMap<Character, Integer> tm = new TreeMap<Character, Integer>();//把字符串转换为字符数组char[] chs = line.toCharArray();//遍历字符数组，得到每一个字符for(char ch : chs){//拿刚才得到的字符作为键到集合中去找值，看返回值Integer i = tm.get(ch);//是null:说明该键不存在，就把该字符作为键，1作为值存储if(i == null){tm.put(ch, 1);}else {//不是null:说明该键存在，就把值加1，然后重写存储该键和值i++;tm.put(ch,i);}}//定义字符串缓冲区变量StringBuilder sb= new StringBuilder();//遍历集合，得到键和值，进行按照要求拼接Set<Character> set = tm.keySet();for(Character key : set){Integer value = tm.get(key);sb.append(key).append("(").append(value).append(")");}//把字符串缓冲区转换为字符串输出String result = sb.toString();System.out.println("result:"+result);}}/***不懂里面的的一些方法的可以找本书看看Map集合方面的，还有学会查API，否则你一辈子都读不懂JAVA程序的，其实我这个不用分析的话应该是这个问题的最简解了吧。。。。***/

1、文件--》新建--》项目。2、选择为：控制台应用程序--》命名：统计一个字符串中每个小写字母出现的次数--》确定。3、确定后系统生成的代码。4、先写一个字符串用于测试。5、使用Dictionary集合然后循环判断测试代码。6、程序运行测试成功后显示每种字母出现的次数。

毫伏表测出的电压值为有效值示波器可以测出峰峰值、和有效值信号发生器大部分为峰峰值，峰峰值/2倍根号2=有效值。（在波形周期性特别好的情况下）

我一般用的是帆软报表FineReport,它只要输入文本函数就可以了，cnmoney(number,unit)返回人名币大写。unit：单位：“s”“b”“q”“w”“sw”“bw”“qw”“y”“sy”“by”“qy”“wy”分别表示“拾”“佰”“仟”“万”“拾万”“佰万”“仟万”“亿”“拾忆”“佰亿”“仟亿”“万亿”单位可以为空，如果为空，则直接将number转换为人民币大写，否则先将number与单位的进制相乘，然后再将相乘的结果转换为人民币大写。示例CNMONEY(1200)等于壹仟贰佰圆整。CNMONEY(12.5,"w")等于壹拾贰万伍仟圆整。CNMONEY(56.3478,"bw")等于伍仟陆佰叁拾肆万柒仟捌佰圆整。CNMONEY(3.4567,"y")等于叁亿肆仟伍佰陆拾柒万圆整。

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fx的队长宋茜，圈住她的手指是指她的指甲颜色不一样噶~

1、Q=40-5T令40-5T=0得T=8 即当工作8小时后会没有剩油2、没有图像 没法做3、（1）T（摄氏度）=0-0.2*T（分）=-0.2T（分）（2）0>=-0.2T（分）>=-10则0<=T（分）<=50

可以，他们之间没有直接联系。入口参数(形参)与外面的全局变量，如同你在某一函数中定义一个与全局变量同名的局部变量一样，函数会优先考虑局部变量，忽略全局变量。所以你的形参与全局变量一样名字，函数不会去调用全局变量，而会去调用与形参对应的实参

如何用Excel函数排序与筛选：Execl本身具有很方便的排序与筛选功能，下拉“数据”菜单即可选择排序或筛选对数据清单进行排序或筛选。但也有不足，首先无论排序或筛选都改变了原清单的原貌，特别是清单的数据从其它工作表链接来而源数据发生变化时，或清单录入新记录时必须从新进行排序或筛选。其次还有局限，例如排序只能最多对三个关键字(三列数据)排序，筛选对同一列数据可用“与”、或“或”条件筛选，但对不同列数据只能用“与”条件筛选。例如对某张职工花名册工作簿，要求筛选出年龄大于25岁且小于50岁或年龄大于50岁或小于25岁都是可行的，如同时要求性别是男的或女的也是可行的。但要求筛选出女的年龄在22岁到45岁，男的年龄在25岁到50岁时Execl本身具有的筛选功能则无能为力了。再者排序与筛选不能结合使用，即不能在排序时根据条件筛选出来的记录进行排序。例如有一张职工资料清单，其中有的职工已经退休，对在职职工的年龄进行排序时无法剔除已退休职工的数据。本文试图用Execl的函数来解决上述问题。一、用函数实现排序题目：如有一张工资表，A2:F501，共6列500行3000个单元格。表头A1为姓名代码(1至500)、B1为姓名、C1为津贴、D1为奖金、E1为工资、F1收入合计。现要求对职工收入从多到少排序，且在职工总收入相同时再按工资从多到少排序，在职工总收入和工资相同时再按奖金从多到少排序，在职工职工总收入和工资、奖金相同时再按津贴从多到少排序。方法：G1单元格填入公式“=if(F2=0，10^100，INT(CONCATENATE(999-f2，999-e2，999-d2，999-c2)))”，CONCATENATE 是一个拼合函数，可以把30个以下的单元的数据拼合成一个数据，这些被拼合的数据之间用逗号分开。用f2、e2等被拼合的数据用999来减，是为了使它们位数相同。(假定任何一个职工的总收入少于899元)。被拼合成的函数是文本函数，CONCATENATE与INT函数套用是为了使文本转换为数字。最外层的if函数是排序时用来剔除不进行排序的记录，在本例中指收入为零的记录。(在上文提到的职工年龄排序，则公式改为“if(f2="退休"， 10^100，.....)”，即剔除了退休职工。)第二步把G1单元格的公式拖放到G500单元格(最简便的方法是点击G1单元格后向G1单元格右下方移动鼠标，见到黑十时双击鼠标就完成了G1到G500的填充)。第三步在在H2单元填入公式“=MATCH(SMALL(G:G，ROW(A1))，G:G，0)”与第二步一样拖放到H501单元格。此公式实际上是把三列公式合成一列公式，ROW(A1)即为A1的行数是1，随着向下拖放依次为2、3、4...，SMALL(G:G，ROW(A1))为 G列中最小的数随着向下拖放依次为第2、第3、..小的数，MATCH(SMALL(G:G，ROW(A1))，G:G，0)即为G列各行的数据中最小、第2、第3小等的数据在第几行。第四步把A1至F1单元格的表头复制到I1至N1单元格，在I2单元格输入公式“=INDEX($A$2:$F$501，$H2， COLUMN(A$1))”INDEX函数是一个引用函数，即把$A$2:$F$501单元格列阵第$H2行第COLUMN(A$1)列的数据放入I2单元格。然后把I2单元格的公式拖放到N2单元格，点击N2单元格后向N2单元格右下方移动鼠标见到黑十时双击鼠标就完成了I2到N501单元格的填充到此全部完成。以上叙述看似繁杂实际非常简单，只要把A1至F1的表头复制到I1至N1单元格，再分别在G1、H2、I2单元格输入公式然后向下拖放，即使对EXCEL应用不熟练的同志一分锺内便能完成。对上述程序稍作变化还可得到更多用度。上面例子数据是从大到小排列的，如H列的函数中的SMALL改为LARGE，上面例子数据就从小到大排列了。如H2单元格的公式改为“=IF(O1=1，MATCH(SMALL(G:G，ROW(A1))，G:G，0)，MATCH(LARGE(G: G，ROW(A1))，G:G，0))”并把H2单元格的公式向下拖放。这样在O1单元格输入1上面例子数据是从大到小排列的，O1单元格输入1以外的数上面例子数据就从小到大排列了。如在H列前插入若干列，如插入一列，则现在的H列输入类似G列的公式，例如“=if(F2=0，10^100，d2)”，现在的I列的公式改为“=IF(P1=1，MATCH(SMALL(G:G，ROW(A1))，G:G，0)，MATCH(SMALL(H:H，ROW(A1))，H:H，0)))”即在P单元格输入1以外的值就实现了按奖金大小排序.这样只要通过改变P1(原来的O1单元格)单元格内容的改变就能立即得到按不同要求的排序。

静态库不需要定义导出，只要有.h头文件就可以调用。可以阅读《程序员的自我修养--链接、装载与库》的PDF了解静态库、动态库的原理静态库可能只是定位DLL用，也可能含有代码，链接时会把这部分代码直接包含到程序不需要导出

对于任意一点z_i，可以证明它是f(z)的可去奇点。参见下图的思路：从而可以得出f(z)在整个复平面上解析且有界，根据刘维尔定理得到f(z)为一个常数.

他们都是连续函数在其定义域内的有限区间内可积。

太高深了。反复用分部积分法，不能降次，也不循环减可。

分类: 教育/学业/考试 >> 学习帮助 解析: 整函数 integral function 在整个复平面上处处解析的函数。整函数总可以在原点 展开成泰勒级数：，它在全平面收敛，整函数以∞点为唯一的孤立奇点，它在∞点的罗朗展式与它在原点的泰勒展式有一样的形式。当∞点是整函数的可去奇点时，这个整函数只能是常数，这就是著名的刘维尔定理，通常表述为“有界整函数必为常数”。利用这一定理可以得到代数基本定理的简单证明。当∞点是整函数的n阶极点时，这个整函数是一个n次多项式 ，也就是它的泰勒展式（或罗朗展式）只有有限多项。当∞点是整函数的本性奇点时，这个整函数的泰勒展式一定有无限多项，这类整函数称为超越整函数。由代数基本定理知道n次多项式一定有n个零点(也就是根)，它总可以分解为n个一次因式的积，对于超越整函数，它可能有无限多个零点 ，比如sinπz就以全体整数为其零点集，也有的超越整函数没有零点，如ez就处处不为零，一般来说，没有零点的超越整函数总可以表成eg(z)的形式，此处g（z）也是一个整函数，而有无限多个零点的超越整函数f（z）也有一个因子分解式 ；形如 ，其中g（z）是整函数，0是m阶零点，zk是非零零点集，gk()是的多项式，这是魏尔斯托拉斯因子分解定理。超越整函数还有一个重要性质：若f（z）是超越整函数，则对任意复数A（包括A＝∞），存在点列｛zk ｝，使zk ∞（k∞）而有f（zk）A。这一结果有一个更精确的发展：对超越整函数f(z)，最多除去一个值（称为例外值）外，对所有其他的复数v值（v≠∞），f（z）－v都有无穷多个零点（毕卡定理）。

任取两点a和b，分别以a和b为球心，R为半径做两个闭球B_a和B_b当R->+oo时，lim V(B_aB_b)/V(B_a) = 0 （V表示体积）也就是说两个球趋于重合利用调和函数的均值性质，f(a)和f(b)分别是f在B_a和B_b上的平均值，f在B_a∩B_b上的均值记为u，在B_aB_b上的均值记为v，在B_bB_a上的均值记为w那么f(a) = [V(B_a∩B_b)*u + V(B_aB_b)*v] / V(B_a)f(b) = [V(B_a∩B_b)*u + V(B_bB_a)*w] / V(B_b)注意V(B_a)=V(B_b)，V(B_aB_b)=V(B_bB_a)，所以f(a)-f(b)=V(B_aB_b)/V(B_a) * (v-w)当R->+oo时V(B_aB_b)/V(B_a)->0，而(v-w)是有界量，所以f(a)-f(b) ->0，即f(a)=f(b)

刘维尔（Liouville）定理若f(z)在全平面C上全纯且有界，则f为常数。 证明若|f(z)|≤M，当z∈C。固定a∈C，作D(a,R)，由柯西不等式得到|f`(a)|≤M/R。令R→∞，得到f`(a)=0。由于a为C中任意一点，故f`(z)=0对任意z∈C都成立，因此f(z)在C上为常数。

最近想挖掘一下自己项目的理论深度，于是找到了老师。在老师的建议下，我们开始了漫长的研读老师的论文的旅程（论文名：Optimal Design of Adaptive Robust Control for Fuzzy Swarm Robot Systems 模糊群自适应鲁棒控制的优化设计机器人系统）。这篇文章写的是关于群体智能控制在机器人群中的运用，提到了许多控制理论。诸如李雅普诺夫方程，模糊群分析，优化理论等等。作为一个理论白痴我选择将这些理论的东西的学习理解交给我的大佬队友。然后我选择了学习最后的simulation（实验仿真）。这里面的simulation用到了一种求解隐式微分方程的方法。于是就有了这篇文章的由来。求解常微分方程组的方法1、dsolve 函数dsolve函数用于求常微分方程组的精确解，也称为常微分方程的符号解。如果没有初始条件或边界条件，则求出通解；如果有，则求出特解。1)函数格式 Y = dsolve(‘eq1,eq2,…" , "cond1,cond2,…" , "Name")其中，‘eq1,eq2,…":表示微分方程或微分方程组; "cond1,cond2,…":表示初始条件或边界条件; ‘Name":表示变量。没有指定变量时，matlab默认的变量为t；2)例程例1.1(dsolve 求解微分方程) 求解微分方程： frac{dy}{dx}=3x^{2}在命令行输入: dsolve("Dy=3*x^2","x") ,摁下enter键后输出运行结果。例1.2（加上初始条件）求解微分方程：只需要在命令行添加初始条件即可，此时求出的即为方程的特解。可以看到上例中的C9变为了2。例2(dsolve 求解微分方程组)求解微分方程组： 由于x,y均为t的导数，所以不需要在末尾添加"t"。2、ode函数在上文中我们介绍了dsolve函数。但有大量的常微分方程，虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解。怎么理解数值求解呢？数值分析是一门专门的学科，在此不过多介绍。我主要想通过一个简单的例子来向大家阐述数值求解的思想。比如，求解微分方程 。我们就可以转化为，那么。因此，我们可以通过迭代的方式来求解y。即可理解为步长。ode是Matlab专门用于解微分方程的功能函数。该求解器有变步长（variable-step）和定步长（fixed-step）两种类型。不同类型有着不同的求解器。然后我又从其他大佬那ctrl+v了一份具体点的ODE求解器的整理。在工程实践中，我们经常遇到一些ODEs，其中某些解变换缓慢，另一些变化很快，且相差悬殊的微分方程，这就是所谓的刚性问题(Stiff)，对于所有解的变化相当我们则称为非刚性问题(Nonstiff)。变步长模式解法器有：ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，ode23t，ode23tb和discrete。a) ode45：缺省值，四/五阶龙格－库塔法，适用于大多数连续或离散系统，但不适用于刚性（stiff）系统。它是单步解法器，也就是，在计算y(tn)时，它仅需要最近处理时刻的结果y(tn-1)。一般来说，面对一个仿真问题最好是首先试试ode45。b) ode23：二/三阶龙格－库塔法，它在误差限要求不高和求解的问题不太难的情况下，可能会比ode45更有效。也是一个单步解法器。c) ode113：是一种阶数可变的解法器，它在误差容许要求严格的情况下通常比ode45有效。ode113是一种多步解法器，也就是在计算当前时刻输出时，它需要以前多个时刻的解。d) ode15s：是一种基于数字微分公式的解法器（NDFs）。也是一种多步解法器。适用于刚性系统，当用户估计要解决的问题是比较困难的，或者不能使用ode45，或者即使使用效果也不好，就可以用ode15s。e) ode23s：它是一种单步解法器，专门应用于刚性系统，在弱误差允许下的效果好于ode15s。它能解决某些ode15s所不能有效解决的stiff问题。f) ode23t：是梯形规则的一种自由插值实现。这种解法器适用于求解适度stiff的问题而用户又需要一个无数字振荡的解法器的情况。g)ode23tb：是TR-BDF2的一种实现， TR-BDF2 是具有两个阶段的隐式龙格－库塔公式。 h)discrtet：当Simulink检查到模型没有连续状态时使用它。固定步长模式解法器有：ode5，ode4，ode3，ode2，ode1和discrete。a) ode5：缺省值，是ode45的固定步长版本，适用于大多数连续或离散系统，不适用于刚性系统。b) ode4：四阶龙格－库塔法，具有一定的计算精度。c) ode3：固定步长的二/三阶龙格－库塔法。d) ode2：改进的欧拉法。e) ode1：欧拉法。f) discrete：是一个实现积分的固定步长解法器，它适合于离散无连续状态的系统。^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^分割线^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^其中，ode45求解器属于变步长的一种，采用Runge-Kutta算法；其他采用相同算法的变步长求解器还有ode23。ode45表示采用四阶-五阶Runge-Kutta算法，它用4阶方法提供候选解，5阶方法控制误差，是一种自适应步长（变步长）的常微分方程数值解法，其整体截断误差为(Δx)^5。解决的是Nonstiff(非刚性)常微分方程。ode45是解决数值解问题的首选方法，若长时间没结果，应该就是刚性的，可换用ode15s试试。下面将以ode45为例具体介绍函数的使用方法。1)函数格式 [T,Y] = ode45(‘odefun",tspan,y0)[T,Y] = ode45(‘odefun",tspan,y0,options)[T,Y,TE,YE,IE] = ode45(‘odefun",tspan,y0,options)sol = ode45(‘odefun",[t0 tf],y0...)其中: odefun是函数句柄,可以是函数文件名,匿名函数句柄或内联函数名； tspan 是求解区间 [t0 tf]，或者一系列散点[t0,t1,...,tf]； y0 是初始值向量 T 返回列向量的时间点 Y 返回对应T的求解列向量 options 是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等 TE 事件发生时间 YE 事件发生时之答案 IE 事件函数消失时之指针i2)微分方程标准化利用ode45求解高阶微分方程时，需要做变量替换。下面说明替换的基本思路。微分方程为初始条件首先做变量替换 原微分方程可以转换为下面的微分方程组的格式:下面就可以利用转换好的微分方程组来编写odefun函数。实战运用例3.1（编写odefun函数）在matlab中新建脚本文件，编写函数如下：本例中只需在例3.1的基础上编写主函数，加上求解区间和边值条件即可。需要注意的是，ode45的运行结果以列向量形式给出。因此在本例中，x的第一列为y，第二列为y"。如果遇到变量不是列向量形式的，可以考虑利用reshape函数做矩阵变换。则，plot(t,x(:,1))画出来的是x的第一列数据，即为y； plot(t,x(:,2))画出来的是x的第二列数据，即为y"；得到的结果如下： 这算是ode45的一个小实战了吧那么这个时候咱们来看看ode15s。咱就是说，对于一个理论白痴而言，这个ode15s的用法不就跟ode45的用法一样嘛（后来我看了下好像好几个ode求解器的用法都一个样子）。想要运用这个那还不简单hhh。直接开搞还是用上面那个例子：没错，就是把ode45更改成ode15s就行了（其余求解器同理hhh）。对比一下两个图像，发现仅仅就是点集的密集程度不同，还没有很大的差别。然后感觉这个小例子不太好玩，想玩点更高级的。混沌混沌运动的直观形象，在随能量不断耗散而自由度降低的耗散系统中看得更清楚。1963年美国气象学家E.洛伦茨在研究对天气至关紧要的热对流问题时，把包含无穷多自由度的热对流偏微分方程简化为三个变量的一阶非线性常微分方程组：dx/dt=－σx+σydy/dt=rx－y－xzdz/dt=bz+xy式中变量x表示大气对流强度，y表示上升流与下降流温差，z表示垂直温度剖面变化。系数σ为普朗特数，r为瑞利数，b为量度水平温度结构与垂直温度结构衰减率之差异。洛伦茨选定σ=10，r=28，b=8/3，然后数值求解方程组。结果发现，这极度简化了的系统，出现了极为复杂的运动形式。起始值的细微变化，足以使轨道全然改观。把数值计算结果在由x,y,z支撑的三维相空间中画出来。这是一条在三维空间似乎无序地左右回旋的连续光滑曲线，它并不自我相交，呈现复杂的结构纹样。无论初始值选取在哪里，系统轨道有同一归宿，形成所谓奇异吸引子。在奇异吸引子上，如果选取任意接近的两个点为初始值，其运动轨迹以指数方式迅速分离，表现出对初值的极端敏感。具体的是，轨道左右跳动的顺序和次数完全不同。计算表明，初始位置几乎会聚在一起的10,000个点，稍后便会在图中所示的吸引子上到处分布，说明这样的系统中，由于初值的细微不同，运动是不可预测的。（更多的在这）看不懂没关系，因为我也看不太懂hhh（不愧是理论白痴），咱就来看看这个微分方程，自己用求解器解着玩一玩呗。 frac{dx}{dt}=delta (y-x) （1） frac{dy}{dt} = rx-y-xz （2） frac{dz}{dt}=xy-bz （3）（咱就是说，百度百科里的这个式子少了个负号，我跑matlab发现没负号是跑不出来的。无论哪个求解器都不行。然后看了看其他地方的混沌理论的式子，确实是-bz）没问题了那就跑呗。为啥代这几个值（我看的视频），不过我查了一下hhh这几个参数是来源于某个地方： 奇异吸引子（Strange Attractor）——非线性系统的一大杰作（这是我看的资料来源）然后接着敲代码：先跑一跑一阶的x。已经有点混沌的影子了；二阶：这里是用y和z跑的图像。用x，y；x，z跑出来又不一样：有点内味了叭！下面将隆重推出三阶最终的图像：有没有感觉像一个蝴蝶？哈哈，没错。告诉大家一个秘密，其实这才是蝴蝶效应名字的由来。以上代码是用ode45跑的，用另外一个求解器同理。总结 真没啥总结。整理下来证明了自己还是学了东西的hhh。老师说，我们后面在跑证明的时候会出现用ode45解不出来的式子，而用ode15s和其他几个求解器能跑出来。这是由于不同的求解器内部都有不同的算法，能求解不同的式子，达到不同的精度。就是说有点子好奇与期待了！放一张老师论文里的仿真图：下次文章如果大家能看到我把以上4个图里的3个参数变成5个，那就说明我对于自己项目的理论的仿真部分算是成功了哈哈哈！

<?php echo mktime(now()); echo "<br>".time();?>获取时间戳可以有两种方法

write/read，是关于写特定的文件描述符使用的比较底层的系统调用，sendto/recvfrom适用于用udp(数据包)方式的套接字中使用的，其他的没见过，我是学linux编程的

recv函数返回其实际copy的字节数，如果recv在copy时出错，那么它返回SOCKET_ERROR。如果recv函数在等待协议接收数据时网络中断了，那么它返回0。扩展阅读，linux recv函数详解：1 #include <sys/socket.h>2 ssize_t recv(int sockfd, void *buff, size_t nbytes, int flags);recv 的前3个参数等同于read函数。flags参数值为0或： flags 说明 recv send MSG_DONTWAIT 仅本操作非阻塞 MSG_OOB　　　　 发送或接收带外数据 MSG_PEEK　　 窥看外来消息 MSG_WAITALL　　 等待所有数据 recv函数解析：sockfd: 接收端套接字描述符buff： 用来存放recv函数接收到的数据的缓冲区nbytes: 指明buff的长度flags: 一般置为0 1) recv先等待s的发送缓冲区的数据被协议传送完毕，如果协议在传送sock的发送缓冲区中的数据时出现网络错误，那么recv函数返回SOCKET_ERROR 2) 如果套接字sockfd的发送缓冲区中没有数据或者数据被协议成功发送完毕后，recv先检查套接字sockfd的接收缓冲区，如果sockfd的接收缓冲区中没有数据或者协议正在接收数据，那么recv就一起等待，直到把数据接收完毕。当协议把数据接收完毕，recv函数就把s的接收缓冲区中的数据copy到buff中（注意协议接收到的数据可能大于buff的长度，所以在这种情况下要调用几次recv函数才能把sockfd的接收缓冲区中的数据copy完。recv函数仅仅是copy数据，真正的接收数据是协议来完成的） 3) recv函数返回其实际copy的字节数，如果recv在copy时出错，那么它返回SOCKET_ERROR。如果recv函数在等待协议接收数据时网络中断了，那么它返回0。 4) 在unix系统下，如果recv函数在等待协议接收数据时网络断开了，那么调用 recv的进程会接收到一个SIGPIPE信号，进程对该信号的默认处理是进程终止。

开辟空间大了，收多少开辟多少，，如果前面接收的BUF太大将会影响后面BUF的接收比如：有3个BUFWSABUF wsabuf[3],发送端：wsabuf[0]。buf="pp",wsabuf[1].buf="lll",wsabuf[2].buf="oooo"接收端：wsabuf[0].buf=new char[3], wsabuf[1].buf=new char [4],wsabuf[2]=new char[5],如果wsabuf[1].buf 开辟空间过大，wsabuf[2]将收到乱码

recvfrom这个函数最好放在线程里，因为这个函数一但运行，效果就像是一个for(;;);除非收到消息否则不会停下来，连文字都输入不了，无法正常聊天了，只能轮流说。百度查怎么开启线程。

没开服务器执行客户端recvfrom确实返回SOCKET_ERROR。WSAGetLastError返回值10054（WSAECONNRESET ）A existing connection was forcibly closed by the remote host. 看来sendto函数发送失败（IP地址无接收端口），导致recvfrom的失败。（对方机器强行关闭）请采纳。

你查一下msdn，recvfrom有非阻塞模式，需要设置一下socket。非阻塞模式下，recvfrom返回-1，你可以做一个while循环，来判断是否收到数据，收到数据以后再处理，没收到数据就sleep一段时间再循环。另外，从你问的问题来看，你需要补习一下windows多线程编程。 可以试着把recvfrom这个功能放到单独的线程里来做，这样即使没收到数据，线程卡死，也不会导致整个进程卡死的。但是这样一来，你又需要去多学一点线程同步的知识。让收到数据的那个线程能够告诉处理线程，有数据需要处理。有问题可以再问我，hi baidu就成。 =============更新========================单独终止一个函数的功能是没有的，但是你可以终止运行函数的线程，乃至进程，然后再重建一个线程。根据你的描述，你可以用两个线程，一个进行收udp，另一个监视这个线程，如果超过一定时间没响应，就close掉，然后再打开一个线程接收。不过这样也还是没有while + sleep的结构效果好，因为频繁的开关线程也需要浪费cpu资源的，而且不小 =============更新==========================根据你数据多少快慢来决定了。如果数据快，可以2~5ms接收一次，同时可以设置socket选项，增加接收缓存，SOCK_RECVBUF,到10M 这样基本都保证快速收报不丢。 如果不设置的话，如果短时间来了大量数据，可能会有丢数据包的情况（recvbuffer已满，而你又没有recvfrom的时候，就丢数据了）反正返回-1就是没有数据，返回>0 就有数据

while(1){ recvfrom(sockfd, readbuff, UDP_CMD_BUFF_LENGTH - 1, 0, (struct sockaddr *)&Glob_remot_88_port_add, &len); PRINT("[recevudp]len %d IP is %s ", len, inet_ntoa(Glob_remot_88_port_add.sin_addr));}这个函数， 第一次接受打印出的发送方IP地址总是0.0.0.0；解决方法：在recvfrom之前加一句： len = sizeof(struct sockaddr);即可

没开服务器执行客户端recvfrom确实返回SOCKET_ERROR。WSAGetLastError返回值10054（WSAECONNRESET ）A existing connection was forcibly closed by the remote host. 看来sendto函数发送失败（IP地址无接收端口），导致recvfrom的失败。

UDP 本来就是不可靠传输协议， 它只负责发送，不管对方有没有收到而TCP协议正好解决上述问题，它是可靠传输协议，三次握手能确保每一个数据包收到！